二次函数18精讲 专题10 二次函数中的固定边的等腰三角形问题

专题10 二次函数中的固定边的等腰三角形问题

1、如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。

【解析】（1）如图1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或y=﹣（x+2）2+9，
∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．
设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐标代入，得，解得．
故直线AD的解析式为：y=3x+15；
（2）如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，
∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．
∵﹣2＜0，
∴m=﹣=﹣4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），

要使|RE′﹣RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则，解得，
∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．
当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）．
此时，|RE′﹣RF′|的最大值为=；
（3）如图2，设点P（x，﹣x2﹣4x+5）．
当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点P在∠AOC的角平分线上，
∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，
解得x1=，x2=，
∴P（，），P′（，）．
∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，
∴S△PAC=AC•PH=×5×=或S△PAC=AC•P′H=×5×=．

2、已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）求线段长的最大值；
（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标．

【解析】（1）∵在直线上，∴，∴．
又∵在拋物线上，∴，解得．
（2）设，则，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）如图，∵为的等腰三角形且轴，∴连接，轴，
∵，∴，
．
∵，∴，化简，得，解得，（舍去）．
当时，，∴此时点的坐标为．

3、如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A(-1,0)
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

【解析】（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
当y=0时，-x+3=0，x=3，∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），
a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，

∵P（m，n），
∴OE=m，BE=3-m，PE=n，
S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BE•PE，
=m（n+3）+n（3-m），
=m+n，
∵n=-m2+2m+3，
∴S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，
当m=时，S有最大值是；
（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴M（1，4），
设直线BM的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：，解得：，
∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，
设N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），
分两种情况：
①当N在射线MB上时，如图2，

过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，
∵△EQN是等腰直角三角形，
∴MQ=QN，∠MQN=90°，
∴∠EQM+∠FQN=90°，
∵∠EQM+∠EMQ=90°，
∴∠FQN=∠EMQ，
∵∠QEM=∠QFN=90°，
∴△EMQ≌△FQN，
∴EM=FQ，EQ=FN，
∴，解得：，
当a=2时，y=-2a+6=-2×2+6=2，
∴N（2，2），
②当N在射线BM上时，如图3，

同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM，
∴EN=FQ，EQ=FM，
∴，解得：，
∴N（-1，8），
综上所述，点N的坐标为（2，2）或（-1，8）．

4、抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．
（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
【解析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得 解得 ∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得 ∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．
∴P（1+，﹣2）
【小结】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)，抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）直接用含t的代数式表达线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线C1的表达式为：y＝x2+x﹣1；
（2）点M、N的坐标分别为：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t﹣1），
则MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2；
（3）①当∠ANM＝90°时，AN＝MN，
AN＝t﹣（﹣2）＝t+2，MN＝t2+2，
t＝t2+2，解得：t＝0或1（舍去0），故t＝1；
②当∠AMN＝90°时，AM＝MN，
AM＝t+2＝MN＝t2+2，
解得：t＝0或1（舍去1），故t＝1；
综上，t＝0或1．


6、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．
（1）求a、b、c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

图1
【分析】1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．
2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．

【解析】（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．
将代入y＝ax2，得．解得（舍去了负值）．
（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为．
已知A(0, 2)，所以＞．
而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．
所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．
（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．
在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．
所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．
等腰△AMN存在三种情况：
① 图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．

图2 图3
②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．
此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．
② 图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为．

图4 图5
【小结】
如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：
设点P的坐标为．
已知B(0, 1)，所以．
而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．


7、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图
【分析】1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．
【解析】（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．

图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．
此时．所以．
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时．所以．
（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．
在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．
此时．所以．
②如图6，当QC＝QD时，由，可得．
所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．
此时．所以．
③ 存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6
【小结】如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．
9、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
【分析】1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
【解析】（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．
（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
【小结】第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．
此时点M的坐标为(1,)或(1,)．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3 图4 图5

9、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
【分析】1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
【解析】（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B，．解得．所以抛物线．
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．

图2 图3
【小结】如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．
由，得抛物线的顶点为．
因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
10、如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．


图1
【分析】
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
【解析】
（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)．
令，得．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．
由，得．
整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．
如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 为定值，，．
如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
如7，当PA＝PQ时，那么．因此．
解方程，得．
综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．

图5 图6 图7