搜索
    上传资料 赚现金
    2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题04《整式乘法与因式分解》(教师版)
    立即下载
    加入资料篮
    2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺    专题04《整式乘法与因式分解》(教师版)01
    2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺    专题04《整式乘法与因式分解》(教师版)02
    2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺    专题04《整式乘法与因式分解》(教师版)03
    还剩17页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题04《整式乘法与因式分解》(教师版)

    展开
    专题04 整式的乘法与因式分解

    1.同底数幂的乘法 
    同底数幂的乘法法则:(m,n都是正整数);
    同底数幂相乘,底数不变,指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.
    2.幂的乘方
    幂的乘方法则:(m,n都是正整数),
    幂的乘方,底数不变,指数相乘.
    幂的乘方法则可以逆用:即.
    3.积的乘方法则:(n是正整数).积的乘方,等于各因数乘方的积.
    4.整式的乘法
    (1)单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
    (2)单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
    即(都是单项式).
    (3)多项式与多项式相乘,用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
    (4)同底数幂的除法法则:(都是正整数,且),
    同底数幂相除,底数不变,指数相减.
    (5)零指数:,即任何不等于零的数的零次方等于1.
    (6)单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
    注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,若只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
    (7)多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所得的商相加.即:.
    5.平方差公式:,
    注意平方差公式展开只有两项.
    公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.
    6.完全平方公式:
    完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,首尾2倍中间放,符号和前一个样.
    公式的变形使用:
    (1);;
    ;.
    (2)三项式的完全平方公式:.
    7.提公因式法 
    (1)会找多项式中的公因式;
    公因式的构成一般情况下有三部分:系数、字母、指数
    ①系数——各项系数的最大公约数;
    ②字母——各项含有的相同字母;
    ③指数——相同字母的最低次数;
    (2)提公因式法的步骤:
    第一步是找出公因式;
    第二步是提取公因式并确定另一因式.
    需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
    (3)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
    8.公式法 
    运用公式法分解因式的实质是:把整式中的乘法公式反过来使用;
    常用的公式:
    (1)平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b);
    (2)完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2;
    a2-2ab+b2=(a-b)2.

    考点一、同底数幂的乘法
    例1(2020重庆)计算结果正确的是( )
    A.a B.a2 C.a3 D.a4
    【答案】C
    【解析】了同底数幂的乘法运算,,故选C.
    【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键.
    考点二、幂的乘方
    例2(2020衢州)计算:,正确结果是( )
    A.a5 B.a6 C.a8 D.a9
    【答案】B
    【解析】(a2)3=a6,故选B.
    【名师点睛】本题主要考查幂的乘方,底数不变,指数相乘的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
    考点三、积的乘方
    例3(2020陕西)计算:=   
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】=,故选C.
    【名师点睛】本题考查积的乘方的运算,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
    考点四、单项式乘单项式
    例4(2020台州)计算2a2•3a4的结果是(  )
    A.5a6 B.5a8 C.6a6 D.6a8
    【答案】C
    【解析】2a2•3a4=6a6.故选:C.
    【名师点睛】本题考查的是单项式乘单项式,解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
    考点五、单项式乘多项式
    例5(2020桂林)计算:=______.
    【答案】.
    【解析】根据单项式乘多项式的法则,把单项式与多项式的每一项相乘,= ,
    故答案为:.
    【名师点睛】本题考查的是单项式乘多项式,解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式:用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
    考点六、多项式乘多项式
    例6 (2020焦作模拟)计算(x+y)(x2﹣xy+y2)
    【答案】x3+y3.
    【解析】(x+y)(x2﹣xy+y2),
    =x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3,
    =x3+y3.
    【名师点睛】此题考查多项式的乘法,关键是根据多项式乘法的法则解答.
    考点七、整式的除法
    例7(2020吉林)下列运算正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】A、,原计算错误,故此选项不符合题意;
    B.,原计算错误,故此选项不符合题意;
    C.,原计算错误,故此选项不符合题意;
    D.,原计算正确,故此选项符合题意;
    故选:D.
    【名师点睛】此题主要考查了整式的运算,正确掌握运算法则是解题关键.
    考点八、乘法公式的应用
    例8(2020枣庄)图(1)是一个长为2a,宽为2b的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( )

    A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2
    【答案】C
    【解析】中间部分的四边形式正方形,边长是a+b-2b=a-b,
    则面积是(a-b)2,
    故选:C.
    【名师点睛】本题考查了整式的运算,正确表示出小正方形的边长是解题的关键.
    考点九、运用提公因式法分解因式
    例9(2020沈阳)因式分解:2x2+x=______.
    【答案】x(2x+1).
    【解析】2x2+x= x(2x+1).
    故答案为:x(2x+1).
    【名师点睛】本题考查了提取公因式法,正确找出公因式是解本题的关键.
    考点十、运用提公因式法、公式法分解因式
    例10(2020深圳)分解因式:m3-m=   .
    【答案】.
    【解析】
    【名师点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.
    考点十一、因式分解的综合运用
    10. (2020西藏)下列分解因式正确的一项是(  )
    A.x2-9=(x+3)(x-3) B.2xy+4x=2(xy+2x)
    C.x2-2x-1=(x-1)2 D.x2+y2=(x+y)2
    【答案】A.
    【解析】A、原式=(x+3)(x-3),符合题意;
    B、2xy+4x=2x(y+2);不符合题意;
    C、原式不能分解,不符合题意;
    D、原式不能分解,不符合题意.
    故选:A.
    【名师点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

    一、选择题
    1.(2020黔南州)下列运算正确的是( )
    A.(a3)4=a12 B.a3·a4=a12 C.a2+a2=a4 D.(ab)2=ab2
    【答案】A
    【解析】(a3)4=a3×4=a12,故A正确;∵a3·a4=a7,故B错误;∵a2+a2=2a2,故C错误;(ab)2=a2b2,故D错误.故选A.
    2.(2020河北)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( )
    A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C. ①是因式分解②是乘法运算 D. ①是乘法运算②是因式分解
    【答案】C
    【解析】①x-3xy=x(1-3y),从左到右的变形都是因式分解;
    ②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形是乘法运算,不是因式分解;
    所以①是因式分解,②是乘法运算.
    故选:C.
    3.(2020德阳)下列运算正确的是( )
    A.a2·a3=a6 B.(3a)3 =9a3 C.3a-2a=1 D.(-2a2)3 =-8a6
    【答案】 D.
    【解析】A选项,a2·a3=a5,故错误;
    B选项,(3a)3 =27a3,故错误;
    C选项,3a-2a=a,故错误;
    D选项,(-2a2)3 =-8a6,D正确.
    故选D.
    4.计算()2021×1.52020×(-1)2022的结果是( )
    A. B. C.- D.-
    【答案】A
    【解析】,故选A.
    5.(2020眉山)已知a2+b2=2a-b-2,则3a-b的值为( )
    A.4 B.2 C.-2 D.-4
    【答案】A.
    【解析】∵a2+b2=2a-b-2
    ∴a2-2a+1+b2+b+1=0,
    ∴(a-1)2+(b+1)2=0,
    ∴a-1=0,b+1=0,
    ∴a=1,b=-2,
    ∴3a-b=3+1=4.
    故选:A.
    6.(2020益阳)下列因式分解正确的是( )
    A. a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b) B. a2-9b2=(a-3b)2
    C. a2+4ab+4b2=(a+2b)2 D. a2-ab+a=a(a-b)
    【答案】C.
    【解析】A. a(a-b)-b(a-b)=(a-b)2,故此选项错误;B. a2-9b2=(a-3b)(a+3b),故此选项错误;
    C. a2+4ab+4b2=(a+2b)2,正确;D. a2-ab+a=a(a-b+1),故此选项错误.
    故选:C.
    5.化简的结果正确的是( )
    A. B. C.2 D.
    【答案】C
    【解析】==.故选C.
    7.(2020青海)下面是某同学在一次测试中的计算:
    ①3m2n-5mn2=2mn;②2a2b(-2a2b)=-4a6b;③(a3)2=a5 ;④(-a3)÷(-a)=a2.
    其中运算正确的个数为( )
    A. 4个 B. 3个 C.2个 D. 1个
    【答案】D
    【解析】①3m2n与5mn2不是同类项;不能合并,计算错误;
    ②2a2b(-2a2b)=-4a5b2;计算错误;
    ③(a3)2=a6 ; 计算错误;
    ④(-a3)÷(-a)==(-a)3-1=a2.计算正确;
    故选D.
    8.(2020郴州)如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示长方形,这两个图能解释下列哪个等式( )

    A.x2-2x+1=(x-1)2 B. x2-1=(x+1)(x-1)
    C. x2+2x+1=(x+1)2 D. x2-x=x(x-1)
    【答案】B.
    【解析】由图可知,
    图1的面积为:x2-12,
    图2的面积为:(x+1)(x-)
    所以x2-1=(x+1)(x-),
    故选:B.
    9.一次课堂练习,一位同学做了4道因式分解题,你认为这位同学做得不够完整的题是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】.故选D.
    10.(2020荆门一模)已知xy=﹣3,x+y=2,则代数式x2y+xy2的值是(  )
    A.﹣6 B.6 C.﹣5 D.﹣1
    【答案】A
    【解析】∵xy=﹣3,x+y=2,
    ∴x2y+xy2=xy(x+y)=﹣6
    故选:A.
    二、填空题
    11. (2020株洲)因式分解:_____.
    【答案】.
    【解析】
    12.计算:(a-b)(a+b)=______;(-2x-5)(2x-5)= _____.
    【答案】;
    【解析】,.
    13.(2020焦作期末)如果(nx+1)(x2+x)的结果不含x2的项(n为常数),那么n=   .
    【答案】﹣1.
    【解析】(nx+1)(x2+x)
    =nx3+nx2+x2+x
    =nx3+(n+1)x2+x,
    ∵(nx+1)(x2+x)的结果不含x2的项,
    ∴n+1=0,
    解得n=﹣1,
    故答案为:﹣1.
    14. (2020宜昌)数学讲究记忆方法.如计算时,若忘记了法则,可以借助(a5)2=a5×a5=a5+5=a10,得到正确答案.你计算(a2)5-a3×a7的结果是   .
    【答案】0.
    【解析】(a2)5-a3×a7=a10-a10=0.
    故答案为:0.
    15.(2020成都)已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为______.
    【答案】49.
    【解析】∵a=7-3b,
    ∴a+3b=7,
    ∴a2+6ab+9b2=(a+3b)2=72=49,
    故答案为:49.
    16.(2020咸宁模拟)若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内分解因式,则m的值可以是   (写一个即可).
    【答案】﹣1
    【解析】令m=﹣1,整式为x2﹣y2=(x+y)(x﹣y).故答案为:﹣1(答案不唯一).
    17. (2020衢州)定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为______.
    【答案】x2-1
    【解析】根据题意得:
    (x-1)※x=(x-1)(x+1)= x2-1.
    故答案为:x2-1.
    三、解答题
    18.(2020武汉模拟)计算:
    (1)a3•a2•a4+(﹣a)2;
    (2)(x2﹣2xy+x)÷x
    【答案】(1)a9+a2;(2)x﹣2y+1.
    【解析】(1)a3•a2•a4+(﹣a)2=a9+a2;
    (2)(x2﹣2xy+x)÷x=x﹣2y+1.
    19.分解因式:
    (1)(m2+3m)2-8(m2+3m)-20;
    (2)4a2bc-3a2c2+8abc-6ac2;
    (3)(y2+3y)-(2y+6)2.
    【答案】详解见解析.
    【解析】(1)
    ==.
    (2)=
    ==.
    (3)==
    =.
    20.(1)(2020长春模拟)先化简,再求值:(2a+1)2-4a(a-1),其中.
    (2)(2020梧州一模)先化简,再求值:,其中.
    【答案】(1)2;(2).
    【解析】(1)原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1,
    当时,原式=8a+1=2.
    (2)原式,
    当时,原式.
    21.(2020荆州一模)利用因式分解简便计算:
    (1)57×99+44×99-99;
    (2).
    【答案】详解见解析.
    【解析】(1)57×99+44×99-99
    =(57+44–1)×99
    =100×99
    =9900.
    (2)


    =


    22.(2020黄冈模拟)如图,某市有一块长为(2a+b)米,宽为(a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像.
    (1)试用含a,b的代数式表示绿化的面积是多少平方米?
    (2)若a=3,b=2,请求出绿化面积.

    【答案】(1)a2+3ab+b2;(2)31平方米.
    【解析】(1)绿化的面积是(2a+b) (a+b)﹣a2=2a2+3ab+b2﹣a2=a2+3ab+b2;
    (2)当a=3,b=2时,原式=9+3×2×3+4=31平方米.
    23.(200江西模拟)图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形,然后按图b的形状拼成一个正方形.

    (1)图b中,大正方形的边长是   .阴影部分小正方形的边长是   ;
    (2)观察图b,写出(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的一个等量关系,并说明理由.
    【答案】(1)m+n;m﹣n;(2)见解析.
    【解析】(1)由图b可得,大正方形的边长是m+n,阴影部分小正方形的边长是m﹣n;
    故答案为:m+n;m﹣n;
    (2)(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn.
    理由如下:右边=(m+n)2﹣4mn
    =m2+2mn+n2﹣4mn
    =m2﹣2mn+n2
    =(m﹣n)2
    =左边,
    所以结论成立.
    24.探究题:
    观察下列式子:(x2-1)÷(x-1)=x+1;
    (x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
    (x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;
    (x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1;
    (1)你能得到一般情况下的结果吗?(n为正整数)
    (2)根据(1)的结果计算:1+2+22+23+24+…+262+263.
    【答案】详解见解析.
    【解析】由题意可得:(1)…+1;
    (2).
    25.(2020内江)我们知道,任意一个正整数x都可以进行这样的分解:x=m×n(m,n是正整数,且m≤n),在x的所有这种分解中,如果m,n两因数之差的绝对值最小,我们就称m×n是x的最佳分解.并规定:f(x)=.
    例如:18可以分解成1×18,2×9或3×6,因为18-1>9-2>6-3,所以3×6是18的最佳分解,所以f(18)=.
    (1)填空:f(6)=   ;f(9)=   ;
    (2)一个两位正整数t(t=10a+b,1≤a≤b≤9,a,b为正整数),交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数;并求f(t)的最大值;
    (3)填空:
    ①f(22×3×5×7)=   ;②f(23×3×5×7)=   ;③f(24×3×5×7)=   ;④f(25×3×5×7)=   .
    【答案】.
    【解析】(1)6可以分解成1×6,2×3,
    ∵6-1>3-2,
    ∴2×3是6的最佳分解,
    ∴,
    9可以分解成1×9,3×3,
    ∵9-1>3-3,
    ∴×3是的最佳分解,
    ∴,
    故答案为:,1.
    (2)设交换t的个位上的数字与十位上的数字得到的新数为t′,则t′=10b+a,
    根据题意得,t′- t=(10b+a)-(10a+b)=9(b-a)=54,
    ∴b=a+6,
    ∵1≤a≤b≤9,a,b为正整数,
    ∴满足条件的t为:17,28,39;
    ∵,,,

    ∴f(t)的最大值为;
    (3)①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21,
    ∴f(22×3×5×7)=;
    故答案为:;
    ②∵22×3×5×7的最佳分解为28×30,
    ∴f(22×3×5×7)=;
    故答案为:;
    ③∵22×3×5×7的最佳分解为40×42,
    ∴f(22×3×5×7)=;
    故答案为:;
    ④∵22×3×5×7的最佳分解为56×60,
    ∴f(22×3×5×7)=;
    故答案为:.

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:0份资料
    • 充值学贝下载 90%的用户选择 本单免费
    • 扫码直接下载
    选择教习网的 4 个理由
    • 更专业

      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿

    • 更丰富

      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;500万+优选资源 ⽇更新5000+

    • 更便捷

      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤

    • 真低价

      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣

    开票申请 联系客服
    本次下载需要:0学贝 0学贝 账户剩余:0学贝
    本次下载需要:0学贝 原价:0学贝 账户剩余:0学贝
    了解VIP特权
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送

        扫码支付后直接下载

        0元

        扫码支付后直接下载

        使用学贝下载资料比扫码直接下载优惠50%
        充值学贝下载,本次下载免费
        了解VIP特权
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付(支持花呗)

        到账0学贝
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付 (支持花呗)

          下载成功

          Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

          若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

          本资源来自成套资源

          更多精品资料

          正在打包资料,请稍候…

          预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

          服务器繁忙,打包失败

          请联系右侧的在线客服解决

          单次下载文件已超2GB,请分批下载

          请单份下载或分批下载

          支付后60天内可免费重复下载

          我知道了
          正在提交订单

          欢迎来到教习网

          • 900万优选资源,让备课更轻松
          • 600万优选试题,支持自由组卷
          • 高质量可编辑,日均更新2000+
          • 百万教师选择,专业更值得信赖
          微信扫码注册
          qrcode
          二维码已过期
          刷新

          微信扫码,快速注册

          还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

          手机号注册
          手机号码

          手机号格式错误

          手机验证码 获取验证码

          手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

          设置密码

          6-20个字符,数字、字母或符号

          注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
          QQ注册
          手机号注册
          微信注册

          注册成功

          下载确认

          下载需要:0 张下载券

          账户可用:0 张下载券

          立即下载

          如何免费获得下载券?

          加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

          即将下载

          2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题04《整式乘法与因式分解》(教师版)

          该资料来自成套资源,打包下载更省心

          [共10份]
          浏览全套
            立即下载(共1份)
            返回
            顶部