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初中数学九年级竞赛讲义:第28讲-避免漏解的奥秘
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初中数学九年级竞赛讲义:第28讲-避免漏解的奥秘

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第二十八讲   避免漏解的奥秘

    会而不对,对而不全,这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误,提高解题周密性,避免漏解的奥秘在于:掌握分类讨论法,学会分类讨论.

    分类讨论就是按照一定的标准,把研究对象分成几个部分或几种情况,然后逐个加以解决,最后予以总结作出结论的思想方法,其实质是化整为零、各个击破的转化策略.

解题时何时需要进行分类?一般来说,当问题包含的因素发生变化,问题结果也相应发生变化,我们就需要对这一关键因素分类讨论,怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏,每次分类必须保持同一的分类标准,多级讨论,逐级进行.

【例题求解】

【例1】 四条线段的长分别为951(其中为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且ABCD是其中的两条线段(如图),则可取值的个数为          

                                                     

思路点拨  AB是四条线段中最长的,故AB=9AB=,又CD长不定,所以应就ABCD的取值作全面讨论.

 

 

 

 

 

 

 

 

注:初中数学常见的分类方法有:

    (1)按定义、性质、法则、公式分类;

    (2)对参数分类;

    (3)按图形位置分类;

    (4)按图形特征分类;

    (5)按余数分类.

注:参数是较为常见的分类对象,因为参数的不同取值,可能导致不同的运算结果,或者必须使用不同的方法去解决,这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用.

【例2】 方程的所有整数解的个数是(    )

    A2    B3    C4    D5

                                                    

思路点拨  这是一个特殊的幂指数方程问题,根据幂指数的意义,可将原问题分成三个并列的简单问题求解:(1)非零实数的零次幂等于1(2)1的任何次幂等于1(3)的偶次幂等于1

 

 

 

 

 

 

 

【例3】 试确定一切有理数,使得关于的方程有根且只有整数根.

                                                   

思路点拨 根据方程定义,是否为零影响方程的次数,这是质的不同,解法也不同,所以,应对r=00两种情况分类求解.

 

 

 

 

 

 

【例4】 已知一三角形纸片ABC,面积为25BC边的长为10BC都为锐角,MAB边上的一动点(M与点AB不重合).过点MMNBC,交AC于点N.设MN= 

(1)表示AMN的面积SAMN

  (2)AMN沿MN折叠,使AMN紧贴四边形BCNM(AMAN落在四边形BCNM所在的平面内),设点A落在平面BCNM内的点为AAMN与四边形BCNM重叠部分的面积为试求出关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;为何值时重叠部分的面积最大,最大为多少?

                                                       

思路点拨 折叠AMNA点位置不确定,可能在ABC内或在BC边上或在ABC外,故需按以上三种情况分别求出关于的函数关系式,进而求出的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注:有关平面几何问题,经常按图形相互之间的位置进行分类,因为图形存在不同的位置关系,其解答结果可能不同,也可能需要使用不同的方法解决,初中平面几何按位置关系分类,最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系.  

【例5】 已知OlO2外切,Ol的半径R=2,设O2的半径是r

    (1)如果OlO2的圆心距d=4,求r的值;

    (2)如果OlO2的公切线中有两条互相垂直,并且rR,求r的值.

                                                      

思路点拨  题中没有给出图形,题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直,情况不惟一,故应分类讨论.

 

 

 

 

注:中考压轴题分类讨论有以下常见情形:

    (1)由点的不确定定引起的分类讨论;

    (2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论;

(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论.

 

 

 

学力训练

1.已知m为实数,如果函数的图象与轴只有一个交点,那么m的取值为       

2.若实数满足,则的值为       

3.若半径为54的两个圆相交,且公共弦长为6,则它们的圆心距等于       

4.已知O和不在O上的一点P,过P直线交OAB点,若PA·PB=4OP=5,则O的半径为       

5.和抛物线只有一个公共点(-1-1)的直线解析式为(    )

    A   B    C   D 

6.若线段AB两端点到直线的距离分别为48,则AB的中点到直线的距离是(    )

    A2     B4    C6      D26

7.点A(-40)B(20)坐标平面上两定点,C的图象上的动点,则满足上述条件的直角ABC可以画出(    )

    A1    B2      C3    D4

8.如图,在直角梯形ABCD中,AB=7AD=2BC=3,如果边AB上的点P使得以PAD为顶点的三角形和以PBC为顶点的三角形相似,那么这样的P点有(    )

A1    B2    C3    D4

 

 

9.已知关于的方程

(1)求证:无论是取何实数值,方程总有实数根;

(2)若等腰三角形ABC的一边长,另两边长为恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.

 

10.已知:如图,抛物线C1经过ABC三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E

1)求抛物线C1的解析式;

2)求四边形ABCD的面积;

3AOBBDE是否相似,如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由;

4)设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F,另一条抛物线C2经过点E(抛物线C2与抛物线C1不重合),且顶点为Mab),对称轴与x轴相交于点G,且以MGE为顶点的三角形与以DEF为顶点的三角形全等,求ab的值(只需写出结果,不必写出解答过程)

                                                      

 

 

 

 

 

 

 

11.以O为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm5cmO与这两个圆都相切,则O的半径是         

12.在ABC中,AB=ACAB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角B的大小为        

13.如图,在RtABC中,C=90°AC=3BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是        

                                               

 

 

 

 

14.已知点A(06)B(30)C(20)M(0m),其中m<6,以M为圆心,MC为半径作圆,那么当m=     时,M与直线AB相切.

15.关于的方程有有理根,求整数是的值.

                                                 

16.华鑫超市对顾客实行优惠购物,规定如下:

    (1)若一次购物少于200元,则不予优惠; 

    (2)若一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠;

    (3)若一次购物超过500元,其中500元的部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠.

    小明两次去该超市购物,分别付款198元与554元,现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,他需付款多少?

                                                        

17.如图,已知:ABC中,AB=5BC=3AC=4PQABP点在AC(与点AC不重合)Q点在BC上.

(1)PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;

(2)PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;

(3)试问:在AB上是否存在点M,使得PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.

 

 

 

 

 

 

18.已知关于的方程(q0)的两个实数根为

 (1)试用含有的代数式表示

 (2)求证:1

 (3)若以为坐标的点M()ABC的三条边上运动,且ABC顶点的坐标分别为A(12)B(1)C(11),问是否存在点M使+=,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

                                                        

19.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从21日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示.

(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系;写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式  

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/102㎏,时间单位:天)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案

 

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