搜索
    上传资料 赚现金
    2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题04 共点等腰三角形问题(教师版)
    立即下载
    加入资料篮
    2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺  专题04 共点等腰三角形问题(教师版)01
    2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺  专题04 共点等腰三角形问题(教师版)02
    2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺  专题04 共点等腰三角形问题(教师版)03
    还剩22页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题04 共点等腰三角形问题(教师版)

    展开
    2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练(苏科版)
    专题04 共点等腰三角形问题
    【典型例题】
    1.(2020·江苏江都·月考)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE(正三角形也叫等边三角形,它的三条边都相等,三个内角都等于60°),AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.试说明:
    (1)AD=BE;
    (2)填空∠AOE= °;
    (3)CP=CQ;

    【答案】
    (1)∵△ABC和△CDE为等边三角形,
    ∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,
    ∴∠ACD=∠BCE,
    在△ACD与△BCE中,

    ∴△ACD≌△BCE(SAS),
    ∴AD=BE;
    (2)∵△ACD≌△BCE,
    ∴∠CAD=∠CBE,
    ∵∠APC=∠BPO,
    ∴∠BOP=∠ACP=60°,
    ∴∠AOE=18060°=120°,
    故答案为:120;
    (3)∵△ACD≌△BCE,
    ∴∠CAD=∠CBE,
    ∵∠ACB=∠DCE=60°,
    ∴∠BCQ=60°,
    在△CQB和△CPA中,

    ∴△CQB≌△CPA(ASA),
    ∴CP=CQ.

    【专题训练】
    一、 选择题
    1.(2020·南京师范大学附属中学江宁分校月考)如图,△ABD与△ACE均为正三角形,且AB<AC,则BE与CD之间的大小关系是(  )、

    A.BE=CD B.BE>CD C.BE<CD D.大小关系不确定
    【答案】A
    2.(2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考)如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(  )

    A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直
    【答案】A
    3.(2020·陕西定边·期末)如图,与是一对全等的等边三角形,且,下列四个结论:①;②;③;④四边形是轴对称图形.其中正确的是( )

    A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
    【答案】D
    4.(2020·西工大附中分校初一月考)如图,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一条直线上,CM平分∠DCE,连接BE.以下结论:①AD=CE;②CM⊥AE;③AE=BE+2CM;④CM∥BE,正确的有(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【答案】C
    5.(2019·黑龙江甘南·初二期末)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC、BC为边,在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF,连接BE、AF分别交AC、BC边于H、D两点.下列结论:①AF=BE;②∠AFC=∠EBC;③∠FAE=90°;④BD=FD,其中正确结论的个数是(  )

    A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
    【答案】C


    二、 填空题
    6.(2020·浙江温州·月考)如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
    恒成立的结论有 .(把你认为正确的序号都填上)

    【答案】①②③⑤
    7.(2020·黑龙江甘南·初二期末)如图,等边△A1C1C2的周长为1,作C1D1⊥A1C2于D1,在C1C2的延长线上取点C3,使D1C3=D1C1,连接D1C3,以C2C3为边作等边△A2C2C3;作C2D2⊥A2C3于D2,在C2C3的延长线上取点C4,使D2C4=D2C2,连接D2C4,以C3C4为边作等边△A3C3C4;…且点A1,A2,A3,…都在直线C1C2同侧,如此下去,可得到△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△AnCnCn+1,则△AnCnCn+1的周长为_______(n≥1,且n为整数).

    【答案】


    三、 解答题
    8.(2020·辽宁昌图·期末)如图,△ABC,△BDE均为等腰直角三角形,连接AE,CD,AE与CD相等吗?说明理由

    【答案】
    解:AE=CD,
    理由如下:和均为等腰直角三角形,
    ,,,

    在和中,


    ∴AE=CD.

    9.(2020·江苏东台·月考)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE
    (1)如图1,当点D在线段BC上,且∠BAC=90°.
    ①说明:;
    ②线段CE、CD、BC的数量关系为______.
    (2)如图2,当点D在直线BC上,设∠BAC=α,∠BCE=β.则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.

    【答案】
    (1)①∵∠BAC=∠DAE
    ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC
    ∴∠BAD=∠EAC
    ∵AB=AC,AD=AE

    ②由(1)①结论得:BD=CE
    ∵点D在线段BC上
    ∴BD+CD=BC
    ∴CE+CD=BC;
    (2)∵AB=AC,∠BAC=α





    ∵∠BCE=β

    即.

    10.(2019·南通市通州区平潮初级中学期中)△ABC是等边三角形,AD是高,△ADE是等边三角形,连接BE、ED.

    (1)判断△EBD形状并证明.
    (2)若△ABC的周长是6,求BE的长.
    【答案】
    解:(1)∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,
    ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°,BD=CD,
    又∵△ADE为等边三角形,
    ∴∠DAE=60°,AD=AE,
    则∠EAB=∠DAE-∠BAD=30°,
    在△BAE和△BAD中,

    ∴△BAE≌△BAD(SAS),
    ∴BE=BD,
    则△BDE是等腰三角形;
    (2)∵△ABC是等边三角形,且边长为6,
    ∴BC=2,
    ∴BD=DC=1,
    ∵△BAE≌△BAD,
    ∴BE=BD=1.


    11.(2020·山东垦利·期末)如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,点B在ED的延长线上.
    (1)求证:△ABD≌△ACE;
    (2)若AE=2,CE=3,求BE的长;
    (3)求∠BEC的度数

    【答案】
    (1)证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形,
    ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
    ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
    在△ABD和△ACE中,,
    ∴△ABD≌△ACE(SAS);

    (2)解:∵△ABD≌△ACE,
    ∴BD=CE,
    ∵△ADE 是等边三角形,
    ∴DE=AE,
    ∵DE+BD=BE,
    ∴AE+CE=BE,
    ∴BE=2+3=5;
    (3)解:∵△ADE 是等边三角形,
    ∴∠ADE=∠AED=60°,
    ∴∠ADB=180°﹣∠ADE=180°﹣60°=120°,
    ∵△ABD≌△ACE,
    ∴∠AEC=∠ADB=120°,
    ∴∠BEC=∠AEC﹣∠AED=120°﹣60°=60°.

    12.(2020·江苏泰州·月考)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B. C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.

    (1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘,则∠BCE= 度;
    (2)如图2,
    ①说明:△ABD≌△ACE.
    ②说明:CE+DC=BC.
    ③设∠BAC=α,∠BCE=β.当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
    【答案】
    解:(1)90°.
    理由:∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
    在△ABD与△ACE中,

    ∴△ABD≌△ACE(SAS),
    ∴∠B=∠ACE.
    ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
    ∴∠BCE=∠B+∠ACB,
    又∵∠BAC=90°
    ∴∠BCE=90°;
    故答案为:90.
    (2)①∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
    在△ABD与△ACE中,

    ∴△ABD≌△ACE(SAS);
    ②∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
    在△ABD与△ACE中,

    ∴△ABD≌△ACE(SAS),
    ∴∠B=∠ACE.
    ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
    ∴∠BCE=∠B+∠ACB,
    又∵∠BAC=90°
    ∴∠BCE=90°,
    ∴α+β=180°;
    ③相等或互补,理由:
    (1)当点D在射线BC的反向延长线上时,α=β.
    ∵∠DAE=∠BAC,
    ∴∠DAB=∠EAC,
    在△ADB和△AEC中,

    ∴△ADB≌△AEC(SAS),
    ∴∠ABD=∠ACE,
    ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,
    ∴∠BCE=∠B+∠ACB,
    又∵∠BAC=90°
    ∴∠BCE=90°,
    ∴α+β=180°.
    (2)当点D在线段BC和BC延长线上时,是α+β=180°,
    在BC的反向延长线上时,是α=β,
    综上所述,α+β=180°或α=β.

    13.(2020·湖南鹤城·期末)(1)问题发现:
    如图①,△ABC与△ADE是等边三角形,且点B,D,E在同一直线上,连接CE,求∠BEC的度数,并确定线段BD与CE的数量关系.
    (2)拓展探究:
    如图②,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,,且点B,D,E在同一直线上,AF⊥BE于点F,连接CE,求∠BEC的度数,并确定线段AF,BF,CE之间的数量关系.

    【答案】
    解:(1)因为△ABC和△ADE均为等边三角形,
    所以,,,,
    所以,
    即.
    在和中,,
    所以≌,
    所以,.
    因为点,,在同一直线上,
    所以,
    所以,
    所以.
    综上可得,的度数为,线段与之间的数量关系是.
    (2)因为和均为等腰直角三角形,
    所以,,,,
    所以,
    即.
    在和中,

    所以≌,
    所以,.
    因为点,,在同一直线上,
    所以,
    所以,
    所以.
    因为,,,
    易证,所以.

    14.(2020·云南文山·期末)如图1,已知点B,C,D在同一直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形,BE交AC于点F,AD交CE于点H.

    (1)求出∠ACE的度数;
    (2)请在图1中找出一对全等的三角形,并说明全等的理由;
    (3)若将△CDE绕点C转动如图2所示的位置,其余条件不变,(2)中的结论是否还成立,试说明理由.
    【答案】
    (1)因为△ABC和△CDE都是等边三角形,
    所以,
    所以


    (2),
    理由:由(1)得,
    所以,
    即.
    因为和都是等边三角形,
    所以,
    在与中

    所以;
    (3)成立,
    理由:因为和都是等边三角形,
    所以,
    所以,
    即,
    在与中

    所以.

    15.(2020·四川郫都·期末)探究等边三角形“手拉手”问题.
    (1)如图1,已如△ABC,△ADE均为等边三角形,点D在线段BC上,且不与点B、点C重合,连接CE,试判断CE与BA的位置关系,并说明理由;
    (2)如图2,已知△ABC、△ADE均为等边三角形,连接CE、BD,若∠DEC=60°,试说明点B,点D,点E在同一直线上;
    (3)如图3,已知点E在ABC外,并且与点B位于线段AC的异侧,连接BE、CE.若∠BEC=60°,猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系,并说明理由.

    【答案】
    (1)解:结论:CE∥AB.
    理由:如图1中,
    ∵△ABC,△ADE都是等边三角形,
    ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠B=60°,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    ∴△BAD≌△CAE(SAS),
    ∴∠B=∠ACE=60°,
    ∴∠BAC=∠ACE=60°,
    ∴AB∥CE.
    (2)证明:如图2中,

    由(1)可知,△ABD≌△ACE,
    ∴∠ADB=∠AEC,
    ∵△ADE是等边三角形,
    ∴∠AED=∠ADE=60°,
    ∵∠BEC=60°,
    ∴∠AEC=∠AED+∠BEC=120°,
    ∴∠ADB=∠AEC=120°,
    ∴∠ADB+∠ADE=120°+60°=180°,
    ∴B,D,E共线.
    (3)解:结论:BE=AE+EC.

    理由:在线段BE上取一点H,使得BH=CE,设AC交BE于点O.
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=BC,∠BAC=60°,
    ∵∠BEC=60°,
    ∴∠BAO=∠OEC=60°,
    ∵∠AOB=∠EOC,
    ∴∠ABH=∠ACE,
    ∵BA=CA,BH=CE,
    ∴△ABH≌△ACE(SAS),
    ∴∠BAH=∠CAE,AH=AE,
    ∴∠HAE=∠BAC=60°,
    ∴△AEH是等边三角形,
    ∴AE=EH,
    ∴BE=BH+EH=EC+AE,
    即BE=AE+EC.

    16.(2019·广西玉林·)如图,直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为轴正半轴上一动点(OC>3),连结BC,以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交轴于点E.
    (1)证明∠ACB=∠ADB;
    (2)若以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形,求此时C点的坐标;
    (3)随着点C位置的变化,的值是否会发生变化?若没有变化,求出这个值;若有变化,说明理由.

    【答案】
    解:(1)∵△AOB和△CBD是等边三角形
    ∴OB=AB,BC=BD,∠OBA=∠CBD=,
    ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,
    即∠OBC=∠ABD
    ∴在△OBC与△ABD中,
    OB=AB,∠OBC=∠ABD,BC=BD
    ∴△OBC≌△ABD(SAS)
    ∴∠OCB=∠ADB
    即∠ACB=∠ADB
    (2)∵△OBC≌△ABD
    ∴∠BOC=∠BAD=
    又∵∠OAB=
    ∴∠OAE==,
    ∴∠EAC=,∠OEA=,
    ∴在以A,E,C为顶点的等腰三角形中AE和AC是腰.
    ∵ 在Rt△AOE中,OA=3,∠OEA=
    ∴AE=6
    ∴AC=AE=6
    ∴OC=3+6=9
    ∴以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时,C点的坐标为(9,0)
    (3)的值不变.
    理由: 由(2)得
    ∠OAE=-∠OAB-∠BAD=
    ∴∠OEA=
    ∴ 在Rt△AOE中,EA=2OA
    ∴=.

    17.(2020·四川彭州·期末)(1)如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形,且B,C,D三点在一条直线上,连接AD,BE相交于点P,求证:BE=AD.
    (2)如图2,在△BCD中,若,分别以BC,CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC,等边△CDE,等边△BDF,连接AD、BE、CF恰交于点P.
    ①求证:AD=BE=CF;
    ②如图2,在(2)的条件下,试猜想PB,PC,PD与BE存在怎样的数量关系,并说明理由.

    【答案】
    (1)证明:∵和都是等边三角形,
    ∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
    ∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
    即∠BCE=∠ACD,
    ∴(SAS),
    ∴BE=AD;
    (2)①证明:∵和是等边三角形,
    ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
    ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
    即∠ACD=∠BCE,
    ∴(SAS),
    ∴AD=BE,
    同理:(SAS),
    ∴AD=CF,
    即AD=BE=CF;
    ②解:结论:PB+PC+PD=BE,
    理由:如图2,AD与BC的交点记作点Q,则∠AQC=∠BQP,
    由①知,,
    ∴∠CAD=∠CBE,
    在中,∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°,
    ∴∠CBE+∠BQP=120°,
    在中,∠APB=180°-(∠CBE+∠BQP)=60°,
    ∴∠DPE=60°,
    同理:∠APC=60°,
    ∠CPD=120°,
    在PE上取一点M,使PM=PC,
    ∴是等边三角形,
    ∴,∠PCM=∠CMP=60°,
    ∴∠CME=120°=∠CPD,
    ∵是等边三角形,
    ∴CD=CE,∠DCE=60°=∠PCM,
    ∴∠PCD=∠MCE,
    ∴(SAS),
    ∴PD=ME,
    ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.


    18.(2020·湖南湘潭电机子弟中学初二月考)如图1,已知点B(0,6),点C为x轴上一动点,连接BC,△ODC和△EBC都是等边三角形.
      
      图1          图2           图3
    (1)求证:DE=BO;
    (2)如图2,当点D恰好落在BC上时.
    ①求OC的长及点E的坐标;
    ②在x轴上是否存在点P,使△PEC为等腰三角形?若存在,写出点P的坐标;若不存在,说明理由;
    ③如图3,点M是线段BC上的动点(点B,C除外),过点M作MG⊥BE于点G,MH⊥CE于点H,当点M运动时,MH+MG的值是否发生变化?若不会变化,直接写出MH+MG的值;若会变化,简要说明理由.
    【答案】
    解:(1)证明:∵△ODC和△EBC都是等边三角形,
    ∴OC=DC,BC=CE,∠OCD=∠BCE=60°.
    ∴∠BCE+∠BCD=∠OCD+∠BCD,
    即∠ECD=∠BCO.
    ∴△DEC≌△OBC(SAS).
    ∴DE=BO.
    (2)①∵△ODC是等边三角形,
    ∴∠OCB=60°.
    ∵∠BOC=90°,
    ∴∠OBC=30°.
    设OC=x,则BC=2x,
    ∴x2+62=(2x)2.解得x=2.
    ∴OC=2,BC=4.
    ∵△EBC是等边三角形,
    ∴BE=BC=4.
    又∵∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°,
    ∴E(4,6).
    ②若点P在C点左侧,则CP=4,OP=4-2=2,点P的坐标为(-2,0);
    若点P在C点右侧,则OP=2+4=6,点P的坐标为(6,0).
    ③不会变化,MH+MG=6



    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:0份资料
    • 充值学贝下载 90%的用户选择 本单免费
    • 扫码直接下载
    选择教习网的 4 个理由
    • 更专业

      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿

    • 更丰富

      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;500万+优选资源 ⽇更新5000+

    • 更便捷

      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤

    • 真低价

      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣

    开票申请 联系客服
    本次下载需要:0学贝 0学贝 账户剩余:0学贝
    本次下载需要:0学贝 原价:0学贝 账户剩余:0学贝
    了解VIP特权
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送

        扫码支付后直接下载

        0元

        扫码支付后直接下载

        使用学贝下载资料比扫码直接下载优惠50%
        充值学贝下载,本次下载免费
        了解VIP特权
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付(支持花呗)

        到账0学贝
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付 (支持花呗)

          下载成功

          Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

          若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

          本资源来自成套资源

          更多精品资料

          正在打包资料,请稍候…

          预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

          服务器繁忙,打包失败

          请联系右侧的在线客服解决

          单次下载文件已超2GB,请分批下载

          请单份下载或分批下载

          支付后60天内可免费重复下载

          我知道了
          正在提交订单

          欢迎来到教习网

          • 900万优选资源,让备课更轻松
          • 600万优选试题,支持自由组卷
          • 高质量可编辑,日均更新2000+
          • 百万教师选择,专业更值得信赖
          微信扫码注册
          qrcode
          二维码已过期
          刷新

          微信扫码,快速注册

          还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

          手机号注册
          手机号码

          手机号格式错误

          手机验证码 获取验证码

          手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

          设置密码

          6-20个字符,数字、字母或符号

          注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
          QQ注册
          手机号注册
          微信注册

          注册成功

          下载确认

          下载需要:0 张下载券

          账户可用:0 张下载券

          立即下载

          如何免费获得下载券?

          加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

          即将下载

          2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题04 共点等腰三角形问题(教师版)

          该资料来自成套资源,打包下载更省心

          [共10份]
          浏览全套
            立即下载(共1份)
            返回
            顶部