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数学选择性必修 第一册1.2.4 二面角精品课后测评
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这是一份数学选择性必修 第一册1.2.4 二面角精品课后测评，共12页。试卷主要包含了故选C，设平面A1ED的法向量为=,等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为( )
A.150°B.45°C.60°D.120°
【答案】C
【解析】由条件知,CA·AB=0,AB·BD=0, CD=CA+AB+BD.
∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=62+42+82+2×6×8cs
=(217)2,∴cs=-12,即=120°,∴二面角的大小为60°,故选C.
2．（2020江西南昌二中高二月考（理））从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是,则二面角B－PA－C的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图，在射线上分别取点，使，则在三棱锥中，所有的棱长都等于1．取的中点M，连MB,MC，则有，
，故即为二面角B－PA－C的平面角．在中，，由余弦定理得，即二面角B－PA－C的余弦值为．选C．
3.(2020福建莆田一中高二期中)如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,则AEEC'=( )
A.12B.66C.22D.63
【答案】C
【解析】取BD的中点O,连接AO,EO,C 'O,
∵菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,
∴C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,∴BD⊥平面AOC',
∴EO⊥BD,∵二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,
∴∠AOE=30°,∠EOC'=45°,
∵OC'=OA,∴∠OC'E=∠OAE,
由正弦定理得OEsin∠OC'E=EC'sin∠EOC', OEsin∠OAE=AEsin∠AOE,
∴EC'sin∠EOC'=AEsin∠AOE,
∴AEEC'=sin30°sin45°=1222=22.故选C.
4．（2020·浙江省高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，直三棱柱的底面为锐角三角形，是棱的中点，
设三棱柱是棱长为的正三棱柱，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，直线与直线所成的角为，，
，直线与平面所成的角为，，
平面的法向量，，，
设平面的法向量，则，取，得，二面角的平面角为，由图可知，为锐角，即，
，，由于在区间上单调递减，，则.故选：A.
5.（多选题）（2020·江西景德镇高二期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度可能为（ ）
A．1B．5C．9D．13
【答案】BC
【解析】由于与都是等边三角形，且边长为，故高为.当和趋向于时，，如下图所示.
当和趋向于时，，如下图所示.
所以的取值范围是.故选：BC
6．（多选题）（2020福建三明一中高二期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面平面
C．面AEFD．二面角的大小为
【答案】BC
【解析】解：由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，则不垂直于，则选项不正确；连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，则平面平面，所以选项正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，
则各点坐标如下：
，设平面的法向量为，则，即，令，得，得平面的法向量为，所以，所以平面，则选项正确；由图可知，平面，所以是平面的法向量，则.得知二面角的大小不是，所以不正确.故选：BC.
二、填空题
7．（2020·浙江省绍兴市阳明中学高二期中）如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.
【答案】；
【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：
则，所以，
设异面直线、所成角的大小为，所以，
因为，所以.又，设平面的一个法向量为：，
则，即，令，则，
平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，
所以.故答案为：①；②
8．（2020全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,-2),=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为=(x,y,z),
则则令y=1,得=(2,1,2).
易知平面ABCD的法向量为=(0,0,1),则cs<>=.
9.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a= .
【答案】125.
【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则-3x+4y=0,-3x+az=0,
即3x=4y=az,取z=1,则x=a3,y=a4,∴m=a3,a4,1.由题意得|cs|=1a29+a216+1=22.
又因为a>0,所以a=125.
10.．（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，在四面体中，，.若为线段上的动点（不包含端点），则二面角的余弦值取值范围是__________．
【答案】
【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，所以平面的一个法向量为，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即二面角的余弦值的取值范围是.
三、解答题
11．（2020·江苏省西亭高级中学高二）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，，，.
（1）求异面直线BC，DF所成角的大小；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】因为四边形为正方形，所以平面
又所以，在平面内作，垂足为点O，
以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐
标系（如图所示）.设OF=a，因为所以
（1）点D的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为
点C的坐标为.则，
设向量的夹角为，则，所以异面直线BC，DF所成角为
（3）点E的坐标为，
设平面DBE的法向量为，由得，取得平面DBE的一个法向量为，设平面CBE的法向量为，由得，取得平面DBE的一个法向量为，
设两个法向量的夹角为，则
由于二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
若二面角P-AC-E的余弦值为33,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【解析】如图,作CF∥DA,交AB于点F,以C为原点,CF,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).
设P(0,0,a)(a>0),则E12,-12,a2,
CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=12,-12,a2,
取m=(1,-1,0),则m·CA=m·CP=0,所以m为平面PAC的一个法向量.
设n=(x,y,z)为平面EAC的一个法向量,则n·CA=0,n·CE=0,即x+y=0,x-y+az=0,取x=a,
可得n=(a,-a,-2),
依题意,|cs|=|m·n||m||n|=2a2·2a2+4=33,
则a=1(负值舍去).
于是n=(1,-1,-2),PA=(1,1,-1).
设直线PA与平面EAC所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=23,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.
一、选择题
1.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为( )
A.150°B.45°C.60°D.120°
【答案】C
【解析】由条件知,CA·AB=0,AB·BD=0, CD=CA+AB+BD.
∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=62+42+82+2×6×8cs
=(217)2,∴cs
2．（2020江西南昌二中高二月考（理））从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是,则二面角B－PA－C的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图，在射线上分别取点，使，则在三棱锥中，所有的棱长都等于1．取的中点M，连MB,MC，则有，
，故即为二面角B－PA－C的平面角．在中，，由余弦定理得，即二面角B－PA－C的余弦值为．选C．
3.(2020福建莆田一中高二期中)如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,则AEEC'=( )
A.12B.66C.22D.63
【答案】C
【解析】取BD的中点O,连接AO,EO,C 'O,
∵菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,
∴C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,∴BD⊥平面AOC',
∴EO⊥BD,∵二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,
∴∠AOE=30°,∠EOC'=45°,
∵OC'=OA,∴∠OC'E=∠OAE,
由正弦定理得OEsin∠OC'E=EC'sin∠EOC', OEsin∠OAE=AEsin∠AOE,
∴EC'sin∠EOC'=AEsin∠AOE,
∴AEEC'=sin30°sin45°=1222=22.故选C.
4．（2020·浙江省高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，直三棱柱的底面为锐角三角形，是棱的中点，
设三棱柱是棱长为的正三棱柱，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，直线与直线所成的角为，，
，直线与平面所成的角为，，
平面的法向量，，，
设平面的法向量，则，取，得，二面角的平面角为，由图可知，为锐角，即，
，，由于在区间上单调递减，，则.故选：A.
5.（多选题）（2020·江西景德镇高二期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度可能为（ ）
A．1B．5C．9D．13
【答案】BC
【解析】由于与都是等边三角形，且边长为，故高为.当和趋向于时，，如下图所示.
当和趋向于时，，如下图所示.
所以的取值范围是.故选：BC
6．（多选题）（2020福建三明一中高二期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面平面
C．面AEFD．二面角的大小为
【答案】BC
【解析】解：由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，则不垂直于，则选项不正确；连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，则平面平面，所以选项正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，
则各点坐标如下：
，设平面的法向量为，则，即，令，得，得平面的法向量为，所以，所以平面，则选项正确；由图可知，平面，所以是平面的法向量，则.得知二面角的大小不是，所以不正确.故选：BC.
二、填空题
7．（2020·浙江省绍兴市阳明中学高二期中）如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.
【答案】；
【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：
则，所以，
设异面直线、所成角的大小为，所以，
因为，所以.又，设平面的一个法向量为：，
则，即，令，则，
平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，
所以.故答案为：①；②
8．（2020全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,-2),=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为=(x,y,z),
则则令y=1,得=(2,1,2).
易知平面ABCD的法向量为=(0,0,1),则cs<>=.
9.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a= .
【答案】125.
【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则-3x+4y=0,-3x+az=0,
即3x=4y=az,取z=1,则x=a3,y=a4,∴m=a3,a4,1.由题意得|cs
又因为a>0,所以a=125.
10.．（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，在四面体中，，.若为线段上的动点（不包含端点），则二面角的余弦值取值范围是__________．
【答案】
【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，所以平面的一个法向量为，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即二面角的余弦值的取值范围是.
三、解答题
11．（2020·江苏省西亭高级中学高二）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，，，.
（1）求异面直线BC，DF所成角的大小；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】因为四边形为正方形，所以平面
又所以，在平面内作，垂足为点O，
以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐
标系（如图所示）.设OF=a，因为所以
（1）点D的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为
点C的坐标为.则，
设向量的夹角为，则，所以异面直线BC，DF所成角为
（3）点E的坐标为，
设平面DBE的法向量为，由得，取得平面DBE的一个法向量为，设平面CBE的法向量为，由得，取得平面DBE的一个法向量为，
设两个法向量的夹角为，则
由于二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
若二面角P-AC-E的余弦值为33,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【解析】如图,作CF∥DA,交AB于点F,以C为原点,CF,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).
设P(0,0,a)(a>0),则E12,-12,a2,
CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=12,-12,a2,
取m=(1,-1,0),则m·CA=m·CP=0,所以m为平面PAC的一个法向量.
设n=(x,y,z)为平面EAC的一个法向量,则n·CA=0,n·CE=0,即x+y=0,x-y+az=0,取x=a,
可得n=(a,-a,-2),
依题意,|cs
则a=1(负值舍去).
于是n=(1,-1,-2),PA=(1,1,-1).
设直线PA与平面EAC所成的角为θ,
则sin θ=|cs
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.
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