专题12 综合测试05（解析版）

专题12  综合测试05

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021年江苏如东中学开学初模拟）已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x2－x－6≥0}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．{x|2≤x＜3}   B．{x|2<x≤3}  C．{x|－2<x≤3}   D．{x|－3<x≤2}

【答案】A

【解析】　因为B＝{x|x2－x－6≥0}，所以B＝{x|x≥3或x≤－2}，所以∁RB＝{x|－2<x<3}，又A＝{x|x≥2}，所以A∩(∁RB)＝{x|2≤x<3}．故选A.

2、（2021年山东师大附中联考）已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，因此，.选B.

3、（2021年南京六校联考）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是                       （    ）  

A．B．C． D．

【答案】D

【解析】因为函数，

所以函数不是偶函数，图像不关于y轴对称，故排除A、B选项；

又因为时，故排除C，故选D

4、（2021年南通联考）已知，，，则a，b，c的大小关系为                           （    ）    

   A．b＜a＜c        B．a＜b＜c        C．c＜b＜a        D．c＜a＜b

【答案】A

【解析】∵，∴，∴，∴，

又，，∴b＜a＜c，故选A．

5、（2021年南通联考）若，，，(0，)，则＝                    （    ）   

   A．          B．            C．            D．

【答案】C

【解析】∵，(0，)，∴(0，π)，(，)，

∴，，

∴

，故选C．

6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，消去参数得，

所以在以为圆心，为半径的圆上，

又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，

，

∴的最大值为．

故选：C.

7、（2021年徐州市高三联考）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.年月日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点、、、，满足，，，则该鞠的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将三棱锥补成长方体，使得三棱锥的各棱为长方体的面对角线，

设，，，设该鞠的半径为，则，

由勾股定理可得，，，上述三个等式相加得，

则，因此，该鞠的表面积为.故选：A

8、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

直线过定点

由题意可知：定点是曲线的对称中心，

，解得，所以曲线，

f′（x）= ，设切点M（x0，y0），

则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，

∴切线的方程为：又直线过定点

，

得﹣-2=0，，

即解得：

故可做两条切线，故选C

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2021年山东师大附中开学初考试）若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】选项A：因为，所以，不等式两侧同时乘以，所以，故A正确；

选项B：因为，所以，所以，即，又，所以不等式两侧同时乘以，则，故B错误；

选项C：因为，所以，根据不等式的同向可加性知，故C正确；

选项D：当，时，此时，，故D错误.

故选：AC

10、（2021年湖北黄冈中学联考）设正项等差数列满足，则（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】ABD

【解析】因为正项等差数列满足，

所以，即.

选项A,，当且仅当时成立，故A选项正确.

选项B由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.

选项C，当且仅当时成立，

所以的最小值为，故C选项错误.

选项D结合①的结论，有，

当且仅当时成立，故D选项正确.

11、（2021年河北石家庄二中月考）已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则（    ）

A．  B．

C．展开式中存在常数项                 D．展开式中含项的系数为

【答案】ABD

【解析】令，得的展开式中各项系数之和为，所以，

选项A正确；

的展开式中第二项的二项式系数为，所以，，选项B正确；

的展开式的通项公式为，

令，则，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；

令，则，所以展开式中含项的系数为，选项D正确．

12、（2021年江苏南京六校联考）若存在两个不相等的实数，，使，，均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】BD

【解析】对于A，因为函数的定义域为，，

所以，

由于，所以恒成立，故A不具有性质；

对于B，函数的定义域为，取，，则，

所以，所以成立，故B具有性质；

对于C，函数的定义域为，当，时，，

由于，所以，易知在上单调递增，

所以恒成立，故C不具有性质；

对于D，函数的定义域为，易知为奇函数，

取，则，所以，，

所以成立，故D具有性质．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020届山东省德州市高三上期末）随机变量的取值为、、，，，则______.

【答案】

【解析】设，其中，可得出，

，

，解得，

因此，.

故答案为：.

14、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线在点处的切线的方程为__________．

【答案】

【解析】

15、（2020届山东省泰安市高三上期末）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.

【答案】1.5

【解析】设此等差数列的公差为，

由题意即解得

 所以夏至的日影子长为

 故答案为：

16、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.

【答案】       

【解析】的展开式的通项为，

令，得，所以，展开式中的常数项为；

令，令，即，

解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.

故答案为：；.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.

【解析】

选①∵，，

∴，，

∴

，

由正弦定理得，

∴.

选②

∵，

∴由正弦定理得.

∵，∴.

又∵，

∴，

∴，

∴.

选③

∵ ，，

∴ 由余弦定理得，即，

解得或（舍去）.

，

∴的面积.

故答案为：选①为；选②为；选③为.

18、（江苏省南通市2021届高三月考模拟测试）(本小题满分12分)已知正项等比数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【解析】（1）设数列的公比为

由已知，由题意得，

所以，解得，.

因此数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

∴.

19、（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年度第一学期期初调研测试）(本小题满分12分)过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成，到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和，2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是关键时刻，更应该强调“精准”，为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：

（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为元，求的分布列；

（2）若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元概率；

（3）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元，假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由．

【解析】（1），

，

∴的所有可能值为12500，17000，23000

且，

∴的分布列如下：

（2）种植一年该经济农作物纯收入不少于16000元的概率为

∴三年至少有两年的纯收入不少于16000元的概率．

（3）由（2）知2020年底该农户一年的纯收入为

4人均收入为

∴预测该农户能凭这一亩经济农作物的纯收入在2020年底脱贫．

20、（20121年江苏徐州联考）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，EC⊥BD．

（1）证明：平面BED⊥平面ABCD；

（2）若点P在侧面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．

【解析】（1）如图，在四棱锥E－ABCD中，连接AC，交BD于点O，

连接EO，∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC，

易得△ADO≌△ABO，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩AC＝C，EC，AC⊂平面AEC，∴BD⊥平面AEC，

又OE⊂平面AEC，∴OE⊥BD，…………………………………2分

又底面ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

在Rt△ADC中，由AD＝，CD＝1，可得AC＝2，AO＝，

∴∠AEC＝90°，＝＝，易得△AEO∽△ACE，∴∠AOE＝∠AEC＝90°，

即EO⊥AC，又AC，BD⊂平面ABCD，AC∩BD＝O，∴EO⊥平面ABCD，…………4分

又EO⊂平面BED，∴平面BED⊥平面ABCD． …………5分

（2）如图，取AE的中点M，AB的中点N，

连接MN，ND，DM，则MN∥BE，由（1）知，

∠DAC＝∠BAC＝30°，即∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，

∴DN⊥AB，又BC⊥AB，DN，CB⊂平面ABCD，

∴DN∥CB，…………………………………………………6分

又MN∩DN＝N，BE∩BC＝B，MN，DN⊂平面DMN，BE，BC⊂平面EBC，∴平面DMN∥平面EBC，

∴点P在线段MN上．………………………………………7分

以O为坐标原点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，

则，，，，，，

，，，，……8分

设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，

则，即，不妨令，则n＝(1，，)，……………………9分

设＝λ (0≤λ≤1)，则， ……………10分

设直线DP与平面ABE所成的角为θ，

则， ………………………11分

因为0≤λ≤1，所以当λ＝0时，sin θ取得最大值，

故直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值为． …………………………12分

21、（江苏省南通市2021届高三月考模拟测试）(本小题满分12分)

已知函数，．

（1）求证：；

（2）用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数．

【解析】（1）证明：设，定义域为，

则．

当时，；当时，，

故在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

所以，所以．

（2）解：函数的定义域为，

，

当时，；当时，，

所以在内是减函数，在内是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

即，

若，则，

当时，；当时，；

当时，．

所以，于是只有一个零点．

当，则当时，，此时，

当时，，，此时，

所以没有零点．

当，则当时，根据（1）可知，，

而，所以，

又因为，所以在上有一个零点，

从而一定存在，使得，

即，所以．

当时，，

所以，从而，

于是有两个零点和1．

故当时，有两个零点．

综上，当时，有一个零点，当时，没有零点，当时，有两个零点．

22、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，

且两焦点F1，F2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为－，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；

②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．

【解析】（1）＋y2＝1．------------------------------------3分

（2）①设AB的直线方程为y＝k(x－1)．

联立消元y并整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

于是AB＝|x1－x2|＝×＝，

同理CD＝＝，

于是AB＋CD＝＋＝3．-------------------------------------7分

②由①知xM＝，yM＝，xN＝，yN＝，

所以M(，)，N(，)，

所以MN的中点为T(，0)，

于是SΔOMN＝OT·|yM－yN|＝||＝×＝×≤，

当且仅当2|k|＝，即k＝±时取等号，所以△OMN面积的最大值为．------------12分