备战2021年上海中考专题07：正比例函数与反比例函数

备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题07正比例函数与反比例函数（共40题）
一．选择题（共6小题）
1．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=kx，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【解析】设反比例函数解析式为y=kx，
将（2，﹣4）代入，得：﹣4=k2，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y=-8x，
故选：D．
2．（2019•上海）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　）
A．y=x3 B．y=-x3 C．y=3x D．y=-3x
【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．
【解析】A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：A．
3．（2020•普陀区二模）关于函数y=-2x，下列说法中错误的是（　　）
A．函数的图象在第二、四象限
B．y的值随x的值增大而增大
C．函数的图象与坐标轴没有交点
D．函数的图象关于原点对称
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵函数y=-2x，
∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；
在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误；
函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；
函数的图象关于原点对称，故选项D正确；
故选：B．
4．（2020•闵行区二模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k≠0）图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，那么它的图象的两个分支分别在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解析】∵反比例函数y=kx（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∴它的图象的两个分支分别在第二、四象限．
故选：B．
5．（2020•嘉定区一模）如果A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是（　　）
A．y＝2x B．y=-2x C．y＝﹣x2 D．y＝x2
【分析】由A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）可知，图象关于y轴对称，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，据此判断即可．
【解析】∵A（﹣2，n），B（2，n），C（4，n+12）这三个点都在同一个函数的图象上，
∴A、B关于y轴对称，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，
A、对于函数y＝2x，y随x的增大而增大，故不可能；
B、对于函数y=-2x，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；
C、对于函数y＝﹣x2，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，故不可能；
D、对于函数y＝x2，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，故有可能；
故选：D．
6．（2020•长宁区二模）关于反比例函数y=2x，下列说法不正确的是（　　）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象关于原点中心对称
D．y 的值随着 x 的值的增大而减小
【分析】根据反比例函数y=2x和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵反比例函数y=2x，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；
它的图象在第一、三象限，故选项B正确；
它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；
在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；
故选：D．
二．填空题（共26小题）
7．（2018•上海）已知反比例函数y=k-1x（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　k＜1　．
【分析】由于反比例函数y=k-1x的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．
【解析】∵反比例函数y=k-1x的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
8．（2018•上海）如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【解析】∵一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0＝k+3，
∴k＝﹣3，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
9．（2017•上海）如果反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】先根据题意得出k的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解析】∵反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6＞0，
∴在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．
故答案为：减小．
10．（2016•上海）已知反比例函数y=kx（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是　k＞0　．
【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
【解析】∵反比例函数y=kx（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，
∴k的取值范围是：k＞0．
故答案为：k＞0．
11．（2020•普陀区二模）将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是　y＝10x　．
【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．
【解析】∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx+k，
∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴1×k2=5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
∵当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx﹣k，
∴与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴1×k2=5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
故答案为：y＝10x．
12．（2020•青浦区二模）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是　y＝3x﹣1　．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．
【解析】设平移后直线的解析式为y＝3x+b，
把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，
解得 b＝﹣1．
所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
13．（2020•徐汇区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着自变量x的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是　y＝﹣2x　．（只需写出一个）
【分析】根据正比例函数的性质可得k＜0，然后确定k的值即可．
【解析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着自变量x的值增大而减小，
∴k＜0，
∴符合条件的正比例函数可以是y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x．
14．（2020•奉贤区二模）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【解析】函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
15．（2020•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y=kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是　4　．

【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（m，n），根据三角形的面积公式得到OA=12n，求得A（12n，0），求得C（mn+122n，n2），列方程即可得到结论．
【解析】过B作BD⊥OA于D，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴设B（m，n），
∵△OAB的面积为6，
∴OA=12n，
∴A（12n，0），
∵点C是AB的中点，
∴C（mn+122n，n2），
∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴mn+122n•n2=mn，
∴mn＝4，
∴k＝4，
故答案为：4．

16．（2020•嘉定区二模）如果反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点P（1，3），那么当x＜0时，函数值y随自变量x的值的增大而　减小　（从“增大”或“减小”中选择）．
【分析】根据题意，利用待定系数法解出k＝3，再根据k值的正负确定函数值的增减性．
【解析】反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点P（1，3），
所以k＝1×3＝3＞0，
所以当x＜0时，y的值随自变量x值的增大而减小．
故答案为：减小．
17．（2020•浦东新区二模）如果点A（3，y1）、B（4，y2）在反比例函数y=2x的图象上，那么y1　＞　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】反比例函数y=2x的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
【解析】∵k＝2＞0，
∴反比例函数y=2x的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵A（3，y1）、B（4，y2）同在第一象限，且3＜4，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
18．（2020•静安区二模）如果反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣5，﹣1），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　（填“增大”或“减小”）．
【分析】利用待定系数法求出k＝5，再根据k值的正负确定函数值的增减性．
【解析】反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣5，﹣1），
所以k＝﹣5×（﹣1）＝5＞0，
所以这个函数图象所在的每个象限内，y的值随自变量x值的增大而减小．
故答案为：减小．
19．（2020•奉贤区二模）从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，那么点M在双曲线y=4x上的概率是　13　．
【分析】列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点M在双曲线y=4x上的概率．
【解析】列表如下：

1
2
4
1

（2，1）
（4，1）
2
（1，2）

（4，2）
4
（1，4）
（2，4）

所有可能的情况有6种；
落在双曲线y=4x上的点有：（1，4），（4，1）共2个，
则P=26=13．
20．（2020•嘉定区二模）函数y=12x+3的定义域是　x≠-32　．
【分析】根据题目中的函数解析式，可知2x+3≠0，从而可以求得x的取值范围．
【解析】∵函数y=12x+3，
∴2x+3≠0，
解得，x≠-32，
故答案为：-32．
21．（2020•松江区二模）函数y=1x+2的定义域是　x≠﹣2　．
【分析】根据函数y=1x+2，可知x+2≠0，从而可以求得x的取值范围．
【解析】∵函数y=1x+2，
∴x+2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠﹣2．
22．（2020•金山区二模）函数y=13-x的定义域是　x≠3　．
【分析】根据函数y=13-x，可知3﹣x≠0，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解析】∵函数y=13-x，
∴3﹣x≠0，
解得，x≠3，
故答案为：x≠3．
23．（2020•崇明区二模）如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y=kx在第一象限内的图象分别与线段AB、BC交于点F、E，连接EF．如果点B关于EF的对称点恰好落在OA边上．那么k的值为　12　．

【分析】根据A（8，0），B（8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点F的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点F的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AD的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．
【解析】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF、ED、BD，如图所示：
则△BEF≌△DEF，
∴BD＝DF，BE＝DE，∠FDE＝∠FBE＝90°，
∴∠EDG+∠ADF＝∠ADF+∠AFD，
∴∠EDG＝∠AFD，
∵∠EGD＝∠DAF，
∴△ADF∽△GED，
∴ADEG=DFDE，
∴AD：EG＝BD：BE，
∵A（8，0），B（8，4），C（0，4），
∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，
∵E、F在反比例函数y=kx的图象上，
∴E（k4，4）、F（8，k8）
∴OG＝EC=k4，AF=k8，
∴BF＝4-k8，BE＝8-k4，
∴BFBE=4-k88-k4=12=DFDE=ADEG，
∴AD=12EG＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2
即：22+（k8）2＝（4-k8）2
解得：k＝12，
故答案为12．

24．（2020•黄浦区二模）已知函数f（x）=2x2+1，那么f（-3）＝　12　．
【分析】把x＝3代入函数关系式，计算求值即可．
【解析】当x=-3时，
f（-3）=2(-3)2+1=23+1=24=12．
故答案为：12．
25．（2020•虹口区二模）函数y=x+1x的定义域为　x≥﹣1且x≠0　．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】由题意得，x+1≥0，x≠0，
解得，x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
26．（2020•闵行区一模）已知f（x）＝2x2﹣1，且f（a）＝3，那么a＝　±2　．
【分析】由已知可得f（a）＝2a2﹣1＝3，解出a即可．
【解析】∵f（x）＝2x2﹣1，f（a）＝3，
∴f（a）＝2a2﹣1＝3，
∴2a2﹣1＝3时，a＝±2，
故答案为±2．
27．（2020•静安区一模）已知f（x）=3x+1，那么f（3）＝　10　．
【分析】将x＝3代入f（x）=3x+1计算即可．
【解析】当x＝3是，f（3）=3×3+1=10，
故答案为10．
28．（2020•浦东新区二模）函数y=2x-1的定义域是　x≠1　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得自变量x的取值范围．
【解析】根据题意，有x﹣1≠0，
解可得x≠1．
故答案为x≠1．
29．（2020•浦东新区三模）已知函数f(x)=x-12-x，那么f（﹣2）＝　-34．　．
【分析】将﹣2代入已知的函数解析式即可求得函数值．
【解析】f（﹣2）=-2-12-(-2)=-34，
故答案为-34．
30．（2020•青浦区二模）函数y=x+3的定义域是　x≥﹣3　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解析】根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
31．（2020•普陀区二模）函数y=1x+1的定义域是　x≠﹣1　．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】根据题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案为x≠﹣1．
32．（2020•杨浦区二模）函数y=xx-1中自变量x的取值范围是　x＞1　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
三．解答题（共8小题）
33．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y=12x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解析】（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y=12x，
∴k=12，
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴3=12×2+b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y=12x+2；
（2）由y=12x+2，令y＝0，得12x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，y），
∵AC＝BC，
∴(2-0)2+(3-y)2=(-4-0)2+(0-y)2，
∴y=-12，
经检验：y=-12是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，-12）．
34．（2020•金山区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知函数y＝2x的图象和反比例函数的在第一象限交于A点，其中点A的横坐标是1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y＝2x平移后与y轴相交于点B，且AB＝OB，求平移后直线的解析式．

【分析】（1）利用正比例函数解析式确定A（1，2），然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）设B（0，t），利用两点间的距离公式得到t2＝12+（2﹣t）2，解方程得到B（0，54），再利用两直线平移的问题，设平移后的直线解析式为y＝2x+b，然后把B点坐标代入求出b即可．
【解析】（1）当x＝1时，y＝2x＝2，则A（1，2），
设反比例函数解析式为y=kx
把A（1，2）代入得k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x；
（2）设B（0，t），
∵OB＝AB，
∴t2＝12+（2﹣t）2，解得t=54，
∴B（0，54），
设平移后的直线解析式为y＝2x+b，
把B（0，54）代入得b=54，
∴平移后的直线解析式为y＝2x+54．

35．（2020•黄浦区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足ABBH=2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．

【分析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；
（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝2，可求点D坐标．
【解析】∵点A坐标（2，3），
∴AH＝3，
∵ABBH=2，
∴BH＝1，AB＝2，
∴点B（2，1），
设反比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥x轴，
∴点D纵坐标2，
∴点D坐标（1，2）．
36．（2020•普陀区一模）函数y=mx与函数y=xk（m、k为不等于零的常数）的图象有一个公共点A（3，k﹣2），其中正比例函数y的值随x的值增大而减小，求这两个函数的解析式．
【分析】把点A（3，k﹣2）代入y=xk，即可得出3k=k-2，据此求出k的值，再根据正比例函数y的值随x的值增大而减小，得出满足条件的k值即可求解．
【解析】根据题意可得
3k=k-2，
整理得k2﹣2k+3＝0，
解得k1＝﹣1，k2＝3，
∵正比例函数y的值随x的值增大而减小，
∴k＝﹣1，
∴点A的坐标为（3，﹣3），
∴反比例函数是解析式为：y=-9x；
正比例函数的解析式为：y＝﹣x．
37．（2020•松江区二模）如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y=3x的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求ACCB的值．

【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，得出AD∥BE，根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【解析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
又∵A（1，m）、B（n，﹣1）在反比例函数y=3x的图象上
∴m=31，-1=3n，
∴m＝3，n＝﹣3，
∴A（1，3）、B（﹣3，﹣1），
一次函数y＝kx+b的图象过A（1，3）、B（﹣3，﹣1），
∴k+b=3-3k+b=-1，
∴k=1b=2，
∴所求一次函数的解析式是y＝x+2；
（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足分别为D、E，
则AD∥BE，
∴ACBC=ADBE=13，
∴ACBC=13．

38．（2020•奉贤区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y=mx的图象于点D，求线段CD的长度．

【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，利用平行线分线段成比例得到AOOH=ABBC=1，则OH＝OA＝2，则点C的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）把C点坐标代入y=mx中求出m＝8，再利用直线解析式确定点B的坐标为（0，2），接着利用BD∥x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．
【解析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴AOOH=ABBC=1，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴OH＝OA＝2，
∵点C的纵坐标为4，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），C（2，4）代入得-2k+b=02k+b=4，解得k=1b=2，
∴直线AB的表达式y＝x+2；
（2）∵反比例函数y=mx的图象过点C（2，4），
∴m＝2×4＝8，
∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD∥x轴，
∴点D纵坐标为2，
当y＝2时，8x=2，解得x＝4，
∴点D坐标为（4，2），
∴CD=(2-4)2+(4-2)2=22．

39．（2020•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A、B，与双曲线y=mx交于点C（a，6），已知△AOB的面积为3，求直线与双曲线的表达式．

【分析】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出OA得到A点坐标为（2，0），接着把A点坐标代入y＝kx+3中求出k得到一次函数解析式为y=-32x+3，然后利用一次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数解析式．
【解析】当x＝0时，y＝kx+3＝3，则B（0，3），
∵△AOB的面积为3，
∴12×3×OA＝3，解得OA＝2，
∴A点坐标为（2，0），
把A（2，0）代入y＝kx+3得2k+3＝0，解得k=-32，
∴一次函数解析式为y=-32x+3，
把C（a，6）代入得-32a+3＝6，解得a＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
把C（﹣2，6）代入y=mx得m＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y=-12x．
40．（2020•槐荫区二模）如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y=mx图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y=mx图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．

【分析】（1）先求出点A，点C坐标，可得OA＝1，OC＝2，即可求解；
（2）由余角的性质可得∠ACO＝∠CBF，可得tan∠CBF＝tan∠ACO=CFBF=12，可求BF＝4﹣2t，即可求解；
（3）由“AAS”可证△BCF≌△AEH，可得AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，可求点D坐标，由反比例函数的性质可得（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t），可求t的值，即可求解．
【解析】（1）∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点A（﹣1，0），点C（0，2）
∴OA＝1，OC＝2，
∴tan∠ACO=OACO=12；
（2）∵四边形ACBE是矩形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACO＝∠CBF，
∵OF＝t，
∴CF＝2﹣t，
∵tan∠CBF＝tan∠ACO=CFBF=12，
∴BF＝4﹣2t，
∴点B（4﹣2t，t）；
（3）如图，连接DE，交x轴于H点，

∵DE⊥x轴，
∴∠AHE＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，
∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，
∴△BCF≌△AEH（AAS）
∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，
∵点A（﹣1，0），
∴点H（3﹣2t，0），
∴当x＝3﹣2t时，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，
∴点D坐标为（3﹣2t，8﹣4t），
∵点D，点B都在反比例函数y=mx上，
∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）
∴t1＝2（不合题意舍去），t2=65；
∴点B（65，85）
∴m=65×85=4825．