2020年广东深圳市中考数学一轮复习 一元二次方程补充练习解析版

2020年深圳市中考数学一轮复习之一元二次方程补充练习解析版
一、选择题
1.用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（    ）
A. (x-3)2=17                        B. (x-3)2=14                       C. （x-6)2=44                        D. (x-3）2=1
2.能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为（   ）
A. m=-1                                  B. m=0                                 C. m=4                               D. m=5
3.一元二次方程 x2−2x+b=0 的两根分别为 x1 和 x2 ，则 x1+x2 为（    ）
A. −2                                         B. b                                         C. 2                                         D. −b
4.若关于x的方程kx2﹣x﹣ 34 ＝0有实数根，则实数k的取值范围是（   ）
A. k＝0                            B. k≥﹣ 13 且k≠0                            C. k≥﹣ 13                            D. k＞﹣ 13
5.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1 ， x2 ， 则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（   ）
A. 4                                         B. 2                                          C. 1                                         D. ﹣2
6.若关于x的一元二次方程 x2+2x−k=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ）
A. k<−1                                 B. k>−1                                 C. k<1                                 D. k>1
7.已知 a ， b 是方程 x2+x−3=0 的两个实数根，则 a2−b+2019 的值是(   )
A. 2023                                   B. 2021                                   C. 2020                                  D. 2019
8.一元二次方程 2x2+3x−5=0 的根的情况为（        ）
A. 有两个相等的实数根         B. 有两个不相等的实数根          C. 只有一个实数根          D. 没有实数根
9.关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 无实数根，则实数 m 的取值范围是（  ）
A. m<1                                  B. m≥1                                  C. m≤1                                 D. m>1
10.某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为 x ，根据题意列方程为（    ）．
A. 400(1+x2)=900       B. 400(1+2x)=900        C. 900(1﹣x)2=400       D. 400(1+x)2=900
11.已知关于x的一元二次方程 (a−1)x2−2x+a2−1=0 有一个根为 x=0 ，则a的值为（    ）
A. 0                                         B. ±1                                         C. 1                                         D. −1
12.已知等腰三角形的三边长分别为 a、b、4 ，且a、b是关于 x 的一元二次方程 x2−12x+m+2=0 的两根，则 m 的值是（   ）
A. 34                                  B. 30                                  C. 30 或 34                                  D. 30 或 36
13.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（   ）．
A. 20%                                     B. 40%                                     C. 18%                                     D. 36%
14.2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）
A.              B.            C.           D. 
15.从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是（    ）

A. 100㎡                                  B. 64㎡                                  C. 121㎡                                 D. 144㎡
二、填空题
16.某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为________.
17.一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0 的根是________.
18.若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，则a的值是________.
19.在 x2+(               )+4=0 的括号中添加一个关于 x 的一次项，使方程有两个相等的实数根________
20.a是方程 2x2=x+4 的一个根，则代数式 4a2−2a 的值是________．
21.一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为________
22.若二次函数 y=x2+bx−5 的对称轴为直线 x=2 ，则关于 x 的方程 x2+bx−5=2x−13 的解为________.
23.一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是________.
24.已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是________．
25.为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为________．
三、解答题
26.改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（ AD ）16 m ，宽（ AB ）9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2 ，则小路的宽应为多少？

27.已知关于x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2−1=0 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1 ， x2是方程的两根且 x12+x22+x1x2−17=0 ，求m的值．
28.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).



（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？

（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大。小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”小敏的说法正确吗？

29.    2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴.某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件.根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
30.某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
31.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n.
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
32.    2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元.
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
33.在画二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y甲
……
6
3
2
3
6
……
乙写错了常数项，列表如下：
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y乙
……
﹣2
﹣1
2
7
14
……
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的表达式；
（2）对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) ，当 x ________时， y 的值随 x 的值增大而增大；
（3）若关于 x 的方程 ax2+bx+c=k(a≠0) 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．
34.已知关于 x 的一元二次方程 x2−(k+4)x+4k=0 .
（1）求证：无论 k 为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为 x1 、 x2 ，满足 1x1+1x2=34 ，求 k 的值；
（3）若 Rt △ ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 x1 、 x2 ，求 RtΔ ABC 的内切圆半径.
35.阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．

（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=________，x3=________；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 2x+3 =x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

答案
一、选择题
1.解：∵x2-6x-8=0，
∴x2-6x+9=8+9，
∴（x-3）2=17.
故答案为：A.
2.解：∵b²-4ac=(-4)²-4×1×m≥0，
解不等式得：x≤4，
由一元二次方程的根的判别式可知：当x≤4时，方程有实数根，
∴当m=5时，方程x²-4x+m=0没有实数根。
故答案为：D
3.解：根据题意得：
x1+x2=−−21=2 ，
故答案为：C．

4.解：∵关于x的方程kx2﹣x﹣ 34 ＝0有实数根
∴当k≠0时， Δ=b2−4ac=(−1)2−4×k×(−34)≥0 ，
解得：k≥﹣ 13 ，
当k=0时，此方程为﹣x﹣ 34 ＝0，解得x=-34 ， 满足题意，
故答案为：C.
5.解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
故答案为：A。
6.解：∵关于x的一元二次方程 x2+2x−k=0 有两个不相等的实数根，
∴ b2−4ac=4−4×1×(−k)
=4+4k>0 ，
∴ k>−1 。
故答案为：B。
7. a ， b 是方程 x2+x−3=0 的两个实数根，
∴ b=3−b2 ， a+b=−1 ， ab=3 ，
∴ a2−b+2019=a2−3+b2+2019 =(a+b)2−2ab+2016=1+6+2016=2023 ；
故答案为：A．

8.一元二次方程 2x2+3x−5=0 中，
a=2，b=3，c=-5，
△ =32−4×2×(−5) =49 >0 ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
9.根据题意得△=（-2） 2-4m＜0，
解得m＞1．
故答案为：D.
10.解：设月平均增长率为 x ，
根据根据三月份的销售量得：
400(1+x)2=900 ．
故答案为：D ．
11.解：∵关于x的一元二次方程 (a−1)x2−2x+a2−1=0 有一个根为 x=0 ，
∴ a2−1=0 ， a−1≠0 ，
则a的值为： a=−1 ．
故答案为：D．
12.解：当 a=4 时， b<8 ，
∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2−12x+m+2=0 的两根，
∴4+b=12 ，
∴b=8 不符合；
当 b=4 时， a<8 ，
∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2−12x+m+2=0 的两根，
∴4+a=12 ，
∴a=8 不符合；
当 a=b 时，
∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2−12x+m+2=0 的两根，
∴12=2a=2b ，
∴a=b=6 ，
∴m+2=36 ，
∴m=34 ；
故答案为：A ．
13.解：设平均每次降价的百分率，由题意得
25（1-x）2=16
解之：x1=0.2=20％，x2=1.8（不符合题意，舍去）
故答案为：A
14.设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故答案为：B．

15.解：设原来正方形木板的边长为xm，则锯掉一个2 m宽的长方形木条后所得矩形的宽为（x-2）m,根据矩形的面积计算公式即可列出方程：
x（x﹣2）=48，解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）。
∴原来这块木板的面积是8×8=64（m2）。
故答案为：B。
二、填空题
16. 解：设平均每次降价的百分比是 x ，根据题意得：
60(1−x)2=48.6 ，
解得： x1=0.1=10% ， x2=1.9 （不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是 10% ；
故答案为： 10%
17.解： x2﹣x﹣1＝0 ，
a=1，b=－1，c=－1，
Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5>0 ，
x=1±52×1 ，
所以 x1=1+52,x2=1−52 ，
故答案为： x1=1+52,x2=1−52 .
18.解：∵关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2+a）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2.
19.∵x2+（）+4=0，括号里是关于x的一次式
设x2+bx+4=0
∵此方程有两个相等的实数根             
∴b2-16=0
解之：b=±4
故答案为：±4x
20.解：∵a是方程 2x2=x+4 的一个根，
∴ 2a2−a=4 ，
∴ 4a2−2a=2(2a2−a)=2×4=8 ．
故答案为：8．
21.解：根的判别式=（-3）2-4×1×1=5
故答案为：5。
22.解： ∵ 二次函数 y=x2+bx−5 的对称轴为直线 x=2
∴−b2=2  
∴b=−4  
因此方程为 x2−4x−5=2x−13
所以可得 x1=2,x2=4
故答案为 x1=2 ， x2=4 .
23.解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2。
故答案为：x1＝3，x2＝2。
24.设方程另一根为x2 ．
∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2．
故答案为：﹣2．
25.由题意可得，
x（x+40）=1200，
故答案是：x（x+40）=1200．
三、解答题
26. 解：解：设小路的宽应为x米，
根据题意得： (16−2x)(9−x)=112 ，
解得： x1=1 ， x2=16 .
∵ 16>9 ，
∴ x=16 不符合题意，舍去，
∴ x=1 .
答：小路的宽应为1米.
27. 解：①根据题意得：
Δ=(2m+1)2−4(m2−1)>0 ，
解得： m>−54 ，
②根据题意得：
x1+x2=−(2m+1) ， x1x2=m2−1 ，
x12+x22+x1x2−17
=(x1+x2)2−x1x2−17
=(2m+1)2−(m2−1)−17
=0 ，
解得： m1=53 ， m2=−3 （不合题意，舍去），
∴m的值为 53 ．
28.（1）解：因为 y=x·50−x2=−12(x−25)2+6252 ，

所以当x=25时，占地面积y最大,
即当饲养室长为25m时，占地面积最大.

（2）解：因为 y=x·50−(x−2)2=−12(x−26)2+338 ，

所以当x=26时，占地面积y最大，
即饲养室长为26m时，占地面积最大.
因为26-25=1≠2，
所以小敏的说法不正确.
29. （1）解：由题意得，月销售量y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x（60≤x≤110，且x为正整数）
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x。

（2）解：由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250
化简得：x2﹣150x+5525＝0
解得x1＝65，x2＝85
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元。

（3）解：设每个月获得利润w元，由（2）知w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450
∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元.
30. （1）解：设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
{160=50k+b100=80k+b
解得 {k=−2b=260
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260

（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元。

（3）解：设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元。
31. （1）解：树状图如图所示：


（2）解：∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，
∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为 212=16 ，小利获胜的概率为 212=16 ，
∴小明、小利获胜的概率一样大.
32. （1）解：设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）.
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.

（2）解：3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200.
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.
33. （1）解：由甲同学的错误可知 c=3 ，
由乙同学提供的数据选 x=−1 ， y=−2 ； x=1 ， y=2 ，
有 {−2=a−b+32=a+b+3 ，
∴ {a=−3b=2 ，
∴ y=−3x2+2x+3

（2）≤13
（3）解：方程 ax2+bx+c=k(a≠0) 有两个不相等的实数根，
即 −3x2+2x+3−k=0 有两个不相等的实数根，
∴ Δ=4+12(3−k)>0 ，
∴ k<103
(2) y=−3x2+2x+3 的对称轴为直线 x=13 ，
∴抛物线开口向下，
∴当 x≤13 时， y 的值随 x 的值增大而增大；
故答案为 ≤13 ；
34. （1）证明：∵ Δ=(k+4)2−16k=k2−8k+16=(k−4)2≥0 ，
∴ 无论 k 为任何实数时，此方程总有两个实数根

（2）解：由题意得： x1+x2=k+4 ， x1⋅x2=4k ，
∵1x1+1x2=34
∴x1+x2x1⋅x2=34
即 k+44k=34 ， 
解得： k=2

（3）解：
解方程得： x1=4 ， x2=k
根据题意得： 42+k2=52 ，即 k=3
设直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r ，如图，
由切线长定理可得： (3−r)+(4−r)=5 ，
∴ 直角三角形 ABC 的内切圆半径 r = 3+4−52=1
35.（1）-2；1
（2）解： 2x+3  =x，
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2﹣2x﹣3=0
（x﹣3）（x+1）=0
∴x﹣3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=﹣1，
当x=﹣1时， 2x+3  = 1 =1≠﹣1，
所以﹣1不是原方程的解．
所以方程 2x+3 =x的解是x=3

（3）解：因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设AP=xm，则PD=（8﹣x）m
因为BP+CP=10，
BP= AP2+AB2 ，CP= CD2+PD2
∴ 9+x2 + (8−x)2+9 =10
∴ (8−x)2+9 =10﹣ 9+x2
两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20 9+x2 +9+x2
整理，得5 x2+9 =4x+9
两边平方并整理，得x2﹣8x+16=0
即（x﹣4）2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m
解：（1）x3+x2﹣2x=0，
x（x2+x﹣2）=0，
x（x+2）（x﹣1）=0
所以x=0或x+2=0或x﹣1=0
∴x1=0，x2=﹣2，x3=1；
故答案为：﹣2，1；