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2020-2021学年 北师大版八年级数学上册期末冲刺 专题01《勾股定理》（北师大版）（教师版）
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专题0１勾股定理
1．勾股定理
（1）勾股定理的内容
直角三角形两条直角边的 等于斜边的 （文字语言），即（为直角三角形的斜边）（符号语言）．勾股定理的不同的表达形式：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为、、．则
；；；
或；；．
（2）勾股定理的证明用拼图方法，借助面积的不变关系来证明．
（3）勾股定理的应用
①已知直角三角形的两边，求第三边；
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
③用于证明含有平方关系的式子；
④借助勾股定理来构造方程，解决实际问题．
2．勾股定理的逆定理
（1）如果一个三角形有两条边的 等于第三边的平方，那么这个三角形是 ；
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为、、，若，
则∠C=90°（即△ABC是直角三角形）
该逆定理的作用：判定某一三角形是否为直角三角形．
（2）运用勾股定理逆定理解题的步骤：
首先确定最大边（如）；
其次验证与是否有相等关系：若=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若≠，则△ABC不是直角三角形．
考点1：求线段长
例1（2020绥化）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB-AC=2，BC=8，则AB的长是 ．
在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解.
【答案】17.
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2
解得AB=17.
故答案为：17.
【名师点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其中直接三角形中的形式.
考点2：求m的值
例2（2020绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，
两弧交于点D，连结BD．若BD的长为，则m的值为 ．
【答案】2或2.
【解析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE=，当点D，B在AC的两侧时，如图，当点D，B在AC的同侧时，如图，解直直角三角形即可得到结论.
由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，
∵AC=AB=2,
∴BE=
当点D，B在AC的两侧时，如图，
∵BD=2，
∴BE=DE，
∴AD=AB=2，
∴m=2；
当点D，B在AC的同侧时，如图，
∵BD/=2
∴D/E=3，
∴AD/=，
∴m=2，
综上所述：m的值为2或2，
答案为：2或2.
【名师点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质.正确的作出图形是解题的关键.
考点3：勾股定理的逆定理
例3（2020河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【解析】根据题意可知三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题.
解：当选取的三块纸片的面积分别是1， 4， 5时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是2， 3， 5时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4， 5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2， 2， 4时，围成的直角三角形的面积是；
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2， 3， 5.
故选：B.
【名师点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答.
考点4：求四边形的面积
例4（2020宁夏）2020年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较此直角边为b，如果将四个全等的直角三角形按（图2）形式摆放，那么图中最大的正方形的面积为（ ）
【答案】27
【解析】根据题意得出a2+b2=15，（b-c）2=3，图中大正方形的面积为：（a+b）2,然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可.
解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，
图2中正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b-a）2=3，
a2-2ab+b2=3,
∴15-2ab=3，2ab=12，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，
故答案为：27．
【名师点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
考点5：探索规律题
例5（2020张家界模拟）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2020= ．
【答案】
【解析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．
由勾股定理得：OP4==，
∵OP1=；得OP2=；依此类推可得OPn=，
∴OP2020=，
【名师点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
考点6：勾股定理的实际应用
例6（2020广西）《九章算术》是古代东方数学代表着、作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（ ）
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
【答案】C
【解析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论.
解：如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r，DE=10，OE==CD=1，AE=r-1，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r-1）2+102=r2，
解得：r=50.5
∴2r=101（寸），
∴AB=101（寸）
故选：C.
点睛：本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键.
考点7：利用勾股定理求求最短距离
例7（2020东营模拟）如图10，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．
【答案】1.3．
【解析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
如图，∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D=0.5m，BD=1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B== =1.3（m）．
故答案填：1.3．
【名师点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020绍兴模拟）如图，边长为的边等于5的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】第1个图和第4个图中x的值为5．
2．（2020河北一模）若三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】这是一个等腰直角三角形，∠A＝90°，所以a＝b＝c．
3．（2020武汉一中模拟）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ）
A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】D
【解析】①∵22+32=13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32+42=52 ，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12+（）2=22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③．故选D．
4.如图，台阶（都是直角）下端点B到上端点A的最短距离是（ ）
A
B
2
4
3
5
3
6
A．8 B．15 C．17 D．25
【答案】C
【解析】构造一个直角三角形，使得AB是斜边，两条直角边分别长8和15．
5.（2020辽阳模拟）用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）
A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2﹣2ab+b2 D．c2=（a+b）2．
【答案】A
【解析】由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，
里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，
则有c2=ab×4+（b﹣a）2，
整理得：c2=a2+b2．
故选：A．
6.下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A． 3，4，5 B． 3，5，7 C． 5，12，13 D． 6，8，10
【答案】B
【解析】A、∵32+42=52，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
B、∵32+52≠72，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；
C、∵52+122=132，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
D、∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，故选项错误．
故选B．
7．如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a， c，的边长分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【解析】由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD， ∴△ACB≌△DCE， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，故选C
8．下列说法错误的是（ ）
A．△ABC中，若∠B＝∠C－∠A，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若，则△ABC是直角三角形
C．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若＝5∶4∶3，则△ABC是直角三角形（ ）
【答案】C
【解析】若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是锐角三角形．
9．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12≤≤13 B．12≤≤15 C．5≤≤12 D．5≤≤13
【答案】A
【解析】考虑极值，当直吸管竖直放，此时a＝12，当直吸管一段到达罐底边缘时，a＝13．
10.（2020河北）如图，从笔直的公路l旁一点p出发，向西走6km到达；从p出发向北走6km也到达l，下列说法错误的是（ ）
A.从点p向北偏西45°走3km到达l
B.公路l的走向是南偏西45°
C. 公路l的走向是北偏西45°
D. 从点p向北走3km后，再向西3km到达l
【答案】A.
解：如图，由题意可得△PAB是等腰三角形，
则AB=6km，
如图所示，过P点作AB的垂线PC，
则PC=3km，
则从点p向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或偏东45°，选项B，C正确；
则从P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为AB的中位线，故CD=AP=3，故再向西走3km到达l，选项D正确.
故选：A.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．在△ABC中，∠C=90°，（1）已知=2.4，=3.2，则=_______；（2）已知∠A=45°，=18，则=_______.
【答案】（1）4；（2）9；
【解析】利用勾股定理计算
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∶=5∶12，=39，则＋＝________．
【答案】51
【解析】设a＝5k，b＝12k，则c＝13k，解得：a＝15，b＝36，＋＝51.
13．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是 ．
【答案】−
【解析】∵OB=，∴OA=OB=，∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是−.
14．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x= ．
【答案】10或2．
【解析】分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x==10，
②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x==2；
故答案为：10或2．
15．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=60 cm，CA=80 cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20 cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要______分钟时间.
【答案】12
【解析】先由勾股定理计算AB的长为100cm．
16．已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝_______.
【答案】8
【解析】由斜边中线长为2，可知斜边长为4，所以这个直角三角形两直角边长度之和为．
17．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．
【答案】
【解析】先构成直角三角形，利有勾股定理计算即可.
18．（2020黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jia）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问谁深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图有一个水池，水面是一个边长为1的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺.
【答案】12
【解析】设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
答：水池里水的深度是12尺.
故答案为：12.
19．（2020荆州模拟）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
【答案】10
【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=2+5+1+2=10．
故答案是：10．
20.（2020娄底）由四个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a-b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2，还可以用来证明结论：若a>b，b>c且a2+b2为定值，则当a b时，ab取最大值.
【答案】=
【解析】如图，作斜边c边上高为h，
∵（a-b）2≥0，
∴a2+b2-2ab≥0，
又∵a2+b2=c2，a2+b2为定值，
ab≤
∴ab最大值为，
∴a，b为直角边的直角三角形面积==
∴=
∴h=
∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，
∴当a=b时，h=,
故答案为：=.
三、解答题（共40分）
21．（6分）（2020潜江一中模拟）如图，在△ABC中，AC=10，BC=17，CD=8，AD=6.
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）BD＝15， （2）＝84.
【解析】因为AC2 ＝ 102 ＝ 100，AD2 ＝ 62 ＝ 36，CD2 ＝ 82 ＝ 64，所以AC2 ＝ AD2＋ CD2，所以∠ADC ＝ 90°，所以∠BDC ＝ 90°，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝＝15，所以＝AB×CD＝×（15＋6）×8＝84．
22．（6分）（2020宜昌模拟）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55 cm、10 cm、6 cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则这只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】蚂蚁由点A出发经过台阶爬到点B的最短路线长为73cm.
【解析】如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则最短路线就是AB的长. 在Rt△ABC中，AC＝48，BC＝55，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝482＋552＝5329＝732，所以AB＝73，所以蚂蚁由点A出发经过台阶爬到点B的最短路线长为73cm.
23．（6分）（2020孝感一模）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格.
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）你能判断AD与CD的位置关系吗？说出你的理由.
【答案】（1）12.5；（2）AD与CD是垂直关系，理由见解析.
【解析】（1）12.5；
（2）连接AC，在△ADC中，由于AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，所以AD2＋CD2＝AC2，即△ADC是直角三角形，所以AD与CD是垂直关系.
24．（6分）（2020九江模拟）一辆表装满货物的卡车高2. 5米，宽1. 6米，要开进厂门，如图，厂门的顶部呈半圆（AB为直径），下部呈长方形，问这辆卡车能否顺利通过厂门？为什么？
A
B
C
D
2.3米
2米
【答案】卡车能顺利通过该厂大门.
【解析】这辆卡车能通过厂门，如图2所示，卡车从正中通过，设半圆的圆心为O，在直径AB上取OM＝0. 8米，过点M作MP⊥AB，交半圆于点P，交CD边于点N，连接OP，OP＝AB＝1米，OM＝0. 8米，在Rt△OPM中，PM2＝12－0. 82＝0. 62，故PM＝0. 6米，PN＝PM＋MN＝0. 6＋2. 3＝2. 9米，而卡车高仅2. 5米，故卡车能顺利通过该厂大门.
A
B
C
D
2.3米
2米
P
O
M
N
25．（8分）（2020威海模拟）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD= 40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）
【答案】该车没有超速．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠CDB=75°，
∴∠CBD=15°，∠EBD=15°（外角的性质），
在Rt△CBD和Rt△EBD中，
∠CBD=∠EBD，∠DCB=∠DEB，BD=BD，
∴△CBD≌△EBD，
∴CD=DE，
在Rt△ADE中，
∵∠BAC =60°，∠DEA=90°， AD= 40米，
∴∠ADE =30°，AE=AD=×40=20，
则DE==20米，
故AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC =60°，∠ACB=90°，
∠ABC =30°，AB=2（40+20），
BC=（40+60）米，
则速度==4+6≈12.92米/秒，
∵12.92米/秒=46.512千米/小时，
∴该车没有超速．
26．（8分）（2020随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理②；
勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①________；
②与的关系为________，与的关系为________．
【答案】（1）见解析；（2）①3；②结论；证明见解析；（3）①；② ．
【解析】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：（学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分）
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简．
（2）①3
②结论
，
（3）①； ② ．
1．勾股定理
（1）勾股定理的内容
直角三角形两条直角边的 等于斜边的 （文字语言），即（为直角三角形的斜边）（符号语言）．勾股定理的不同的表达形式：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为、、．则
；；；
或；；．
（2）勾股定理的证明用拼图方法，借助面积的不变关系来证明．
（3）勾股定理的应用
①已知直角三角形的两边，求第三边；
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
③用于证明含有平方关系的式子；
④借助勾股定理来构造方程，解决实际问题．
2．勾股定理的逆定理
（1）如果一个三角形有两条边的 等于第三边的平方，那么这个三角形是 ；
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为、、，若，
则∠C=90°（即△ABC是直角三角形）
该逆定理的作用：判定某一三角形是否为直角三角形．
（2）运用勾股定理逆定理解题的步骤：
首先确定最大边（如）；
其次验证与是否有相等关系：若=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若≠，则△ABC不是直角三角形．
考点1：求线段长
例1（2020绥化）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB-AC=2，BC=8，则AB的长是 ．
在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解.
【答案】17.
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2
解得AB=17.
故答案为：17.
【名师点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其中直接三角形中的形式.
考点2：求m的值
例2（2020绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，
两弧交于点D，连结BD．若BD的长为，则m的值为 ．
【答案】2或2.
【解析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE=，当点D，B在AC的两侧时，如图，当点D，B在AC的同侧时，如图，解直直角三角形即可得到结论.
由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，
∵AC=AB=2,
∴BE=
当点D，B在AC的两侧时，如图，
∵BD=2，
∴BE=DE，
∴AD=AB=2，
∴m=2；
当点D，B在AC的同侧时，如图，
∵BD/=2
∴D/E=3，
∴AD/=，
∴m=2，
综上所述：m的值为2或2，
答案为：2或2.
【名师点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质.正确的作出图形是解题的关键.
考点3：勾股定理的逆定理
例3（2020河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【解析】根据题意可知三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题.
解：当选取的三块纸片的面积分别是1， 4， 5时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是2， 3， 5时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4， 5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2， 2， 4时，围成的直角三角形的面积是；
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2， 3， 5.
故选：B.
【名师点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答.
考点4：求四边形的面积
例4（2020宁夏）2020年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较此直角边为b，如果将四个全等的直角三角形按（图2）形式摆放，那么图中最大的正方形的面积为（ ）
【答案】27
【解析】根据题意得出a2+b2=15，（b-c）2=3，图中大正方形的面积为：（a+b）2,然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可.
解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，
图2中正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b-a）2=3，
a2-2ab+b2=3,
∴15-2ab=3，2ab=12，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，
故答案为：27．
【名师点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
考点5：探索规律题
例5（2020张家界模拟）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2020= ．
【答案】
【解析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．
由勾股定理得：OP4==，
∵OP1=；得OP2=；依此类推可得OPn=，
∴OP2020=，
【名师点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
考点6：勾股定理的实际应用
例6（2020广西）《九章算术》是古代东方数学代表着、作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（ ）
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
【答案】C
【解析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论.
解：如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r，DE=10，OE==CD=1，AE=r-1，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r-1）2+102=r2，
解得：r=50.5
∴2r=101（寸），
∴AB=101（寸）
故选：C.
点睛：本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键.
考点7：利用勾股定理求求最短距离
例7（2020东营模拟）如图10，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．
【答案】1.3．
【解析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
如图，∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D=0.5m，BD=1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B== =1.3（m）．
故答案填：1.3．
【名师点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020绍兴模拟）如图，边长为的边等于5的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】第1个图和第4个图中x的值为5．
2．（2020河北一模）若三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】这是一个等腰直角三角形，∠A＝90°，所以a＝b＝c．
3．（2020武汉一中模拟）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ）
A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】D
【解析】①∵22+32=13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32+42=52 ，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12+（）2=22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③．故选D．
4.如图，台阶（都是直角）下端点B到上端点A的最短距离是（ ）
A
B
2
4
3
5
3
6
A．8 B．15 C．17 D．25
【答案】C
【解析】构造一个直角三角形，使得AB是斜边，两条直角边分别长8和15．
5.（2020辽阳模拟）用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）
A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2﹣2ab+b2 D．c2=（a+b）2．
【答案】A
【解析】由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，
里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，
则有c2=ab×4+（b﹣a）2，
整理得：c2=a2+b2．
故选：A．
6.下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A． 3，4，5 B． 3，5，7 C． 5，12，13 D． 6，8，10
【答案】B
【解析】A、∵32+42=52，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
B、∵32+52≠72，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；
C、∵52+122=132，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
D、∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，故选项错误．
故选B．
7．如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a， c，的边长分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【解析】由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD， ∴△ACB≌△DCE， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，故选C
8．下列说法错误的是（ ）
A．△ABC中，若∠B＝∠C－∠A，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若，则△ABC是直角三角形
C．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若＝5∶4∶3，则△ABC是直角三角形（ ）
【答案】C
【解析】若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是锐角三角形．
9．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12≤≤13 B．12≤≤15 C．5≤≤12 D．5≤≤13
【答案】A
【解析】考虑极值，当直吸管竖直放，此时a＝12，当直吸管一段到达罐底边缘时，a＝13．
10.（2020河北）如图，从笔直的公路l旁一点p出发，向西走6km到达；从p出发向北走6km也到达l，下列说法错误的是（ ）
A.从点p向北偏西45°走3km到达l
B.公路l的走向是南偏西45°
C. 公路l的走向是北偏西45°
D. 从点p向北走3km后，再向西3km到达l
【答案】A.
解：如图，由题意可得△PAB是等腰三角形，
则AB=6km，
如图所示，过P点作AB的垂线PC，
则PC=3km，
则从点p向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或偏东45°，选项B，C正确；
则从P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为AB的中位线，故CD=AP=3，故再向西走3km到达l，选项D正确.
故选：A.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．在△ABC中，∠C=90°，（1）已知=2.4，=3.2，则=_______；（2）已知∠A=45°，=18，则=_______.
【答案】（1）4；（2）9；
【解析】利用勾股定理计算
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∶=5∶12，=39，则＋＝________．
【答案】51
【解析】设a＝5k，b＝12k，则c＝13k，解得：a＝15，b＝36，＋＝51.
13．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是 ．
【答案】−
【解析】∵OB=，∴OA=OB=，∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是−.
14．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x= ．
【答案】10或2．
【解析】分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x==10，
②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x==2；
故答案为：10或2．
15．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=60 cm，CA=80 cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20 cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要______分钟时间.
【答案】12
【解析】先由勾股定理计算AB的长为100cm．
16．已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝_______.
【答案】8
【解析】由斜边中线长为2，可知斜边长为4，所以这个直角三角形两直角边长度之和为．
17．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．
【答案】
【解析】先构成直角三角形，利有勾股定理计算即可.
18．（2020黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jia）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问谁深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图有一个水池，水面是一个边长为1的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺.
【答案】12
【解析】设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
答：水池里水的深度是12尺.
故答案为：12.
19．（2020荆州模拟）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
【答案】10
【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=2+5+1+2=10．
故答案是：10．
20.（2020娄底）由四个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a-b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2，还可以用来证明结论：若a>b，b>c且a2+b2为定值，则当a b时，ab取最大值.
【答案】=
【解析】如图，作斜边c边上高为h，
∵（a-b）2≥0，
∴a2+b2-2ab≥0，
又∵a2+b2=c2，a2+b2为定值，
ab≤
∴ab最大值为，
∴a，b为直角边的直角三角形面积==
∴=
∴h=
∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，
∴当a=b时，h=,
故答案为：=.
三、解答题（共40分）
21．（6分）（2020潜江一中模拟）如图，在△ABC中，AC=10，BC=17，CD=8，AD=6.
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）BD＝15， （2）＝84.
【解析】因为AC2 ＝ 102 ＝ 100，AD2 ＝ 62 ＝ 36，CD2 ＝ 82 ＝ 64，所以AC2 ＝ AD2＋ CD2，所以∠ADC ＝ 90°，所以∠BDC ＝ 90°，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝＝15，所以＝AB×CD＝×（15＋6）×8＝84．
22．（6分）（2020宜昌模拟）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55 cm、10 cm、6 cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则这只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】蚂蚁由点A出发经过台阶爬到点B的最短路线长为73cm.
【解析】如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则最短路线就是AB的长. 在Rt△ABC中，AC＝48，BC＝55，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝482＋552＝5329＝732，所以AB＝73，所以蚂蚁由点A出发经过台阶爬到点B的最短路线长为73cm.
23．（6分）（2020孝感一模）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格.
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）你能判断AD与CD的位置关系吗？说出你的理由.
【答案】（1）12.5；（2）AD与CD是垂直关系，理由见解析.
【解析】（1）12.5；
（2）连接AC，在△ADC中，由于AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，所以AD2＋CD2＝AC2，即△ADC是直角三角形，所以AD与CD是垂直关系.
24．（6分）（2020九江模拟）一辆表装满货物的卡车高2. 5米，宽1. 6米，要开进厂门，如图，厂门的顶部呈半圆（AB为直径），下部呈长方形，问这辆卡车能否顺利通过厂门？为什么？
A
B
C
D
2.3米
2米
【答案】卡车能顺利通过该厂大门.
【解析】这辆卡车能通过厂门，如图2所示，卡车从正中通过，设半圆的圆心为O，在直径AB上取OM＝0. 8米，过点M作MP⊥AB，交半圆于点P，交CD边于点N，连接OP，OP＝AB＝1米，OM＝0. 8米，在Rt△OPM中，PM2＝12－0. 82＝0. 62，故PM＝0. 6米，PN＝PM＋MN＝0. 6＋2. 3＝2. 9米，而卡车高仅2. 5米，故卡车能顺利通过该厂大门.
A
B
C
D
2.3米
2米
P
O
M
N
25．（8分）（2020威海模拟）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD= 40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）
【答案】该车没有超速．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠CDB=75°，
∴∠CBD=15°，∠EBD=15°（外角的性质），
在Rt△CBD和Rt△EBD中，
∠CBD=∠EBD，∠DCB=∠DEB，BD=BD，
∴△CBD≌△EBD，
∴CD=DE，
在Rt△ADE中，
∵∠BAC =60°，∠DEA=90°， AD= 40米，
∴∠ADE =30°，AE=AD=×40=20，
则DE==20米，
故AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC =60°，∠ACB=90°，
∠ABC =30°，AB=2（40+20），
BC=（40+60）米，
则速度==4+6≈12.92米/秒，
∵12.92米/秒=46.512千米/小时，
∴该车没有超速．
26．（8分）（2020随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理②；
勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①________；
②与的关系为________，与的关系为________．
【答案】（1）见解析；（2）①3；②结论；证明见解析；（3）①；② ．
【解析】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：（学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分）
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简．
（2）①3
②结论
，
（3）①； ② ．
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