江苏省淮安市高中校协作体2021届高三上学期期中考试 数学（含答案）
展开淮安市高中校协作体2020～2021学年第一学期高三年级期中
数学试卷
（本试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2．命题“(0，1)，”的否定是（ ）
A．(0，1)， B．(0，1)，
C．(0，1)， D．(0，1)，
3.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
7. 若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为（ ）
A. B. 和 C. D.
8.已知函数， ，若存在两个零点，
则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．若函数的图像在上连续不断，且满足，，，
则下列说法错误的是（ ）
A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
10．设正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为 B. 函数在上有2个零点
C.当时,函数取得最大值
D.为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有点的
横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
12.下列说法中正确的是（ ）
A. 数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B. 数列成等比数列的充要条件是对于任意的正整数,都有;
C．若数列是等差数列，则也是等差数列；
D. 若数列是等比数列，则也是等比数列.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知，则________
14．已知向量与的夹角，且，，若,
且，则实数的值为
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_________
16．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且,,
则 ； 若，则 ．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，
且是等比数列的前3项.
（1）求和；
（2）设，求的前项和.
18．（本小题满分12分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝，b＝，
（1）求角；
（2）求△ABC的面积．
19．（本小题满分12分）
中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元）．若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x台的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，设向量，，
．
（1）若，求的值；
（2）设，，且，求的值．
21．（本小题满分12分）
已知，其中.
且满足.
(1)求和的值；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知函数，R．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对(0，)，恒成立，
求实数b的取值范围．
（3）当时，求证：
淮安市高中校协作体2020～2021学年第一学期高三年级期中考试
数学试卷参考答案
（本试卷满分为150分，考试时间为120分钟）．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若复数满足，则的虚部为( )D
A. B. C. D.
2．命题“(0，1)，”的否定是（ ）B
A．(0，1)， B．(0，1)，
C．(0，1)， D．(0，1)，
3.设，则“”是“”的（ ）A
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设，，，则的大小关系为（ ）A
A. B. C. D.
5.已知角的终边经过点，则（ ）B
A． B． C． D．
6．已知集合，集合，则等于（ ）C
A． B． C． D．
7. 若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为（ ）B
A. B. 和 C. D.
8.已知函数， ，若存在两个零点，
则的取值范围是（ ）C
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．若函数的图像在上连续不断，且满足，，，
则下列说法错误的是（ ）ABD
A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
10．设正实数满足，则下列结论正确的是（ ）ACD
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）ABCD
A.函数的最小正周期为 B. 函数在上有2个零点
C.当时,函数取得最大值
D.为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有点的
横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
12.下列说法中正确的是（ ）AC
A. 数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B. 数列成等比数列的充要条件是对于任意的正整数,都有;
C．若数列是等差数列，则也是等差数列；
D. 若数列是等比数列，则也是等比数列.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知，则________
14．已知向量与的夹角，且，，若,
且，则实数的值为
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_________
16．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且,,
则 ； 若，则 ．(本题第一空2分，第二空3分)
4, 60
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，
且是等比数列的前3项.
（1）求和；
（2）设，求的前项和.
解：（1）设数列的公差为，因为等差数列的前4项和为10，
所以，，即…………1分
因为是等比数列的前3项. 所以，
，，……………………………2分
又等差数列各项均不相等，所以，
所以，又，所以，所以，……………4分
因为是等比数列的前3项，所以等比数列的前3项是，
所以………………………5分
（2）由（1）得，…………………6分
所以数列的前项和是…………………10分
18．（本小题满分12分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝，b＝，
（1）求角；
（2）求△ABC的面积．
解： （1）若选①，，则由余弦定理得
，……………………2分
因为，所以……………………4分
若选②，，由正弦定理得
,…………………………………………………2分
又,所以，所以
又,，,…………………………………………4分
若选③，由得,………………2分
所以，又,
所以，，所以,……………………4分
（2）由正弦定理得，又，，
所以，………………6分
，………………8分
所以………10分
所以………12分
19．（本小题满分12分）
中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元）．若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x台的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
解：（1）当时，，……2分
当时，，……4分
于是……………6分
（2）当时，，
此时当时，（万元）……………8分
当时，，
（当且仅当即时取），…………………10分
所以当时，（万元）
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大。
最大利润是万元。…………………………12分
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，设向量，，
．
（1）若，求的值；
（2）设，，且，求的值．
解：（1）因为，，，
所以，
且． …… 2分
因为，所以，即， ………4分
（也可用坐标代入计算）
所以，即． …… 6分
（2）因为，所以．
依题意，． …… 8分
因为，所以． ……10分
化简得，，所以．
因为，所以．
所以，即． …… 12分
21．（本小题满分12分）
已知，其中.
且满足.
(1)求和的值；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围.
解： (1)由题意知，
…………………………2分
由得，， …………………………………………………4分
∵,又,∴，∴ …………6分
(2)由(1)得, …………8分
∵，∴，
∴,∴,即,…………10分
又∵方程在区间上总有实数解,
所以在区间上成立,
∴,,
∴，所以实数的取值范围为. ,…………12分
22．（本小题满分12分）
已知函数，R．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对(0，)，恒成立，
求实数b的取值范围．
（3）当时，求证：
解：（1）当时，，其中
所以， ………………………………………1分
令，则，即
令，则，即………………………………………3分
所以函数的减区间是，增区间是………………………4分
（2）因为函数在处取得极值，所以
又，所以，……………………5分
因为对(0，)恒成立，
即对(0，)恒成立，
对(0，)恒成立，……………………6分
令，则，
，由得，
所以在上是递减，上是递增，所以，
所以……………………8分
（3）因为，所以，
所以等价于，即
要证明，只要证明，…………9分
令，只要证明在上是增函数，………10分
又，易知在上是增函数，
所以，所以，
所以在上是增函数
又，所以，即，
所以.…………………………………………………………12分
