初中数学九年级竞赛讲义：第17讲--解直角三角形
展开第十七讲 解直角三角形
利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：
1．为线段、角的计算提供新的途径．
解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限．
2．解实际问题．
测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．
【例题求解】
【例1】 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝()m，则电线杆AB的长为 ．
思路点拨 延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．
【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB=，BC-1，CD=，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )
A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定
思路点拨 通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．
注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．
在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．
【例3】 如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ADC是方程的一个较大的根?求CD的长．
思路点拨 解方程求出 tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，为解Rt△ADC创造条件．
【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米)
思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路
【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：
(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?
思路点拨 (1)设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A的影子落在地面上某一点C，求BC即可．
注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．
学历训练
1．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，则AB的长为 ．
2．如图，在矩形ABCD中．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若tan∠AEH
=，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形ABCD的面积为 ．
3．如图，旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为30°，向旗杆前北进10m，达到D，在D处测得A的仰角为45°，则旗杆的高为 ．
4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为( )
A．20海里 B．20海里 C．海里 D．
5．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于的方程
有两个相等的实根，且sinB·cosA—cosB·sinA＝0，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=2，则四边形ABCD的面积是( )
A． B． C． 4 D．6
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的长是关于的方程的两根，且tanA—tanB=2，求、的值．
8．如图，某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米，则电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米)
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD＝30，则= ．
10．如图，正方形ABCD中，N是DC的中点．M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM＝ ．
11．在△ABC中，AB=，BC=2，△ABC的面积为l，若∠B是锐角，则∠C的度数是 ．
12．已知等腰三角形的三边长为 a、b、c，且，若关于的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是( )
A． 15° B．30° C．45° D．60°
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1和∠2的大小关系是( )
A．∠1>∠2 B．∠1<∠2 C．∠1＝∠2 D．无法确定
14．如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G．
(1)求证：DF×FC＝BG×EC；
(2)当tan∠DAF=时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF=时，△AEF的面积是多少?
15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．
16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．
(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．
(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．
参考答案
