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2020年广东深圳市中考数学一轮复习 探索规律题补充练习解析版
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2020年深圳市中考数学一轮复习之探索规律题补充练习解析版
一、选择题
1.下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（ ）
A. 34 B. 36 C. 38 D. 48
2.下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案n需几根火柴棒（ ）
A. 2+7n B. 8+7n C. 4+7n D. 7n+1
3.仔细观察下列数字排列规律，则a＝（ ）
A. 206 B. 216 C. 226 D. 236
4.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图的方式放置.点A1 ， A2 ， A3 ， …和点C1 ， C2 ， C3 ， …分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（ ）
A. （63，32） B. （64，32） C. （63，31） D. （64，31）
5.如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（ ）
A. 56 B. 64 C. 72 D. 90
6.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为（ ）
A. (1200,125) B. (600,0) C. (600,125) D. (1200,0)
7.计算 11×3 + 13×5 + 15×7 + 17×9 +…+ 137×39 的结果是（ ）
A. 1937 B. 1939 C. 3739 D. 3839
8.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=33x+1 与直线 l2:y=3x 交于点 A1 ，过 A1 作 x 轴的垂线，垂足为 B1 ，过 B1 作 l2 的平行线交 l1 于 A2 ，过 A2 作 x 轴的垂线，垂足为 B2 ，过 B2 作 l2 的平行线交 l1 于 A3 ，过 A3 作 x 轴的垂线，垂足为 B3 …按此规律，则点 An 的纵坐标为（ ）
A. (32)n B. (12)n+1 C. (32)n−1+12 D. 3n−12
9.按一定规律排列的单项式：x3 ， －x5 ， x7 ， －x9 ， x11 ， ……第n个单项式是( )
A. (－1)n－1x2n－1 B. (－1)nx2n－1 C. (－1)n－1x2n＋1 D. (－1)nx2n＋1
10.a是不为1的有理数，我们把 11−a 称为a的差倒数，如2的差倒数为 11−2=−1 ， −1 的差倒数 11−(−1)=12 ，已知 a1=5 ， a2 是 a1 的差倒数， a3 是 a2 的差倒数， a4 是 a3 的差倒数…，依此类推， a2019 的值是（ ）
A. 5 B. −14 C. 43 D. 45
11.公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个.求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ ）
A. 84 B. 86 C. 160 D. 162
12.按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ）
A. 9999 B. 10000 C. 10001 D. 10002
13.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式
(a+b)n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算 (a+b)8 的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A. 84 B. 56 C. 35 D. 28
14.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
15.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到 A1 ，第2次移动到 A2 ……，第n次移动到 An ，则△ OA2A2018 的面积是（ ）
A. 504 m2 B. 10092m2 C. 10112m2 D. 1009m2
16.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
17.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A. B. C. D.
18.将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A. 2019 B. 2018 C. 2016 D. 2013
19.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
A. （ 2 ）n﹣1 B. 2n﹣1 C. （ 2 ）n D. 2n
二、填空题
20.观察下列式子
第 1 个式子： 2×4+1＝9＝32
第 2 个式子： 6×8+1＝49＝72
第 3 个式子： 14×16+1＝225＝152
……
请写出第 n 个式子：________.
21.观察下列一组数的排列规律：
13,15,25,19,29,13,117,217,317,417,133,233,111,433,533 …
那么，这一组数的第2019个数是________.
22.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝________.
23.观察一列数： −3 ，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是________.
24.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1 ， 再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1 ， …，依次规律，则点A8的坐标是________.
25.我国古代数学家的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图这个三角形的构造法其两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.利用 规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1的值为________.
26.如图， ∠AOB=45∘ ，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9， 11… 的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ， S4… 则第一个黑色梯形的面积 S1= ________；观察图中的规律，第 n(n 为正整数 ) 个黑色梯形的面积 Sn= ________.
27.观察下列顺序排列的等式：
1×2×100+25＝152
2×3×100+25＝252
3×4×100+25＝352
4×5×100+25＝452
…
根据以上的规律直接写出结果：2009×2010×100+25＝________.
28.求21+22+23+…+2n的值，解题过程如下：
解：设：S＝21+22+23+…+2n①
两边同乘以2得：2S＝22+23+24+…+2n+1②
由②﹣①得：S＝2n+1﹣2
所以21+22+23+…+2n＝2n+1﹣2
参照上面解法，计算：1+31+32+33+…+3n﹣1＝________.
29.如图，填在各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=________.
30.如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， 把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1,P2 ， 把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， P2 ， P3 ， 把△ABC分成7个互不重叠的小三角形-..·△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn ， 把△ABC分成________个互不重叠的小三角形.
31.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，则第n个图中小黑点的个数为________.
32.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1 ，
再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2 ， 如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝________.
33.如图，已知A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1）、A5（2，﹣1）、….则点A2019的坐标为________.
34.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=3x+3 与x轴交于点A1 ， 与y轴交于点A2 ， 过点A1作x轴的垂线交直线 l2:y=33x 于点B1 ， 过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2 ， 此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1 ， 得到第1个 △C1B1B2 ；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3 ， 过点B3作y轴的平行线交l1于点A3 ， 连接A3B2与A2B3交于点C2 ， 得到第2个 △C2B2B3 ……按照此规律进行下去，则第2019个 C2019B2019B2020 的面积是________.
35.如图，点A1 ， A2 ， A3…，An在x轴正半轴上，点C1 ， C2 ， C3 ， …， Cn 在y轴正半轴上，点B1 ， B2 ， B3 ， …，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝Bn﹣1Bn＝ 32 a，A1B1⊥B1C1 ， A2B2⊥B2C2 ， A3B3⊥B3C3 ， …， AnBn⊥BnCn ，…，则第n个四边形 OAnBnCn 的面积是________.
36.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1 ， 边OA1与AB交于点O1 ， 以O1B为边作等边△O1BA2 ， 边O1A2与A1B交于点O2 ， 以O2B为边作等边△O2BA3 ， 边O2A3与A2B交于点O3 ， …，依此规律继续作等边△On﹣1BAn ， 记△OO1A的面积为S1 ， △O1O2A1的面积为S2 ， △O2O3A2的面积为S3 ， …，△On﹣1OnAn﹣1的面积为Sn ， 则Sn＝________.（n≥2，且n为整数）
37.如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1 ， 再依次作菱形OA2A3B2 ， OA3A4B3 ， ……，则过点B2018 ， B2019 ， A2019的圆的圆心坐标为________.
38.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1 ， A1 A2B2C2 ， A2A3B3C3 ， …都是菱形，点A1 ， A2 ， A3 ， …都在x轴上，点C1 ， C2 ， C3 ， …都在直线 y=33x+33 上，且∠C1OA1 =∠C2A1 A2=∠C3A2A3=…=60°，OA1=1，则点C6的坐标是________．
39.如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2 ， 过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是________.
答案
一、选择题
1.根据数据，结合图形，不难发现：后边的图形总比前边的图形多6.即第n个图形中，
有8+6（n-1）=6n+2.
所以，第（6）个图形中，火柴棒的根数是6×6+2=38.
故答案为：C.
2.解：∵图案①需火柴棒：8根；
图案②需火柴棒：8+7=15根；
图案③需火柴棒：8+7+7=22根；
…
∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；
故答案为：D.
3.解：观察发现：
2＝1×2﹣0；
10＝3×4﹣2；
26＝5×6﹣4；
50＝7×8﹣6；
…
a＝15×16﹣14＝226，
故答案为：C.
4.∵OC1＝OA1＝B1C1＝A1B1＝1，
∴B1（1，1），
∵A2在直线y＝x+1上，
∴A2（1，2），
∴C1C2＝B2C2＝2
∴B2（3，2），同理可得B3（7，4），B4（15，8）…
所以Bn（2n﹣1，2n﹣1），
所以B6的坐标为（63，32）；
故答案为：A.
5.第1个图形的花盆个数为：（1+1）（1+2）；
第2个图形的花盆个数为：（2+1）（2+2）=12；
第3个图形的花盆个数为：（3+1）（3+2）=20；
⋯⋯ ，
第n个图形的花盆个数为：（n+1）（n+2）；
则第8个图形中花盆的个数为：（8+1）（8+2）=90.
故答案为：D.
6.解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1 ， C3 ， C5 ， …在第一象限，点C2 ， C4 ， C6 ， …在x轴上.
∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB= OA2+OB2 =5，
∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)，
∴点C100的横坐标为100×6=600，
∴点C100的坐标为(600，0).
故答案为：B.
7.解：原式＝ 12×(1−12+12−13+13−15+15−17+17−19+...137−139)
＝ 12×(1−139)
＝ 1939 。
故答案为：B。
8.解：联立直线 l1 与直线 l2 的表达式并解得： x=32 ， y=32 ，故 A1(32,32) ；
则点 B1(32,0) ，则直线 B1A2 的表达式为 y=3x+b ，
将点 B1 坐标代入上式并解得：直线 B1A2 的表达式为： y3=3x−32 ，
将表达式 y3 与直线 l1 的表达式联立并解得： x=534 ， y=94 ，即点 A2 的纵坐标为 94 ；
同理可得 A3 的纵坐标为 278 ，
…按此规律，则点 An 的纵坐标为 (32)n ，
故答案为：A．
9.解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用 (−1)n−1 或 (−1)n+1 ，( n 为大于等于1的整数)来控制正负，
指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为 2n+1 ，
∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1 。
故答案为：C。
10.解： ∵a1＝5 ，
a2=11−a1=11−5=−14 ，
a3=11−a2=11−(−14)=45 ，
a4=11−a3=11−45=5 ，
…
∴数列以 5,−14,45 三个数依次不断循环，
∵2019÷3=673 ，
∴a2019=a5=45
故答案为：D．
11.解： 3+40×2+1=84.
答：步道上总共使用84个三角形地砖.
故答案为：A.
12.∵2=12+1，
3=22﹣1，
10=32+1，
15=42﹣1，
26=52+1，
35=62﹣1，
…，
∴可得奇数位置的数是序数的平方加 1，偶数位置的数是序数的平方减 1，
∴第 100个数是 1002﹣1=9999，
故答案为：A．
13.找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；
（a+b）5的第四项系数为10=6+4；
（a+b）6的第四项系数为20=10+10；
（a+b）7的第四项系数为35=15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．
故答案为：B．
14.∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；
第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；
第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；
……
∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）
∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，
故答案为：C.
15.解：依题可得：
A2（1,1），A4（2，0），A8（4,0），A12（6,0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008,0），
∴A2018（1009,1），
∴A2A2018=1009-1=1008,
∴S△ OA2A2018 = 12 ×1×1008=504（ m2 ）.
故答案为：A.
16.解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
…
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故答案为：B．
17.解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有
故答案为：C．
18.解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，
∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x．
根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，
解得：x=673，x=672 23 （舍去），x=672，x=671．
∵673=84×8+1，
∴2019不合题意，舍去；
∵672=84×8，
∴2016不合题意，舍去；
∵671=83×7+7，
∴三个数之和为2013．
故答案为：D．
19.解：第一个正方形的面积为1=20 ，
第二个正方形的面积为（ 2 ）2=2=21 ，
第三个正方形的边长为22 ，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1 ，
故答案为：B．
二、填空题
20. 解： ∵ 第 1 个式子： 2×4+1＝9＝32 ，即 （22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2 ，
第 2 个式子： 6×8+1＝49＝72 ，即 （23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2 ，
第 3 个式子： 14×16+1＝225＝152 ，即 （24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2 ，
……
∴ 第 n 个等式为： （2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2 .
故答案为： （2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2 .
21.观察数据可得：第一组： 13 = 121+1 ，
第二组： 15 = 122+1 ， 25 = 222+1 ，
第三组： 19=123+1 ， 29=223+1 ， 13=323+1 ，
第四组： 117=124+1 ， 217=224+1 ， 317=324+1 ， 417=424+1 ，
第五组： 133=125+1 ， 233=225+1 ， 333=325+1 ， 433=425+1 ， 533=525+1 ，
……
第n组： 12n+1 ， 22n+1 ， 32n+1 …… n2n+1
∴每组中的数据数为组数，每组中分子为组中的序数号，分母为2n+1(n为组数)，
设有n组分数和x个分数的和为2019，
∴ n(n+1)2 +x=2019，
∵n为整数， 63×642 =2016， 64×652 =2080，
∴n=63，x=3，
∴第2019个数是第64组第3个数，
∴第2019个数为 3264+1 .
故答案为： 3264+1.
22.解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.
第2幅图中有2×2﹣1＝3个.
第3幅图中有2×3﹣1＝5个.
第4幅图中有2×4﹣1＝7个.
….
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.
故第n幅图中共有（2n﹣1）个.
当图中有2019个菱形时，
2n﹣1＝2019
n＝1010，
故答案为：1010.
23.解：由题意知，这列数的第 n 个数为 −3+3(n−1)=3n−6 ，
当 n=21 时， 3n−6=3×21−6=57 。
故答案为：57。
24.根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 2 ，
∵从A到A3经过了3次变化，
∵45°×3＝135°，1×（ 2 ）3＝2 2 ，
∴点A3所在的正方形的边长为2 2 ，点A3位置在第四象限，
∴点A3的坐标是（2，﹣2），
可得出：A1点坐标为（1，1），
A2点坐标为（2，0），
A3点坐标为（2，﹣2），
A4点坐标为（0，﹣4），
A5点坐标为（﹣4，﹣4），
A6点坐标为（﹣8，0），
A7点坐标为（﹣8，8），
A8点坐标为（0，16），
故答案为（0，16）.
25.根据规律可得（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
令a=2，b=-1，
得：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=（2-1）5=1.
故答案为：1
26.解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
∴S1= 12 （1+3）×2=4；
Sn= 12 ×2×[4+8（n-1）]=8n-4.
故答案为：4； 4(2n−1)
27.解：根据题意，观察可得：
1×2×100+25＝（1×10+5）2＝152
2×3×100+25＝（2×10+5）2＝252
…
分析可得：n×（n+1）×100+25＝（n×10+5）2 ，
故2009×2010×100+25＝（2009×10+5）2＝200952.
故答案为：200952.
28.解：设S＝1+31+32+33+…+3n﹣1①
∴3S＝3（1+31+32+33+…+3n﹣1）＝3+32+33+…+3n②
②﹣①得
2S＝3n﹣1
∴S＝1+31+32+33+…+3n﹣1＝ 3n−12 ，
故答案为： 3n−12 .
29.解：由题意可知
a=2×5=10，c=2×5-1=9，b=ac+1=9×10+1=91
∴a+b+c=10+9+91=110
故答案为：110
30.解：△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， 把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2 ， 把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3 ， 把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，
所以△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2(n−1)=2n+1
故答案为：2n+1.
31.解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；
则第n个图中有n×（n﹣1）+1＝n2﹣n+1个点，故答案为n2-n+1.
32.由题意得，S正方形ABCD＝1， AO1=22 ，∴ S正方形AEBO1=(22)2=12 ，可得 EO2=12 .∴ S正方形EFBO2=(12)2 ，…，第n个正方形的面积 Sn=12n−1 .
33.解：观察图形，可知：点A3的坐标为（﹣1，1），点A7的坐标为（﹣2，2），点A11的坐标为（﹣3，3），…，
∴点A4n﹣1的坐标为（﹣n，n）（n为正整数）.
又∵2019＝4×505﹣1，
∴点A2019的坐标为（﹣505，505）.
故答案为：（﹣505，505）.
34.解：∵ y=3x+3 与x轴交于点A1 ， 与y轴交于点A2 ，
∴ A1(−1,0) ， A2(0,3)
在 y=33x 中，当 x=−1 时， y=−33 ，
∴ B1(−1,−33) ，
设直线A2B1的解析式为： y=kx+b ，
可得： {b=3−k+b=−33 ，
解得： {k=433b=3 ，
∴直线A2B1的解析式为： y=433x+3 ，
令 y=0 ，可得： x=−34 ，
∴ C2(−34,0) ，
∴ S△C1B1B2=12B2C1⋅A1B1=12×34×33=38=9038 ，
∵ △A1B1B2∽△A2B2B3 ，
∴ △C1B1B2∽△C2B2B3 ，
∴ S△C2B2B3SΔC1B1B2=(B2B3B1B2)2=(A2B2A1B1)2=(3)2(33)2=9 ，
∴ SΔC2B2B3=9S△C1B1B2=983 ，
同理可得： S△C3B3B4=9S△C2B2B3=9283 ，
∴ △C2019B2019B2020 的面积 =9201883=3403683 ，
故答案为： 3403683 .
35.解：如图，
过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，
∵∠B1OC1＝∠B1OA1 ，
∴B1H＝B1N
∵∠HB1N＝∠C1BA1＝90°
∴∠HB1C1＝∠NB1A1
∵∠B1HC1＝∠B1NA1＝90°
∴△B1HC1≌△B1NA1（AAS）
∴B1C1＝B1A1
∵∠C1B1F+∠A1B1F＝90°，∠A1B1F＝90°
∴∠C1B1F＝∠B1A1F
∵∠C1EB1＝∠B1FA1＝90°
∴△B1C1E≌△A1B1F（AAS）
∴C1E＝B1F
∵∠B1OA1＝45°
∴∠FA1O＝45°
∴A1F＝OF
∴C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1
S四边形OA1B1C1=SΔOB1C1+SΔOB1A1 ＝ 12OB1 •C1E+ 12OB1⋅A1F ＝ 12OB1 （C1E+A1F）＝ 12OB12 ＝ 12(3a2)2 ＝ 38a2 ，
同理， S四边形OA2B2C2 ＝ 12OB22 ＝ 12(3a2⋅2)2 ＝ 38a2⋅22 ，
S四边形OA3B3C3= 12OB32 ＝ 12(3a2⋅3)2 ＝ 38a2⋅32 ，
…，
S四边形OAnBnCn ＝ 12OBn2 ＝ 12(3a2⋅n)2 ＝ 38a2⋅n2 ＝ 3n2a28 .
故答案为： 3n2a28 .
36.解：由题意：△ OO1A∽ △ O1O2A1∽ △ O2O3A2 ， … ， ∽ △ On−1OnAn−1 ，相似比： O1A1OA=OO1OA=sin60°=32 ，
∵S1=S△AOO1=12×1×3=32 ， S2S1=34 ，
∴S2=34S1 ， S3=(34)2·S1 ， … ， Sn=(34)n−1·S1=(34)n−1·32 ，
故答案为： (34)n−1·32 .
37.解：过A1作A1C⊥x轴于C，
∵四边形OAA1B是菱形，
∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，
∴A1C＝ 32 ，AC＝ 12 ，
∴OC＝OA+AC＝ 32 ，
在Rt△OA1C中，OA1＝ OC2+A1C2=3 ，
∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，
∴∠A3A2B1＝90°，
∴∠A2B1A3＝60°，
∴B1A3＝2 3 ，A2A3＝3，
∴OA3＝OB1+B1A3＝3 3 ＝（ 3 ）3
∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（ 3 ）2 ，
设B1A3的中点为O1 ， 连接O1A2 ， O1B2 ，
于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B1＝ 3 ＝（ 3 ）1 ，
∴过点B1 ， B2 ， A2的圆的圆心坐标为O1（0， 23 ），
∵菱形OA3A4B3的边长为3 3 ＝（ 3 ）3 ，
∴OA4＝9＝（ 3 ）4 ，
设B2A4的中点为O2 ，
连接O2A3 ， O2B3 ，
同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（ 3 ）2 ，
∴过点B2 ， B3 ， A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，3 3 ），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（ 3 ）2019 ，
OA2020＝（ 3 ）2020 ，
设B2018A2020的中点为O2018 ， 连接O2018A2019 ， O2018B2019 ，
求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（ 3 ）2018 ，
∴点O2018是过点B2018 ， B2019 ， A2019的圆的圆心，
∵2018÷12＝168…2，
∴点O2018在射线OB2上，
则点O2018的坐标为（﹣（ 3 ）2018 ， （ 3 ）2019），
即过点B2018 ， B2019 ， A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（ 3 ）2018 ， （ 3 ）2019），
故答案为：（﹣（ 3 ）2018 ， （ 3 ）2019）.
38.解：∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∵∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝32 ， 横坐标为cos60°•OC1＝12 ，
∴C1（12 ， 32），
∵ 四边形OA1B1C1 ， A1 A2B2C2 ， A2A3B3C3 ， …都是菱形，
∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝3 ， 代入 y=33x+33 得x=2，
∴C2（2，3），
同理C3（5，43）
C4（11，83），
C5（23，163），
∴C6（47，323）。
故答案为：（47，323）。
39.∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，
∵BA1⊥AC，
∴AA1=A1C，
∴A1（ 34 ， 34 ），
∵A1B1∥OA，
∴∠A1B1C=∠ABC=60°，
∴△A1B1C是等边三角形，
∴A2是A1C的中点，
∴A2（ 78，38 ），
同理A3（ 1516，316 ），
…
∴An（ 2n+1−12n+1,32n+1 ）,A2020的坐标是 (22021−122021,322021) ,
一、选择题
1.下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（ ）
A. 34 B. 36 C. 38 D. 48
2.下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案n需几根火柴棒（ ）
A. 2+7n B. 8+7n C. 4+7n D. 7n+1
3.仔细观察下列数字排列规律，则a＝（ ）
A. 206 B. 216 C. 226 D. 236
4.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图的方式放置.点A1 ， A2 ， A3 ， …和点C1 ， C2 ， C3 ， …分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（ ）
A. （63，32） B. （64，32） C. （63，31） D. （64，31）
5.如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（ ）
A. 56 B. 64 C. 72 D. 90
6.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为（ ）
A. (1200,125) B. (600,0) C. (600,125) D. (1200,0)
7.计算 11×3 + 13×5 + 15×7 + 17×9 +…+ 137×39 的结果是（ ）
A. 1937 B. 1939 C. 3739 D. 3839
8.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=33x+1 与直线 l2:y=3x 交于点 A1 ，过 A1 作 x 轴的垂线，垂足为 B1 ，过 B1 作 l2 的平行线交 l1 于 A2 ，过 A2 作 x 轴的垂线，垂足为 B2 ，过 B2 作 l2 的平行线交 l1 于 A3 ，过 A3 作 x 轴的垂线，垂足为 B3 …按此规律，则点 An 的纵坐标为（ ）
A. (32)n B. (12)n+1 C. (32)n−1+12 D. 3n−12
9.按一定规律排列的单项式：x3 ， －x5 ， x7 ， －x9 ， x11 ， ……第n个单项式是( )
A. (－1)n－1x2n－1 B. (－1)nx2n－1 C. (－1)n－1x2n＋1 D. (－1)nx2n＋1
10.a是不为1的有理数，我们把 11−a 称为a的差倒数，如2的差倒数为 11−2=−1 ， −1 的差倒数 11−(−1)=12 ，已知 a1=5 ， a2 是 a1 的差倒数， a3 是 a2 的差倒数， a4 是 a3 的差倒数…，依此类推， a2019 的值是（ ）
A. 5 B. −14 C. 43 D. 45
11.公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个.求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ ）
A. 84 B. 86 C. 160 D. 162
12.按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ）
A. 9999 B. 10000 C. 10001 D. 10002
13.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式
(a+b)n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算 (a+b)8 的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A. 84 B. 56 C. 35 D. 28
14.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
15.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到 A1 ，第2次移动到 A2 ……，第n次移动到 An ，则△ OA2A2018 的面积是（ ）
A. 504 m2 B. 10092m2 C. 10112m2 D. 1009m2
16.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
17.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A. B. C. D.
18.将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A. 2019 B. 2018 C. 2016 D. 2013
19.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
A. （ 2 ）n﹣1 B. 2n﹣1 C. （ 2 ）n D. 2n
二、填空题
20.观察下列式子
第 1 个式子： 2×4+1＝9＝32
第 2 个式子： 6×8+1＝49＝72
第 3 个式子： 14×16+1＝225＝152
……
请写出第 n 个式子：________.
21.观察下列一组数的排列规律：
13,15,25,19,29,13,117,217,317,417,133,233,111,433,533 …
那么，这一组数的第2019个数是________.
22.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝________.
23.观察一列数： −3 ，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是________.
24.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1 ， 再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1 ， …，依次规律，则点A8的坐标是________.
25.我国古代数学家的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图这个三角形的构造法其两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.利用 规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1的值为________.
26.如图， ∠AOB=45∘ ，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9， 11… 的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ， S4… 则第一个黑色梯形的面积 S1= ________；观察图中的规律，第 n(n 为正整数 ) 个黑色梯形的面积 Sn= ________.
27.观察下列顺序排列的等式：
1×2×100+25＝152
2×3×100+25＝252
3×4×100+25＝352
4×5×100+25＝452
…
根据以上的规律直接写出结果：2009×2010×100+25＝________.
28.求21+22+23+…+2n的值，解题过程如下：
解：设：S＝21+22+23+…+2n①
两边同乘以2得：2S＝22+23+24+…+2n+1②
由②﹣①得：S＝2n+1﹣2
所以21+22+23+…+2n＝2n+1﹣2
参照上面解法，计算：1+31+32+33+…+3n﹣1＝________.
29.如图，填在各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=________.
30.如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， 把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1,P2 ， 把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， P2 ， P3 ， 把△ABC分成7个互不重叠的小三角形-..·△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn ， 把△ABC分成________个互不重叠的小三角形.
31.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，则第n个图中小黑点的个数为________.
32.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1 ，
再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2 ， 如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝________.
33.如图，已知A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1）、A5（2，﹣1）、….则点A2019的坐标为________.
34.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=3x+3 与x轴交于点A1 ， 与y轴交于点A2 ， 过点A1作x轴的垂线交直线 l2:y=33x 于点B1 ， 过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2 ， 此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1 ， 得到第1个 △C1B1B2 ；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3 ， 过点B3作y轴的平行线交l1于点A3 ， 连接A3B2与A2B3交于点C2 ， 得到第2个 △C2B2B3 ……按照此规律进行下去，则第2019个 C2019B2019B2020 的面积是________.
35.如图，点A1 ， A2 ， A3…，An在x轴正半轴上，点C1 ， C2 ， C3 ， …， Cn 在y轴正半轴上，点B1 ， B2 ， B3 ， …，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝Bn﹣1Bn＝ 32 a，A1B1⊥B1C1 ， A2B2⊥B2C2 ， A3B3⊥B3C3 ， …， AnBn⊥BnCn ，…，则第n个四边形 OAnBnCn 的面积是________.
36.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1 ， 边OA1与AB交于点O1 ， 以O1B为边作等边△O1BA2 ， 边O1A2与A1B交于点O2 ， 以O2B为边作等边△O2BA3 ， 边O2A3与A2B交于点O3 ， …，依此规律继续作等边△On﹣1BAn ， 记△OO1A的面积为S1 ， △O1O2A1的面积为S2 ， △O2O3A2的面积为S3 ， …，△On﹣1OnAn﹣1的面积为Sn ， 则Sn＝________.（n≥2，且n为整数）
37.如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1 ， 再依次作菱形OA2A3B2 ， OA3A4B3 ， ……，则过点B2018 ， B2019 ， A2019的圆的圆心坐标为________.
38.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1 ， A1 A2B2C2 ， A2A3B3C3 ， …都是菱形，点A1 ， A2 ， A3 ， …都在x轴上，点C1 ， C2 ， C3 ， …都在直线 y=33x+33 上，且∠C1OA1 =∠C2A1 A2=∠C3A2A3=…=60°，OA1=1，则点C6的坐标是________．
39.如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2 ， 过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是________.
答案
一、选择题
1.根据数据，结合图形，不难发现：后边的图形总比前边的图形多6.即第n个图形中，
有8+6（n-1）=6n+2.
所以，第（6）个图形中，火柴棒的根数是6×6+2=38.
故答案为：C.
2.解：∵图案①需火柴棒：8根；
图案②需火柴棒：8+7=15根；
图案③需火柴棒：8+7+7=22根；
…
∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；
故答案为：D.
3.解：观察发现：
2＝1×2﹣0；
10＝3×4﹣2；
26＝5×6﹣4；
50＝7×8﹣6；
…
a＝15×16﹣14＝226，
故答案为：C.
4.∵OC1＝OA1＝B1C1＝A1B1＝1，
∴B1（1，1），
∵A2在直线y＝x+1上，
∴A2（1，2），
∴C1C2＝B2C2＝2
∴B2（3，2），同理可得B3（7，4），B4（15，8）…
所以Bn（2n﹣1，2n﹣1），
所以B6的坐标为（63，32）；
故答案为：A.
5.第1个图形的花盆个数为：（1+1）（1+2）；
第2个图形的花盆个数为：（2+1）（2+2）=12；
第3个图形的花盆个数为：（3+1）（3+2）=20；
⋯⋯ ，
第n个图形的花盆个数为：（n+1）（n+2）；
则第8个图形中花盆的个数为：（8+1）（8+2）=90.
故答案为：D.
6.解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1 ， C3 ， C5 ， …在第一象限，点C2 ， C4 ， C6 ， …在x轴上.
∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB= OA2+OB2 =5，
∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)，
∴点C100的横坐标为100×6=600，
∴点C100的坐标为(600，0).
故答案为：B.
7.解：原式＝ 12×(1−12+12−13+13−15+15−17+17−19+...137−139)
＝ 12×(1−139)
＝ 1939 。
故答案为：B。
8.解：联立直线 l1 与直线 l2 的表达式并解得： x=32 ， y=32 ，故 A1(32,32) ；
则点 B1(32,0) ，则直线 B1A2 的表达式为 y=3x+b ，
将点 B1 坐标代入上式并解得：直线 B1A2 的表达式为： y3=3x−32 ，
将表达式 y3 与直线 l1 的表达式联立并解得： x=534 ， y=94 ，即点 A2 的纵坐标为 94 ；
同理可得 A3 的纵坐标为 278 ，
…按此规律，则点 An 的纵坐标为 (32)n ，
故答案为：A．
9.解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用 (−1)n−1 或 (−1)n+1 ，( n 为大于等于1的整数)来控制正负，
指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为 2n+1 ，
∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1 。
故答案为：C。
10.解： ∵a1＝5 ，
a2=11−a1=11−5=−14 ，
a3=11−a2=11−(−14)=45 ，
a4=11−a3=11−45=5 ，
…
∴数列以 5,−14,45 三个数依次不断循环，
∵2019÷3=673 ，
∴a2019=a5=45
故答案为：D．
11.解： 3+40×2+1=84.
答：步道上总共使用84个三角形地砖.
故答案为：A.
12.∵2=12+1，
3=22﹣1，
10=32+1，
15=42﹣1，
26=52+1，
35=62﹣1，
…，
∴可得奇数位置的数是序数的平方加 1，偶数位置的数是序数的平方减 1，
∴第 100个数是 1002﹣1=9999，
故答案为：A．
13.找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；
（a+b）5的第四项系数为10=6+4；
（a+b）6的第四项系数为20=10+10；
（a+b）7的第四项系数为35=15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．
故答案为：B．
14.∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；
第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；
第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；
……
∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）
∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，
故答案为：C.
15.解：依题可得：
A2（1,1），A4（2，0），A8（4,0），A12（6,0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008,0），
∴A2018（1009,1），
∴A2A2018=1009-1=1008,
∴S△ OA2A2018 = 12 ×1×1008=504（ m2 ）.
故答案为：A.
16.解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
…
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故答案为：B．
17.解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有
故答案为：C．
18.解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，
∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x．
根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，
解得：x=673，x=672 23 （舍去），x=672，x=671．
∵673=84×8+1，
∴2019不合题意，舍去；
∵672=84×8，
∴2016不合题意，舍去；
∵671=83×7+7，
∴三个数之和为2013．
故答案为：D．
19.解：第一个正方形的面积为1=20 ，
第二个正方形的面积为（ 2 ）2=2=21 ，
第三个正方形的边长为22 ，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1 ，
故答案为：B．
二、填空题
20. 解： ∵ 第 1 个式子： 2×4+1＝9＝32 ，即 （22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2 ，
第 2 个式子： 6×8+1＝49＝72 ，即 （23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2 ，
第 3 个式子： 14×16+1＝225＝152 ，即 （24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2 ，
……
∴ 第 n 个等式为： （2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2 .
故答案为： （2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2 .
21.观察数据可得：第一组： 13 = 121+1 ，
第二组： 15 = 122+1 ， 25 = 222+1 ，
第三组： 19=123+1 ， 29=223+1 ， 13=323+1 ，
第四组： 117=124+1 ， 217=224+1 ， 317=324+1 ， 417=424+1 ，
第五组： 133=125+1 ， 233=225+1 ， 333=325+1 ， 433=425+1 ， 533=525+1 ，
……
第n组： 12n+1 ， 22n+1 ， 32n+1 …… n2n+1
∴每组中的数据数为组数，每组中分子为组中的序数号，分母为2n+1(n为组数)，
设有n组分数和x个分数的和为2019，
∴ n(n+1)2 +x=2019，
∵n为整数， 63×642 =2016， 64×652 =2080，
∴n=63，x=3，
∴第2019个数是第64组第3个数，
∴第2019个数为 3264+1 .
故答案为： 3264+1.
22.解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.
第2幅图中有2×2﹣1＝3个.
第3幅图中有2×3﹣1＝5个.
第4幅图中有2×4﹣1＝7个.
….
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.
故第n幅图中共有（2n﹣1）个.
当图中有2019个菱形时，
2n﹣1＝2019
n＝1010，
故答案为：1010.
23.解：由题意知，这列数的第 n 个数为 −3+3(n−1)=3n−6 ，
当 n=21 时， 3n−6=3×21−6=57 。
故答案为：57。
24.根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以 2 ，
∵从A到A3经过了3次变化，
∵45°×3＝135°，1×（ 2 ）3＝2 2 ，
∴点A3所在的正方形的边长为2 2 ，点A3位置在第四象限，
∴点A3的坐标是（2，﹣2），
可得出：A1点坐标为（1，1），
A2点坐标为（2，0），
A3点坐标为（2，﹣2），
A4点坐标为（0，﹣4），
A5点坐标为（﹣4，﹣4），
A6点坐标为（﹣8，0），
A7点坐标为（﹣8，8），
A8点坐标为（0，16），
故答案为（0，16）.
25.根据规律可得（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
令a=2，b=-1，
得：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=（2-1）5=1.
故答案为：1
26.解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
∴S1= 12 （1+3）×2=4；
Sn= 12 ×2×[4+8（n-1）]=8n-4.
故答案为：4； 4(2n−1)
27.解：根据题意，观察可得：
1×2×100+25＝（1×10+5）2＝152
2×3×100+25＝（2×10+5）2＝252
…
分析可得：n×（n+1）×100+25＝（n×10+5）2 ，
故2009×2010×100+25＝（2009×10+5）2＝200952.
故答案为：200952.
28.解：设S＝1+31+32+33+…+3n﹣1①
∴3S＝3（1+31+32+33+…+3n﹣1）＝3+32+33+…+3n②
②﹣①得
2S＝3n﹣1
∴S＝1+31+32+33+…+3n﹣1＝ 3n−12 ，
故答案为： 3n−12 .
29.解：由题意可知
a=2×5=10，c=2×5-1=9，b=ac+1=9×10+1=91
∴a+b+c=10+9+91=110
故答案为：110
30.解：△ABC的三个顶点和它内部的点P1 ， 把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2 ， 把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3 ， 把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，
所以△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2(n−1)=2n+1
故答案为：2n+1.
31.解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；
则第n个图中有n×（n﹣1）+1＝n2﹣n+1个点，故答案为n2-n+1.
32.由题意得，S正方形ABCD＝1， AO1=22 ，∴ S正方形AEBO1=(22)2=12 ，可得 EO2=12 .∴ S正方形EFBO2=(12)2 ，…，第n个正方形的面积 Sn=12n−1 .
33.解：观察图形，可知：点A3的坐标为（﹣1，1），点A7的坐标为（﹣2，2），点A11的坐标为（﹣3，3），…，
∴点A4n﹣1的坐标为（﹣n，n）（n为正整数）.
又∵2019＝4×505﹣1，
∴点A2019的坐标为（﹣505，505）.
故答案为：（﹣505，505）.
34.解：∵ y=3x+3 与x轴交于点A1 ， 与y轴交于点A2 ，
∴ A1(−1,0) ， A2(0,3)
在 y=33x 中，当 x=−1 时， y=−33 ，
∴ B1(−1,−33) ，
设直线A2B1的解析式为： y=kx+b ，
可得： {b=3−k+b=−33 ，
解得： {k=433b=3 ，
∴直线A2B1的解析式为： y=433x+3 ，
令 y=0 ，可得： x=−34 ，
∴ C2(−34,0) ，
∴ S△C1B1B2=12B2C1⋅A1B1=12×34×33=38=9038 ，
∵ △A1B1B2∽△A2B2B3 ，
∴ △C1B1B2∽△C2B2B3 ，
∴ S△C2B2B3SΔC1B1B2=(B2B3B1B2)2=(A2B2A1B1)2=(3)2(33)2=9 ，
∴ SΔC2B2B3=9S△C1B1B2=983 ，
同理可得： S△C3B3B4=9S△C2B2B3=9283 ，
∴ △C2019B2019B2020 的面积 =9201883=3403683 ，
故答案为： 3403683 .
35.解：如图，
过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，
∵∠B1OC1＝∠B1OA1 ，
∴B1H＝B1N
∵∠HB1N＝∠C1BA1＝90°
∴∠HB1C1＝∠NB1A1
∵∠B1HC1＝∠B1NA1＝90°
∴△B1HC1≌△B1NA1（AAS）
∴B1C1＝B1A1
∵∠C1B1F+∠A1B1F＝90°，∠A1B1F＝90°
∴∠C1B1F＝∠B1A1F
∵∠C1EB1＝∠B1FA1＝90°
∴△B1C1E≌△A1B1F（AAS）
∴C1E＝B1F
∵∠B1OA1＝45°
∴∠FA1O＝45°
∴A1F＝OF
∴C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1
S四边形OA1B1C1=SΔOB1C1+SΔOB1A1 ＝ 12OB1 •C1E+ 12OB1⋅A1F ＝ 12OB1 （C1E+A1F）＝ 12OB12 ＝ 12(3a2)2 ＝ 38a2 ，
同理， S四边形OA2B2C2 ＝ 12OB22 ＝ 12(3a2⋅2)2 ＝ 38a2⋅22 ，
S四边形OA3B3C3= 12OB32 ＝ 12(3a2⋅3)2 ＝ 38a2⋅32 ，
…，
S四边形OAnBnCn ＝ 12OBn2 ＝ 12(3a2⋅n)2 ＝ 38a2⋅n2 ＝ 3n2a28 .
故答案为： 3n2a28 .
36.解：由题意：△ OO1A∽ △ O1O2A1∽ △ O2O3A2 ， … ， ∽ △ On−1OnAn−1 ，相似比： O1A1OA=OO1OA=sin60°=32 ，
∵S1=S△AOO1=12×1×3=32 ， S2S1=34 ，
∴S2=34S1 ， S3=(34)2·S1 ， … ， Sn=(34)n−1·S1=(34)n−1·32 ，
故答案为： (34)n−1·32 .
37.解：过A1作A1C⊥x轴于C，
∵四边形OAA1B是菱形，
∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，
∴A1C＝ 32 ，AC＝ 12 ，
∴OC＝OA+AC＝ 32 ，
在Rt△OA1C中，OA1＝ OC2+A1C2=3 ，
∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，
∴∠A3A2B1＝90°，
∴∠A2B1A3＝60°，
∴B1A3＝2 3 ，A2A3＝3，
∴OA3＝OB1+B1A3＝3 3 ＝（ 3 ）3
∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（ 3 ）2 ，
设B1A3的中点为O1 ， 连接O1A2 ， O1B2 ，
于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B1＝ 3 ＝（ 3 ）1 ，
∴过点B1 ， B2 ， A2的圆的圆心坐标为O1（0， 23 ），
∵菱形OA3A4B3的边长为3 3 ＝（ 3 ）3 ，
∴OA4＝9＝（ 3 ）4 ，
设B2A4的中点为O2 ，
连接O2A3 ， O2B3 ，
同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（ 3 ）2 ，
∴过点B2 ， B3 ， A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，3 3 ），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（ 3 ）2019 ，
OA2020＝（ 3 ）2020 ，
设B2018A2020的中点为O2018 ， 连接O2018A2019 ， O2018B2019 ，
求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（ 3 ）2018 ，
∴点O2018是过点B2018 ， B2019 ， A2019的圆的圆心，
∵2018÷12＝168…2，
∴点O2018在射线OB2上，
则点O2018的坐标为（﹣（ 3 ）2018 ， （ 3 ）2019），
即过点B2018 ， B2019 ， A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（ 3 ）2018 ， （ 3 ）2019），
故答案为：（﹣（ 3 ）2018 ， （ 3 ）2019）.
38.解：∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∵∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝32 ， 横坐标为cos60°•OC1＝12 ，
∴C1（12 ， 32），
∵ 四边形OA1B1C1 ， A1 A2B2C2 ， A2A3B3C3 ， …都是菱形，
∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝3 ， 代入 y=33x+33 得x=2，
∴C2（2，3），
同理C3（5，43）
C4（11，83），
C5（23，163），
∴C6（47，323）。
故答案为：（47，323）。
39.∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，
∵BA1⊥AC，
∴AA1=A1C，
∴A1（ 34 ， 34 ），
∵A1B1∥OA，
∴∠A1B1C=∠ABC=60°，
∴△A1B1C是等边三角形，
∴A2是A1C的中点，
∴A2（ 78，38 ），
同理A3（ 1516，316 ），
…
∴An（ 2n+1−12n+1,32n+1 ）,A2020的坐标是 (22021−122021,322021) ,
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