2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题06 勾股定理中的面积、折叠、最短距离问题（学生版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题06 勾股定理中的面积、折叠、最短距离问题

【典型例题】

1．（2020·宁夏固原市原州区三营中学初二月考）求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB =3m，BC =12m，CD =13m，DA= 4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

2.（2020·广西防城港初二期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为(　)

A．6 B．5 C．4 D．3

3.（2020·山东环翠初二期中）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   )

A．9 B．10 C． D．

勾股定理中的面积问题

【专题训练】

一、选择题

1．（2020·宁夏平罗初二期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（   ）

A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算

2．（2019·四川阿坝初二期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（   ）

A．12 B．13 C．144 D．194

3．（2020·北京海淀北理工附中初三其他）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（    ）

A．3:4 B．5:8 C．9: 16 D．1:2

4．（2020·宁夏盐池）如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(　　)

A．48                     B．60                     C．76                    D．80

5．（2020·山东肥城初二期中）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

6．（2019·江西育华学校初二月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积（ ）cm2.  

A．8 B．10 C．15 D．20

7．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期末）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　 　）

A． B． C． D．

8．（2019·广东潮阳初三零模）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

9．（2020·河北沙河初二期末）历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的直角边AE,EB在同一条直线上.证明中用到的面积相等关系是（  ）

A． B．

C． D．

10．（2019·广东恩平初二期中）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（　   　）

A．8 B．9 C． D．10

二、填空题

11．（2019·河北保定十三中初二期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______．

12．（2020·金昌市金川总校第五中学初二期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．

13．（2019·河南伊川初二期末）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是     ．

14．（2019·北京市第四十三中学初二期中）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________ .

15．（2020·盐池县第五中学初二期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___．

16．（2020·河北侯口中学初二月考）已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____。

17．（2020·南昌民德学校初二期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．

18．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期末）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是___________．

19．（2019·上海师大附中附属龙华中学初二月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是AB边上的高.则CD的长为________

20．（2019·全国初二单元测试）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为   __________.

三、解答题

21．（2020·江西大余初二期末）如图：四边形ABCD中, AB=BC=,CD=, DA=1, 且AB⊥CB于B．

试求:（1）∠BAD的度数;（2）四边形ABCD的面积.

22．（2018·内蒙古杭锦后旗初二期中）某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC，AB=13m,BC=12m，求这块地的面积.

23．（2020·福建漳平初二期中）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积．

24．（2020·天津市宁河区潘庄镇中学初二期中）如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．

25．（2020·新疆生产建设兵团第三中学初二月考）如图∠B=90º，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm,求四边形ABCD的面积．

勾股定理中的折叠问题

【专题训练】

一、选择题

1．（2020·甘南县八一学校初二期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）

A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm

2．（2020·黑龙江肇源期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，则CD的长为(     )

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（2020·河北省临西县第一中学初二期末）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．3

4．（2020·中山大学附属中学初二期末）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（　　）

A． B． C．4 D．5

5．（2020·全国初一单元测试）如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A与B重合,折痕为DE,则S△BCE：S△BDE等于（     ）

A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21

6．（2020·临朐县东城街道七贤初级中学初一月考）如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC=5,BC=10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为（   ）

A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75

7．（2020·明水县滨泉初级中学初二期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为

A． B．3 C．1 D．

二、填空题

8．（2020·新疆乌鲁木齐?八十七中初二期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝  _______．

9．（2020·安徽省庐江第三中学初二期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12,BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为_______.

10．（2020·湖南汉寿初二月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为_____．

11．（2019·河南伊川初二期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为                .

三、解答题

12．（2020·景泰县第四中学初二期中）如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

​

13．（2019·湖北下陆?初二期中）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

14．（2019·余干县第二中学初二期末）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处.

（1）试说明；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a,b,c，之间的关系，并说明理由.

勾股定理中的最短距离问题

【专题训练】

一、选择题

1．（2019·河北保定十三中初二期中）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   )

A．(3+8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定

2．（2020·北京市文汇中学初二期中）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱的高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ）

A． B． C． D．

3．（2019·陕西西安交大附中分校期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　)

A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm

4．（2020·五华县华西中学初二月考）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A．㎝ B．5cm C．㎝ D．7cm

5．（2019·广东海珠?广州六中初二期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)(　　)

A．5≤a≤12             B．12≤a≤3           C．12≤a≤4          D．12≤a≤13

6．（2020·福建洛江初二期末）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　  　）

A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm

7．（2019·辽宁建平初二期末）如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（     ）

A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm

8．（2020·辽宁营口初二期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

9．（2019·沙坪坝重庆八中初二月考）如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　)

A．12 cm                  B．11 cm                   C．10 cm                        D．9 cm

二、填空题

10．（2019·河南三门峡初二期末）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_______cm .

11．（2018·平塘县第三中学初二期中）如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6cm，高为16cm.现将一根长度为25cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是_______________cm.

12．（2020·广东惠阳初三一模）如下图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB,CD分别是两底面的直径，且AB∥CD，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______(结果保留根号)

13．（2020·四川大邑初二期中）如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为           ．

14．（2020·山东平原初三一模）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要__cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要____cm．

15．（2019·全国初二课时练习）如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到达占B处，则所走的最短路路径长是________cm.

16．（2019·全国初二课时练习）如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，要从点A到点B经棱CE拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.

17．（2020·江苏灌南初三一模）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．

三、解答题

18．（2019·郑州市第三中学初二月考）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？

19．（2019·兴宁市胜青中学初二月考）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少？

20．（2019·全国初二课时练习）一个长方体盒子的长、宽、高分别为7cm、5cm，9cm.一只虫子想在盒子表面上顶点A处爬到顶点F处，请你设计一条最短的爬行路线，求出最短路线的长，并说明理由.