人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量精品测试题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量精品测试题，共8页。

一、选择题


1．（2020福建三明三中高二期末（理））如图，在正方体ABCD­中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )





A．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)


C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)


【答案】B


【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），


∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）,设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量


则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2,∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量,因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B．


2．（2020北京高二期末）已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的( )


A．充分不必要条件B．必要不充分条件


C．充要条件D．既不充分也不必要条件


【答案】B


【解析】,,,即,不一定有∥,也可能


“”是“∥”的不充分条件,∥,可以推出,“”是“∥”是必要条件,综上所述, “”是“∥”必要不充分条件.故选:B.


3.(2020银川一中高二月考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则( )





A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC


C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面


【答案】B


【解析】建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),E(13,0,13 ) ,F(23,13,0 ) ,EF=( 13,13,-13 )


,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又BD1=(-1,-1,1),∴BD1=-3EF,即EF与BD1平行.


4．（2020浙江高二月考）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ）





A．B．C．D．


【答案】B


【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，





，，


设平面的法向量，则，取，得，


设，则，∵平行于平面，∴，整理得，∴线段长度，当且仅当时，线段长度取最小值.故选：B.


5.（多选题）（2020怀仁市一中高二期末）已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量可能是（ ）


A．(1,－4,2)B．C．D．(0,－1,1)


【答案】ABC


【解析】由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，


而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-，1，−）=0，（0，2，4）（-，1，−）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．


6．（多选题）（2020全国高二课时练）在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是( )


A.PA·AB=0B.PC·BD=0 C.PC·AB=0D.PA·CD=0


【答案】ABD


【解析】∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC⊂平面PAC,


∴PC⊥BD.故ABD成立.


二、填空题


7．（2020广西壮族自治区高二月考）在平面中，，，，若


，且为平面的法向量，则_______， .


【答案】1；0


【解析】，，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量=（﹣1，y，z），且为平面ABC的法向量，则⊥且⊥，即•=0，且•=0，即﹣1+y+0=0且1﹣y﹣2z=0，即.


8.在空间直角坐标系中，已知三点，，，若向量与平面垂直，且，则的坐标为________．


【答案】或


【解析】由A，，，可得，


设，根据题意可得，可得，解得或.


所以或.


9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为 .





【答案】12.


【解析】如图,建立分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系.





设AB=a,P(0,0,b),则A(0,0,0),B1(a,0,1),D(0,1,0),Ea2,1,0.于是AB1=(a,0,1), AE=a2,1,0, DP=(0,-1,b).


∵DP∥平面B1AE,∴存在实数λ,μ,使DP=λAB1+μAE,即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μa2,1,0=λa+μa2,μ,λ.


∴λa+μa2=0,μ=-1,λ=b,∴b=λ=12,即AP=12.


10.（2020江西九江五中高二月考）如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 .





【答案】2


【解析】以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),


设Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).





由PQ·QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即a=2时,点Q只有一个.


三、解答题


11.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.


【解析】以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.





根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则M12a,b,0.


又PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),


使得PM=mDB+nDD1,即12a,b-y,-z=(ma,mb,nc),


即12a=ma,b-y=mb,-z=nc,解得m=12,y=12b,z=-nc,n∈R,


则点P的坐标为0,b2,-nc.


所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.


12.（2020福建莆田一中高二月考）如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.


求证:(1)BC1⊥AB1;


(2)BC1∥平面CA1D.





【解析】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.





设AC=BC=BB1=2,


则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).


(1)因为BC1=(0,-2,-2),AB1=(-2,2,-2),


所以BC1·AB1=0-4+4=0,


因此BC1⊥AB1,故BC1⊥AB1.


(2)由于CA1=(2,0,-2),CD=(1,1,0),


若设BC1=xCA1+yCD,则得2x+y=0,y=-2,-2x=-2,解得x=1,y=-2,


即BC1=CA1-2CD,所以BC1,CA1,CD是共面向量,因此BC1∥平面CA1D.