备战2021年上海中考专题16：平面向量
展开备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题16平面向量（共40题）
一．选择题（共1小题）
1．（2016•上海）已知在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD＝DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．
【解析】如图所示：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，
∴BD＝DC，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
2．（2020•上海）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设，，那么向量用向量、表示为 2 ．
【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴2，
故答案为：2．
3．（2019•上海）如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为 2 ．
【分析】连接CF．利用三角形法则：，求出即可．
【解析】连接CF．
∵多边形ABCDEF是正六边形，
AB∥CF，CF＝2BA，
∴2，
∵，
∴2，
故答案为2．
4．（2018•上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设，，那么向量用向量、表示为 2 ．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC＝BF，故AF＝2AB＝2DC，结合三角形法则进行解答．
【解析】如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB．
∴△DCE∽△FBE．
又E是边BC的中点，
∴，
∴EC＝BE，即点E是DF的中点，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴DC＝BF，故AF＝2AB＝2DC，
∴22．
故答案是：2．
5．（2017•上海）如图，已知AB∥CD，CD＝2AB，AD、BC相交于点E，设，，那么向量用向量、表示为 2 ．
【分析】根据，只要求出即可解决问题．
【解析】∵AB∥CD，
∴，
∴ED＝2AE，
∵，
∴2，
∴2．
6．（2015•上海）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，，，那么向量用向量，表示为 ．
【分析】由，，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．
【解析】∵，，
∴，
∵在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，
∴（）．
故答案为：．
一．选择题（共14小题）
1．（2020•青浦区二模）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．
【解析】∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∴AD＝3DG，
∴33，
∵3，DB＝BD，
∴262，
故选：C．
2．（2020•金山区二模）已知在△ABC中，AD是中线，设，，那么向量用向量表示为（ ）
A．22 B．22 C．22 D．
【分析】根据向量运算法则即可求出答案．
【解析】∵，
∴，
∴222，
故选：C．
3．（2020•虹口区一模）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（ ）
A．||＝|| B．∥，∥
C．0 D．2，3
【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A、该等式只能表示两、的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；
B、由∥，∥可以判定∥，故本选项不符合题意．
C、由0可以判定、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．
D、由2，3得到，，则、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．（2020•静安区一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵
∴，
故选：C．
5．（2020•宝山区一模）已知，为非零向量，如果5，那么向量与的方向关系是（ ）
A．∥，并且和方向一致
B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直
D．和之间夹角的正切值为5
【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．
【解析】∵知，为非零向量，如果5，
∴∥，与的方向相反，
故选：B．
6．（2020•普陀区一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k0
B．如果是单位向量，那么1
C．如果||＝||，那么或
D．已知非零向量，如果向量5，那么∥
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】A、如果k＝0，是非零向量，那么k0，错误，应该是k．
B、如果是单位向量，那么1，错误．应该是||＝1．
C、如果||＝||，那么或，错误．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量，如果向量5，那么∥，正确．
故选：D．
7．（2020•崇明区一模）已知为非零向量，3，2，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∥ B．||||
C．与方向相同 D．与方向相反
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】∵3，2，
∴，
∴∥，||||，与发方向相反，
∴A，B，D正确，
故选：C．
8．（2020•松江区一模）如果，3，且，下列结论正确的是（ ）
A．||＝|| B．20
C．与方向相同 D．与方向相反
【分析】由，3，推出2，，可得2，由此即可判断．
【解析】∵，3，
∴2，，
∴2，
∴与方向相反，
故选：D．
9．（2020•浦东新区一模）下列说法正确的是（ ）
A．（）＝0
B．如果和都是单位向量，那么
C．如果||＝||，那么
D．如果（为非零向量），那么∥
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】A、（）＝0，错误应该等于零向量．
B、如果和都是单位向量，那么，错误，模相等，方向不一定相同．
C、如果||＝||，那么，错误，模相等，方向不一定相同．
D、如果（为非零向量），那么∥，正确，
故选：D．
10．（2020•黄浦区一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】A、•与的模相等，方向不一定相同．故错误．
B、正确．
C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．
D、•与•的模相等，方向不一定相同，故错误．
故选：B．
11．（2020•杨浦区一模）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定∥的是（ ）
A．， B．，2 C．2 D．||＝||
【分析】根据平行向量的定义判断即可．
【解析】A、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意．
B、由，2，可以推出∥．本选项不符合题意．
C、由2，可以推出∥．本选项不符合题意．
D、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意．
故选：D．
12．（2020•嘉定区一模）如图，在平行四边形ABCD中，设，，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，OA＝OC，
∴，
∴，
故选：A．
13．（2020•奉贤区一模）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果，那么用表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由AC＝3BC，推出ABAC，由此即可解决问题．
【解析】如图，
∵AC＝3BC，
∴ABAC，
∴，
故选：D．
14．（2020•青浦区一模）已知非零向量、，且有2，下列说法中，不正确的是（ ）
A．||＝2|| B．∥
C． 与 方向相反 D．20
【分析】根据非零向量、，有2，即可推出||＝2||，∥，与方向相反，2，由此即可判断．
【解析】∵非零向量、，且有2，
∴||＝2||，∥，与方向相反，2，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D．
二．填空题（共20小题）
15．（2020•普陀区二模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设，，那么向量用向量、表示是 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明DODC即可．
【解析】∵DE∥BC，
∴，
∴BC＝3DE，
∵，
∴3，
∵△DOE∽△COB，
∴，
∴ODOCCD，
∵，
∴3，
∴，
故答案为：．
16．（2020•杨浦区二模）在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC的重心，如果，，那么 ．（用、表示）
【分析】由DE∥BC推出AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，推出DEBC，求出即可解决问题．
【解析】如图设G是重心，作中线AF．
∵DE∥BC，
∴AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，
∴DEBC，
∵，
∴，
∴（）
故答案为：．
17．（2020•虹口区二模）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知，，那么用，表示 2 ．
【分析】利用三角形法则可知：，求出，即可解决问题．
【解析】∵AD是中线，
∴BD＝DC，
∵DE∥AB，
∴AE＝EC，
∴AB＝2DE，
∴2，
∵，，
∴2，
故答案为：2．
18．（2020•松江区二模）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝3AD，如果，，那么 2 （用，表示）．
【分析】根据，只要求出即可解决问题．
【解析】∵AD∥BC，BC＝3AD，
∴33，
∵，
∴32，
故答案为2．
19．（2020•徐汇区二模）如图，在△ABC中，点D在边AC上，已知△ABD和△BCD的面积比是2：3，，那么向量（用向量表示）是 ．
【分析】利用三角形法则可知：，求出即可解决问题．
【解析】∵△ABD和△BCD的面积比是2：3，
∴AD：DC＝2：3，
∴ADAC，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
20．（2020•奉贤区二模）已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点．设，，那么 ．（结果用、表示）．
【分析】由三角形法则可知：，只要求出，即可解决问题．
【解析】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC
∴，
∵E是AB的中点，
∴AEAB，
∵，
∴，
故答案为：．
21．（2020•黄浦区二模）如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设，，那么用，表示为 ．
【分析】利用三角形法则可知：，只要求出即可解决问题．
【解析】∵M是AB的中点，
∴AMAB，
∴，
∵，
∴，
故答案为，
22．（2020•浦东新区二模）已知向量与单位向量的方向相反，||＝3，那么向量用单位向量表示为 ﹣3 ．
【分析】根据向量的定义，确定模的大小，以及方向即可．
【解析】∵向量与单位向量的方向相反，||＝3，
∴3，
故答案为﹣3．
23．（2020•静安区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AB＝4AD，设，，那么向量用向量、表示为 ．
【分析】利用三角形法则：求解即可．
【解析】∵AB＝4AD，
∴ADAB，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
24．（2020•长宁区二模）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，，，那么 ．（用含向量，的式子表示）
【分析】利用三角形法则可知：，求出即可解决问题．
【解析】∵AD＝2DC，
∴ADAC，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
25．（2020•闵行区二模）如果向量与向量方向相反，且，那么 ．
【分析】根据共线向量的定义解答．
【解析】∵向量与向量方向相反，且，
∴．
∴．
故答案是：．
26．（2020•宝山区二模）如果在平行四边形ABCD中，如果，，那么向量为 ．（用和表示）
【分析】根据平面向量的平行四边形法则即可写出答案．
【解析】如图，．
故答案是：．
27．（2020•闵行区一模）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ．
【分析】如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题．
【解析】如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．
∵AD＝DE，BD＝CD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
28．（2020•虹口区一模）如果向量、、满足关系式23（）＝0，那么用向量、表示向量 ．
【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案．
【解析】∵23（）＝0，
∴2330，
∴323
∴．
故答案是：．
29．（2020•黄浦区一模）计算：2（32）+（2）＝ ﹣34 ．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解析】2（32）+（2）＝64234，
故答案为﹣34．
30．（2020•宝山区一模）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果，那么 x （用表示）．
【分析】首先证明AD＝2CD，推出CDAC即可解决问题．
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，DB＝2DC，
∴AD＝2DC，
∴CDAC，
∴，
故答案为．
31．（2020•闵行区一模）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么 ﹣6 ．
【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．
【解析】∵为单位向量，与的方向相反，且长度为6，
∴6，
故答案为﹣6．
32．（2020•金山区一模）计算：2（2）+3（）＝ 5 ．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解析】：2（2）+3（）＝24335，
故答案为5．
33．（2020•奉贤区一模）若与单位向量方向相反，且长度为3，则 ﹣3 （用单位向量表示向量）．
【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．
【解析】∵与单位向量方向相反，且长度为3，
∴3，
故答案为﹣3．
34．（2020•松江区一模）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，且AD＝2DC，如果，，那么向量关于、的分解式是 ．
【分析】利用三角形法则：求解即可．
【解析】∵AD＝2CD，
∴，
∵，，
∴，
故答案为．
