2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题02《全等三角形》（学生版）

专题02 全等三角形

1．全等三角形定义

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

2．全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．

（2）全等三角形的周长相等，面积相等．

（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．

（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．

3．全等三角形的判定

（1）判定方法：

①依据定义．

②依据判定定理．

（2）判定定理

①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．

②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．

③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．

④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．

⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．

（3）证明思路

①

②

③

（4）常用策略：添加辅助线法

①连接两点的线段．

②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．

③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．

④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．

⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．

4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

几何语言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA，

∴QD=QE．

5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

几何语言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE，

∴OQ平分∠AOB．

6．尺规作图

（1）作已知角（课本P36）．

（2）作角平分线（课本P48）．

（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．

（4）作已知直线的垂线（课本P62）．

①过已知直线上一点作已知直线的垂线

②过已知直线外一点作已知直线的垂线

考点一、全等三角形的性质

例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（    ）

A. AC=DE      B. ∠BAD=∠CAE       C. AB=AE         D. ∠ABC=∠AED.

【答案】B

【解析】∵△ABC≌△ADE，

∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B.

【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

考点二、全等三角形的判定

例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（    ）

A. SAS     B. AAS       C. SSS      D. ASA

【答案】A

【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB（SAS）

故选：A.

【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．

考点三、角平分线的性质

例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（   ）

A. 3        B.         C. 2       D. 6

【答案】A．

【解析】∵∠B=90°，

∴DB⊥AB，

又∵AD平分∠BAC， DE⊥AC，

∴DE=BD=3，

故选：A．

【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

考点四、角平分线的判定

例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°．

求证：点P在∠MON的平分线上.

【答案】见解析.

【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，

∴∠OSP=∠OTP=90°，

在四边形OSPT中，

∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT，

又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP

∴△APS≌△BPT ∴PS=PT

∴点P在∠MON的平分线上.

【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．

考点五、尺规作图

例5 （2020金昌）如图，在中，是边上一点，且.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作的角平分线交于点；

②作线段的垂直平分线交于点.

（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系.

【答案】见解析.

【解析】（1）①如图， BE即为所求；

②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F，

（2）∵BD=BA，BE平分∠ABD，

∴点E是AD的中点，

∵点F是CD的中点，

∴EF是△ADC的中位线，

∴线段EF和AC的数量关系为：EF=AC，

位置关系为：EF∥AC.

【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．

考点六、全等三角形的判定与性质

例6（2020南通）如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（    ）

A.       B. 2     C. 2       D. 3

【答案】A

【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，

∵ ∠ABC=60°，AB=2，

∴BH=1，AH=，

在Rt△AHC中，∠ACB=45°，

∴AC=，

∵点B为BC中点，

∴BD=CD，

在△BFD与△CKD中，

∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，

∴△BFD≌△CKD（AAS）

∴BD=CK，

延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，

在Rt△CAN中，AN<AC，

当直线l⊥AC时，最大值为.

故选：A.

【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.

考点七、全等三角形的实际应用

例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数. 于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等. 已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．

【答案】商业大厦的高MN为80米.

【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，

∴∠CEF=∠BFE=90°，

∵CA⊥AM，NM⊥AM，

CE⊥MN，BF⊥MN，

∴CE=BF，AE=AC，

∵∠1=∠2，

∴△BFN≌△CEM（ASA），

∴NF=EM=31+18=49，

EF=CB=18，

∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）

答：商业大厦的高MN为80米.

【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.

一、选择题

1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（    ）

A．SSS         B．SAS

C．AAS         D．ASA

2. （2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（    ）

A．50° B．58° C．72° D．60°

3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（    ）

A．全等三角形的大小相等     B．两个等边三角形一定是全等三角形

C．全等三角形的形状相同     D．全等三角形的对应边相等

4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（　　）

A．AD＝BC B．∠DAB＝∠CBA C．△ACE≌△BDE D．AC＝CE

5．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（   ）

A．        B．

C．△APE≌△APF       D．

6．如图，已知，则图中全等三角形的总对数是（   ）

A．3     B．4    C．5    D．6

7．如图，，则（    ）

A．45°    B．55°    C．35°    D．65°

8．（2020通州一模）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（    ）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

9．（2020焦作模拟）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接AC，BD交于点M，连接OM. 下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确是结论个数有（   ）个．

A. 4     B.3      C.2         D.1

二、填空题

11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为      ．

12. （2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为      ．

13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．

14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是       ．

15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为       ．

16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是       ．（只填一个即可）

三、解答题

17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．

18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．

19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2. 求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

20．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．

21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，

BE=CD，BF=CA，连接EF．
（1）求证：∠D=∠2；
（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．

22.（2020泸州一模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．

23.（2020荆门）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的长．

24.（2020内江）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC的异侧，，AE=DF，∠A=∠D．

（1）求证：AB=CD；

（2）若AB=CF，∠B=40°，求的度数．

25．（2020武汉模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证：△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则

∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．