2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题04 共点等腰三角形问题（学生版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题04 共点等腰三角形问题

【典型例题】

1．（2020·江苏江都·月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明：

（1）AD=BE；

（2）填空∠AOE=        °；

（3）CP=CQ；

【专题训练】

一、选择题

1．（2020·南京师范大学附属中学江宁分校月考）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（　　）、

A．BE=CD B．BE＞CD C．BE＜CD D．大小关系不确定

2．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直

3．（2020·陕西定边·期末）如图，与是一对全等的等边三角形，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是轴对称图形．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

4．（2020·西工大附中分校初一月考）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE．以下结论：①AD＝CE；②CM⊥AE；③AE＝BE+2CM；④CM∥BE，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．（2019·黑龙江甘南·初二期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC、BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE、AF分别交AC、BC边于H、D两点．下列结论：①AF＝BE；②∠AFC＝∠EBC；③∠FAE＝90°；④BD＝FD，其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题

6．（2020·浙江温州·月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．

恒成立的结论有     ．（把你认为正确的序号都填上）

7．（2020·黑龙江甘南·初二期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，可得到△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn＋1，则△AnCnCn＋1的周长为_______(n≥1，且n为整数)．

三、解答题

8．（2020·辽宁昌图·期末）如图，△ABC,△BDE均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由

9．（2020·江苏东台·月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE

（1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．

①说明：；

②线段CE、CD、BC的数量关系为______．

（2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

10．（2019·南通市通州区平潮初级中学期中）△ABC是等边三角形，AD是高，△ADE是等边三角形，连接BE、ED．

（1）判断△EBD形状并证明．

（2）若△ABC的周长是6，求BE的长．

11．（2020·山东垦利·期末）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上.

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长；

（3）求∠BEC的度数

12．（2020·江苏泰州·月考）在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B． C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE=      度；

(2)如图2，

①说明：△ABD≌△ACE．

②说明：CE+DC=BC．

③设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．

13．（2020·湖南鹤城·期末）（1）问题发现：

如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．

（2）拓展探究：

如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于点F，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．

14．（2020·云南文山·期末）如图1，已知点B,C,D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H.

（1）求出∠ACE的度数；

（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；

（3）若将△CDE绕点C转动如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由.

15．（2020·四川郫都·期末）探究等边三角形“手拉手”问题．

（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；

（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．

16．（2019·广西玉林·）如图，直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为轴正半轴上一动点（OC＞3），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交轴于点E．

(1)证明∠ACB=∠ADB；

(2)若以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时C点的坐标；

(3)随着点C位置的变化，的值是否会发生变化?若没有变化，求出这个值；若有变化，说明理由．

17．（2020·四川彭州·期末）（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．

（2）如图2，在△BCD中，若，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．

①求证：AD=BE=CF；

②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．

18．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初二月考）如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．

　　图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　 　　　图3

(1)求证：DE＝BO；

(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求OC的长及点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．