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    初中数学九年级竞赛讲义:第06讲-转化—可化为一元二次方程的方程
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    初中数学九年级竞赛讲义:第06讲-转化—可化为一元二次方程的方程

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    第六讲   转化可化为一元二次方程的方程

        数学()特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑,通常运用符号进行形式化抽象,在一个概念和公理体系内实施推理计算,若从转化这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道:作为数学家的思维来说是很典型的,他们往往不对问题进行正面攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决的问题.

    转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想.解分式方程,通过去分母和换元;解高次方程,利用因式分解和换元,转化为一元二次方程或一元一次方程去求解.

    【例题求解】

    【例1】 若,则的值为            

     

    思路点拨  为整体,令,用换元法求出即可.

     

     

    【例2】 若方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是(    )

        A   B    C    D

     

    思路点拨  通过平方有理化,将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论,但需注意注的隐含制约.

     

     

     

    注:转化与化归是一种重要的数学思想,在数学学习与解数学题中,我们常常用到下列不同途径的转化:实际问题转化大为数学问题,数与形的转化,常量与变量的转化,一般与特殊的转化等.

      解下列方程:

        1

     

        (2) 

     

    3

                                                       

       按照常规思路求解繁难,应恰当转化,对于(1),利用倒数关系换元;对于(2),从受到启示;对于(3),设,则可导出的结果.

     

     

     

     

     

     

    注:换元是建立在观察基础上的,换元不拘泥于一元代换,可根据问题的特点,进行多元代换.

    【例4】 若关于的方程只有一个解(相等的解也算作一个),试求的值与方程的解.                                     

    思路点拨  先将分式方程转化为整式方程,把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论,只有一个解内涵丰富,在全面分析的基础上求出的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

    注:分式方程转化为整式方程不一定是等价转化,有可能产生增根,分式方程只有一个解,可能足转化后所得的整式方程只有一个解,也可能是转化后的整式方程有两个解,而其中一个是原方程的增根,故分式方程的解的讨论,要运用判别式、增根等知识全面分析.

    【例5】 已知关于的方程有两个根相等,求的值.

    思路点拨  通过换元可得到两个关于的含参数的一元二次方程,利用判别式求出的值.

     

     

     

     

     

    注:运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨,是近年中考、竞赛中一类新题型,尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础,但对转换能力、思维周密提出了较高要求.

     

    学历训练

     

    1.若关于的方程有增根,则的值为      ;若关于的方程 曾=一1的解为正数,则的取值范围是       

    2.解方程          

                                                             

    3.已知方程有一个根是2,则=       

    4.方程的全体实数根的积为(    )

        A60    B.一60    C10    D.一10

    5.解关于的方程不会产生增根,则是的值是(    )

        A2      B1    C.不为2或一2     D.无法确定

    6.已知实数满足,那么的值为(    )

        A1或一2    B.一12    C1    D.一2 

     

    7(1)如表,方程1、方程2、方程3……,是按照一定规律排列的一列方程,解方程1,并将它的解填在表中的空格处;

       (2)若方程()的解是=6=10,求的值.该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程?如果是,它是第几个方程?

        (3)请写出这列方程中的第个方程和它的解,并验证所写出的解适合第个方程.

    序号

       

    方程的解

    1

    =     

    =     

    2

    =4

    =6

    3

     =5

    =8

    8.解下列方程:

    1 

    2

    (3)

    (4)

    9.已知关于的方程,其中为实数,当m为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.

    10.方程的解是              

     

    11.解方程               

     

    12.方程的解是                    

     

    13.若关于的方程恰有两个不同的实数解,则实数的取值范围是                                        

    14.解下列方程:

        (1)

        (2)

    3

       4

    15.当取何值时,方程有负数解?

                                                  

    16.已知,求的值.           

    17.已知:如图,四边形ABCD为菱形,AFADBDE点,交BC于点F

    (1)求证:AD2= DE×DB

    (2)过点EEGAEAB于点G,若线段BEDE(BE<DE)的长为方程(m>0)的两个根,且菱形ABCD的面积为,求EG的长.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    参考答案

     

     

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