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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质精品练习题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质精品练习题，共6页。试卷主要包含了故选A， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2020·江苏省江浦高级中学月考）过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【解析】设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，将点代入可得，故抛物线的标准方程是；设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，将点代入可得，故抛物线的标准方程是．综上可知，过点的抛物线的标准方程是或．故选：C.
2．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4B.5C.6D.7
【答案】A
【解析】由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,
则P(3,±23),∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
3.（2020·广西南宁二中高二月考）已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过向轴作垂线，设垂足为，∵，，∴，，，将点的坐标代入，得，故的方程为.
4．（2020·河南洛阳高二月考）已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（ ）
A．3B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】由题得，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点到轴的距离比它到准线的距离小3，于是得，所以．
5．（多选题）（2020·全国高二课时练）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB．
6. （多选题）（2020·江苏徐州高二月考）已知抛物线C：y2＝2px (p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为y＝1B．线段PQ长度的最小值为4
C．M的坐标可能为(3，2)D．＝－3
【答案】BCD
【解析】焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A错误；当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，当m=1时，可得M(3，2)，则选项C正确；又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；故选：BCD
二、填空题
7．（2020·重庆市广益中学校高二期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为__________.
【答案】
【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线
的方程为：.
8.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为_________.
【答案】32
【解析】由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12,∵AB垂直于x轴,|AB|=22,A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,代入抛物线y2=2x,求得x=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32.
9．（2020·青海高二期末）已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是 .
【答案】3
【解析】因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,其值为3.
10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
【答案】6
【解析】抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23-y23=1得|x|=3+p24.要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=3+p24p=33,解得p2=36,p=6.
三、解答题
11. （2020·全国高二课时练）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
12.（2020·江苏宝应中学月考）已知二次曲线的方程为.其中.
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若抛物线与共焦点，求抛物线上的动点到点的最小值.
【解析】（1）二次曲线表示椭圆，则，解得，
二次曲线表示双曲线，则，且，解得，
所以当时，二次曲线表示椭圆；当时，二次曲线表示双曲线.
（2）抛物线的焦点为，
由（1）知，当表示椭圆时，显然有，
当表示双曲线时，显然有，
所以的右焦点恒为，故，
所以抛物线方程为，
设抛物线L上的动点，
则，
令，二次函数对称轴为：，即
，
当时，即当时，取最小值为；
当时，即当时，
取最小值为，
所以.
一、选择题
1．（2020·江苏省江浦高级中学月考）过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【解析】设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，将点代入可得，故抛物线的标准方程是；设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，将点代入可得，故抛物线的标准方程是．综上可知，过点的抛物线的标准方程是或．故选：C.
2．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4B.5C.6D.7
【答案】A
【解析】由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,
则P(3,±23),∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
3.（2020·广西南宁二中高二月考）已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过向轴作垂线，设垂足为，∵，，∴，，，将点的坐标代入，得，故的方程为.
4．（2020·河南洛阳高二月考）已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（ ）
A．3B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】由题得，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点到轴的距离比它到准线的距离小3，于是得，所以．
5．（多选题）（2020·全国高二课时练）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB．
6. （多选题）（2020·江苏徐州高二月考）已知抛物线C：y2＝2px (p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为y＝1B．线段PQ长度的最小值为4
C．M的坐标可能为(3，2)D．＝－3
【答案】BCD
【解析】焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A错误；当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，当m=1时，可得M(3，2)，则选项C正确；又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；故选：BCD
二、填空题
7．（2020·重庆市广益中学校高二期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为__________.
【答案】
【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线
的方程为：.
8.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为_________.
【答案】32
【解析】由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12,∵AB垂直于x轴,|AB|=22,A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,代入抛物线y2=2x,求得x=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32.
9．（2020·青海高二期末）已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是 .
【答案】3
【解析】因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,其值为3.
10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
【答案】6
【解析】抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23-y23=1得|x|=3+p24.要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=3+p24p=33,解得p2=36,p=6.
三、解答题
11. （2020·全国高二课时练）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
12.（2020·江苏宝应中学月考）已知二次曲线的方程为.其中.
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若抛物线与共焦点，求抛物线上的动点到点的最小值.
【解析】（1）二次曲线表示椭圆，则，解得，
二次曲线表示双曲线，则，且，解得，
所以当时，二次曲线表示椭圆；当时，二次曲线表示双曲线.
（2）抛物线的焦点为，
由（1）知，当表示椭圆时，显然有，
当表示双曲线时，显然有，
所以的右焦点恒为，故，
所以抛物线方程为，
设抛物线L上的动点，
则，
令，二次函数对称轴为：，即
，
当时，即当时，取最小值为；
当时，即当时，
取最小值为，
所以.
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