江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十三次周考理A层13班2（含解析） 试卷

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十三次周考（理A层）（13班）

一．选择题（50分）

1已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)

A．4   B．8 

C．16   D．32

.2如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A.＋1   B.＋1

C.   D.

3已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为(　　)

A．5   B．6

C．7   D．8

4．已知椭圆＋＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是(　)

A．1    B. 

C.    D.

5.已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于(  )

A .  24         B.  36      C.    48      D.   96

6．已知双曲线：（，）的一条渐近线为，圆： 与交于，两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A．      B．     C．      D． 

7．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（  ）

A.     B.     C.     D.

8．如图，,是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则(e为椭圆的离心率)，的最小值为

A．             B．         C．         D．

9．定义在上的函数满足，.若关于的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是（   ）

A．      B．C．   D． 

10点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率是(    )

A．    B．    C．   D．2

二．填空题（20分）

11．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

12．在棱长为1的正方体中，为的中点，在面中取一点，使最小，则最小值为__________. 

13 已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞b，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若＝8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．

14如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．

三．解答题（36分）

15.如图，在四棱锥中，等边

所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,

为的中点，为的中点，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角.若存在，

      求出的长,若不存在，请说明理由.

16．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线：的交点所在的直线经过.

（Ⅰ）求椭圆的方程；  

（Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于，两点，与抛物线无公共点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方，求四边形的面积的取值范围.

17已知函数为自然对数的底数).

（I）若，求函数的单调区间；

（II）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.

2019年高三（13）班第十三次周考卷参考答案

8．A【解析】连接，，因为点为线段的中点，所以，

由椭圆的定义得，由，得，

解得，，所以

（当且仅当时等号成立），故选A． 

11答案：6．12

13．解析：设|PF2|＝y，则(y＋2a)2＝8ay⇒(y－2a)2＝0⇒y＝2a≥c－a⇒e＝≤3.

答案：(1,3]

14解析　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，

∠B1PA2为钝角可转化为，所夹1＞的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，得b2＜ac，即a2－c2＜ac，故＋－0，即e2＋e－1＞0，e＞或e＜，又0＜e＜1，∴＜e＜1.

答案　 

15解：（Ⅰ） 是等边三角形，为的中点,    

平面平面，是交线，平面

平面. 【4分】

（Ⅱ）取的中点，底面是正方形，，两两垂直. 

 分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 

 则  【5分】

，，，

设平面的法向量为，，

，， 

平面的法向量即为平面的法向量.

由图形可知所求二面角为锐角，          【9分】

(Ⅲ)方法1：设在线段上存在点，，

  使线段与所在平面成角，

平面的法向量为，，

，解得，适合

在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角. 【12分】

方法2：由（Ⅰ）知平面， ，,

  平面.

设在线段上存在点 使线段与所在平面成角，

连结，由线面成角定义知：即为与所在平面所成的角,

,当线段时，与所在平面成角.

16．解：（Ⅰ）依题意得，则（-2，0），（2，0）. ．．．．．．．．．．．．1分

所以椭圆与抛物线的一个交点为，

于是，从而.．．．．．．．．．．．．2分

又，解得

所以椭圆的方程为.．．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线：，．．．．．．．．．．．．5分

由，消去整理得，由得.

由，消去整理得， 

设，，则，，．．．．．．．．．．．．7分

所以，．．．．．．．．．．．．8分

与间的距离（即点到的距离），．．．．．．．．．．．．9分

由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，

故，

令，则，

所以四边形的面积的取值范围为.．．．．．．．．．．．．12分

17..解: （I）当，，……1分

令，得，.

当时，.………………2分   

当，时，，或时，…………………3分

当，时，，或时，.

时，的单调递减区间为；

时，的单调递增区间为，递减区间为，；

时，的单调递增区间为，递减区间为，

……………………………4分.

（II）由得，，

由得，设，

则在内有零点.设为在内的一个零点，

则由知在区间和上不可能单调.

设，则在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点……………………………5分.

，.

当时，，在区间上递增，不可能有两个及以上零点；

……………………………6分.

当时，，在区间上递减，不可能有两个及以上零点；

……………………………7分.

当时，令得，所以在区间上递减，在上递增，在区间上存在最小值.…………………………… 8分

若有两个零点，则有：，，.……………………… 9分

设，则，令，得.

当时，，递增，

当时，，递减，

，所以恒成立. …………………10分

由，，得.

当时，设的两个零点为，则在递增，在 递减，在递增，所以，，则在内有零点.  综上，实数的取值范围是.…………………12分