专题18 综合测试11（解析版）

专题18  综合测试11

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021年湖南师大附中）若为纯虚数，则实数的值为

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】，则所以

2、（2021年江苏连云港期中）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为（）

A．20 B．22 C．23 D．26

【答案】D

【解析】因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，

所以得到武术小组占总人数的比值为

因为武术小组中抽取了6名学生，根据分层抽样的特点可得

，解得，

故选：D.

3、（2021年山东师范大学附属中学期中）《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、

坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成

(表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任

取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概

率为

A．    B．    

C．    D．

【答案】C

【解析】

4、（2021年山东日照联考）已知与之间的一组数据：

若关于的线性回归方程为，则的值为（）

A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5

【答案】D

【解析】利用表格中数据，可得

又，

．

解得

故选：D

5、（2021年湖南师大附中）某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游，要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点，且这6个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有

A．120种       B．180种      C．240种      D．320种

【答案】C

【解析】方法1：以人为对象，分类讨论：甲不值班乙值班：；甲值班乙不值班：；甲乙都不值班：；甲乙都值班：，故；

6、（2020·浙江月考）函数的部分图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】首先判断函数奇偶性,舍去C,D，再取函数值舍去A，进而可得出答案.

令

为奇函数，所以舍去C,D;

舍去A;

故选：B

7、（2021年湖北黄冈期中）已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则（    ）

A. 729 B. 332 C. 181 D. 96

【答案】D

【解析】设正项等比数列的公比为q，则，

由，可得，即，即，①

与的等差中项为9，可得，即，②

由①②可得，解得或（舍），

则.

故选：D.

8、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，因为正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，

则，所以三棱锥的高,

又由球心到四个顶点的距离相等，

在直角三角形中，，

又由，即，解得，

所以球的表面积为，

故选D.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（江苏省南京市2021届高三上学期）已知，则

A．的值为2                       B．的值为16

C．的值为﹣5  D．的值为120

【答案】：ABC

解析：令x＝0，得，故A正确；

，故，B正确；

令x＝1，得①，又，

∴，故C正确；

令x＝﹣1，得②，由①②得：

，D错误．

故选ABC．

10、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到

C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称

【答案】ACD

【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；

的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD

11、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是(     )

A． B．存在一个位置，使为等边三角形

C．与不可能垂直 D．直线与平面所成的角的最大值为

【答案】ABD

【解析】A选项，因为菱形中，与相交于点，所以，；

将沿折起，使顶点至点，折起过程中，始终与垂直，因此，

又，由线面垂直的判定定理，可得：平面，因此，故A正确；

B选项，因为折起的过程中，边长度不变，因此；若为等边三角形，则；设菱形的边长为，因为，则，即，又，所以，即二面角的余弦值为时，为等边三角形；故B正确；

C选项，，，由A选项知，，，

所以，因此，

同B选项，设菱形的边长为，易得，，

所以，显然当时，，即；故C错误；

D选项，同BC选项，设菱形的边长为，则，，，由几何体直观图可知，当平面，直线与平面所成的角最大，为，易知.

故选：ABD.

12、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

由抛物线的定义，，A正确；

∵，是的平分线，∴，∴，B正确；

若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；

连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020年全国2卷）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.

【答案】

【解析】由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.

故答案为：．

14、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知，则的值为________．

【答案】

【解析】

原式,又∵，

∴原式，

故答案为：.

15、如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于两点，若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为        .

【答案】

【解析】由焦点到渐近线的距离为，知，在 中，由余弦定理得，即，解之得： 设内心为，作于，显然，，则，则，

，即，

16、（2020·浙江月考）已知函数（其中是自然对数的底数），则___________；若与的图象有两个不同的公共点，则实数的取值范围是___________.

【答案】       

【解析】；

与的图象有两个不同的公共点，即函数与的图象有两个不同的公共点，

当时，单调递减；

当时，，即在上单调递减，在上单调递增；

画出示意图，由图可知当时，与的图象有两个不同的公共点，

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17．（2021年湖北六校联考）（本小题满分10分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为．若，，

        ，求a和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】若选①，由及正弦定理，

得，所以．                     …… 3分

因为，所以．                                    …… 5分

又，所以，                                       …… 6分

结合，可得．                                …… 8分

所以△ABC中的面积

．                   …… 10分

      若选②，由，

      可得．下同①                                         …… 3分

      若选③，由，得，         …… 3分

      因为，所以．下同①                              …… 5分

18、（2020-2021学年南京第一学期12月六校联合调研试题）已知数列的前n项和满足，且.

（1）求数列的前n项和及通项公式；

（2） 记，为的前n项和，求．

(1)，；(2).

【解析】(I)由已知有，

∴数列为等差数列，

且，

∴，即，----------------------2分

当时，，

又也满足上式，∴；------------------------6分

(II)由(1)知，，---------8分

∴，

---------------------------12分

19、（2021年南京期中模拟）如图，在三棱锥P—ABC中，△PAC为等腰直角三角形，为正三角形，AC=2．

（1）证明：PB⊥AC；

（2）若平面平面，求二面角A—PC—B的余弦值．

【解析】(1)证：取AC的中点D,连结PD,BD

为等腰直角三角形，为中点，，

又为正三角形，为中点，，

又，平面，

平面PBD，又平面，---------------------------5分

(2)   解：

--------------------------7分

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设为平面的一个法向量，则，即，

令，得，，

又是平面的一个法向量，∴，

由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为．------------12分

20、（2021年泰州12月模拟）（本小题满分12分）近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．中国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值．

（1）根据调查结果制作了如下列联表，请将列联表补充完整，并判断是否

有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；

（2）若把上表中的频率作为概率，现随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人中

“经常运动且不肥胖”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

附：，其中．

【解析】（1）填表如下：

                                                                     …… 2分

所以．                       …… 5分

          因为，所以有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关．…… 6分

     （2）“经常运动且不肥胖”的频率为．                       …… 8分

          现随机抽取3人，“经常运动且不肥胖”的人数为可能的取值为0，1，2，3．

          ，，

          ，． …… 10分

          所以随机变量的分布列为

          所以的数学期望．… 12分

21、（2020-2021学年南京第一学期12月六校联合调研试题）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.

（1）求的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由题意可知，，则，

又的周长为8，所以，即，

则，.

故的方程为.---------------------------4分

(2)假设存在点，使得为定值.

若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，

则.

若直线的斜率存在，设的方程为，

设点，，联立，得，

根据韦达定理可得：，，

由于，，则

因为为定值，所以，解得，

此时，也满足

综上故存在点，使得为定值，且.------------------------12分

22.（2021年山东师大附中模拟） 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，a∈R.

（1）求时函数f(x)的单调区间；

（2）当时，若对于任意, 都存在，使得 ，证明：.

【解析】：　(1)时，

则在上单调递增，上单调递减----------------4分

(2)由题意，得f′(x)＝－2ax＋(2－a)

＝－，x>0.

当a<－时，

∵＝ln －a(x2＋x1)＋(2－a)，

f′(x0)＝－2ax0＋(2－a)，

∴ln －a(x2＋x1)＝－2ax0，

∵f′－f′(x0)

＝－a(x2＋x1)－

＝－ln

＝·

＝－ln ，

令t＝，g(t)＝－ln t，t>1，

则g′(t)＝－<0，∴g(t)<g(1)＝0，

∴f′－f′(x0)<0，∴f′<f′(x0)，

设h(x)＝f′(x)＝－2ax＋(2－a)，x>1，

则h′(x)＝－－2a>－1＋1＝0，

∴h(x)＝f′(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴<x0.----------------------------------------------------------12分