2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第06章 第1讲　平面向量的概念及线性运算

[基础题组练]

1．(多选)下列命题正确的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a＝b

B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件

C．若a＝b，b＝c，则a＝c

D．若a∥b，b∥c，则a∥c

解析：选BC．A不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

B正确，由＝得||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且方向相同，且||＝||，因此＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

C正确，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

D不正确，当b＝0时不成立．

2．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)

A．－4e1－2e2  B．－2e1－4e2

C．e1－3e2  D．3e1－e2

解析：选C．结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.

3．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)

A．点P在线段AB上  B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上  D．点P在△ABC外部

解析：选C．由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．

4．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝(　　)

A．－2  B．－

C．－   D．

解析：选A．＝＋＝＋＝－＋＝AB－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.

5．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选CD．因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即≠0，因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α可为或.

6．已知平面内四点A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．

解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.

答案：

7．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．

解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3<||<13.综上可知3≤||≤13.

答案：[3，13]

8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.

其中正确命题的个数为________．

解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；

＝＋＝a＋b，故②正确；

＝(＋)＝(－a＋b)

＝－a＋b，故③正确；

所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．

所以正确命题的序号为②③④.

答案：3

9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

解：＝(＋)＝a＋b；

＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.

10．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.

(1)用a，b表示；

(2)证明：A，M，C三点共线．

解：(1)＝＋＋

＝a＋b＋＝a＋b，

又E为AD中点，

所以＝＝a＋b，

因为EF是梯形的中位线，且＝2，

所以＝(＋)＝＝a，

又M，N是EF的三等分点，

所以＝＝a，

所以＝＋＝a＋b＋a

＝a＋b.

(2)证明：由(1)知＝＝a，

所以＝＋＝a＋b＝，

又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．

[综合题组练]

1.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选C．通解：因为＝，所以＝.

设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，　

又＝t＋，

所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C．

优解：因为＝，

所以＝，

所以＝t＋＝t＋，

因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，

故选C．

2.(创新型)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(　　)

A．①②  B．②④

C．①③  D．③⑤

解析：选B．在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF<OB，所以＋的终点不在阴影区域内，排除选项D．

3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是________．

解析：因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.

答案：

4．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．

解析：＝x＋3y，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]．

答案：[1，3]

5．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．

解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，

＝－＝nb－ma，

＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.

由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，

即nb－ma＝λa＋λb，

则消去λ，得＋＝3.

6．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

证明：(1)若m＋n＝1，

则＝m＋(1－m)

＝＋m(－)，

所以－＝m(－)，

即＝m，所以与共线．

又因为与有公共点B，

所以A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，

则存在实数λ，使＝λ，所以－＝λ(－)．

又＝m＋n.

故有m＋(n－1)＝λ－λ，

即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.

因为O，A，B不共线，所以，不共线，

所以所以m＋n＝1.