专题08：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈指数运算及指数函数解析版
展开指数运算及指数函数
一、指数运算
1、化简（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 根据根式与分数指数幂的互化即可求解.
详解：.
故选：B
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
2、化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 先化简原式为，即得解.
详解：由题得
.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查指数幂的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3、求值：
（1）.
（2）；
答案： (1)1 (2)-6a
解析： 根据根式和幂指数运算律进行化简运算，即得解.
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查了根式和幂指数运算，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.
4、计算 _______.
答案：
解析： 利用指数的运算法则求解即可.
详解：原式.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题
5、计算求值：
（1）
（2） 若 ， 求的值
答案： （1）10 （2）3
解析： 根据指数式的运算化简即可。
【详解】
（1）原式
（2）
【点睛】
本题考查了指数幂的化简求值，属于基础题。
6、化简或求值
（1）；
（2）．
答案： （1）（2）101
解析： 利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】
（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
7、（1）化简________.
（2）若，则化简________.
答案： 当时， ；当时，.
解析： （1）由有意义，得到，根据根式的运算性质，即可求解；
（2）由，分类讨论，即可求解.
详解：（1）由有意义，可得，即，
所以.
（2）由，
因为，
当时，原式；
当时，原式.
【点睛】
（1）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
二、指数函数
1、函数的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
答案： D
解析： ∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
2、函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是( )
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 利用指数函数和二次函数的性质对各个选项一一进行判断可得答案.
详解：解：两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数的图象过点，故排除A，D；
二次函数的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；
当时，指数函数递增，，B不合题意，
故选C．
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
三、指数函数的性质
1、设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 设，，根据指数函数的单调性判断可得；
详解：解：设，，因为，故在上单调递减，又因为当时，，所以，因为，故在上单调递增，又因为当时，，所以，所以.
故选：
【点睛】
本题考查指数函数的单调性的应用，属于基础题.
2、设，，，则（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 利用指数函数的性质即可比较出，，的大小．
【详解】
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的性质，是基础题．
3、函数在上的最大值与最小值的差为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 分和两种情况结合指数函数的单调性求解即可.
详解：当时，函数单调递增，则在上最大值与最小值之差为，解得.
当时，函数单调递减，则在上最大值与最小值之差为，得，无解.
所以
故选：B
【点睛】
本题考查指数函数的单调性和最值问题，属于基础题
4、函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 因为指数函数在区间上单调递减，反比例函数在区间上也单调递减，所以函数在区间[1，2]上单调递减，从而求出函数的最小值．
【详解】
∵指数函数在区间上单调递减，反比例函数在区间上也单调递减，
∴函数在区间上单调递减，
∴.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了指数函数，反比例函数的单调性，是基础题．
5、已知，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 利用指数函数的单调性,可得选项.
详解：因为 ，所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查了指数函数的单调性，属于基础题目.
6、如果，则的解集为______.
答案：
解析： 将不等式变形为，利用指数函数的单调性可求得该不等式的解集.
详解：由得，
由于指数函数为增函数，，解得.
因此，原不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查指数不等式的求解，涉及指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.
7、函数在-1,2的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．3
答案： C
解析： 利用换元法设，转化为函数，再求最小值得到答案.
【详解】
设，则
转化为函数： 在的最小值为：即时，
故选C
【点睛】
本题考查了指数形函数的最值，通过换元法转化为二次函数是解题的关键.
8、已知关于x的不等式2x﹣a＞0在区间上有解，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 利用分离常数法，结合指数函数的性质，求得的取值范围.
详解：由于关于的不等式在区间上有解，
所以存在，使得，也即，
由于在上递增，当时，，
所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查存在性问题的求解，属于基础题.
9、已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
答案： D
解析： 作出函数和的图象，观察图象可得结果.
详解：因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
10、已知函数的图象过点.
（1）求与的值；
（2）求时，的最大值与最小值.
答案： （1），；（2）最小值为，最大值为.
试题分析：（1）直接将图象所过的点代入解析式，得出，解出，即可；
（2）根据函数单调递增，利用单调性求其最值即可.
详解：（1）由已知可得点在函数图像上.
∴∴，又不符合题意
∴.
（2）由（1）可得
∵∴在其定义域上是增函数.
∴在区间上单调递增，
所以最小值为，最大值为.
【点睛】
本题主要考查了指数型函数的图象和性质，涉及运用单调性求函数的最值，属于基础题.
11、已知函数，.
（1）当时，不等式的解集；
（2）若，同时满足下列两个条件：
①，使；②，使，
求实数的取值范围.
答案： (1);(2)
试题分析：（1）将代入，即解不等式；
（2）由①讨论可得，由②分离变量后可得，由此得解．
详解：（1），
，
，
，
所求不等式的解集为；
（2）①因为①使，
所以当时，，不符合题意；
当时，，
因为，当且仅当“”时取等号，
；
②，使，即对任意恒成立，
对任意恒成立，
，当且仅当“”时取等号，
，
，
综上，实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查双勾函数的图象及性质，考查不等式的解法，考查分类讨论思想及转化思想，难度中等．
12、已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若有最大值64，求实数a的值.
答案： (1) ；(2).
解析： (1)由在R上单调递增，且，得到，即可求解；
(2)令，结合指数函数的单调性和二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】
(1)由题意，当时，函数，
因为在R上单调递增，且，
可得，又，所以函数的值域为；
(2)令
当时，t无最大值，不合题意；
当时，因为，所以，
又因为在R上单调递增，所以，
即， 解答.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及二次函数的性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
13、已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若关于x的不等式f()＋f()<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．
答案： （1）；（2）．
试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知对任意恒成立，从而即可求得的值；（2）利用（1）中的结论以及的单调性，可将不等式等价转化为，再有题意只有一个整数解，即可得到关于的不等式，从而求解．
试题解析：（1）显然的定义域为，又∵是奇函数，
∴对一切实数都成立，∴；
（2）易得为上的单调递增函数，又由是奇函数，∴
，
当时，显然不符合题意，当时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知不等式的解为，∴该整数解为1，∴，即实数的取值范围是．
考点：1.奇函数的性质；2.不等式的性质．
【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值，此外将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、指数函数等．只要能够熟练掌握基本初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决．
