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数学八年级上册2 一次函数与正比例函数教学设计
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这是一份数学八年级上册2 一次函数与正比例函数教学设计，共8页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教具准备，教学流程，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、教材分析
1、教学内容
《正比例函数的图象》是义务教育课程标准教科书北师大版八年级上册《一次函数》第三节第1课时的教学内容。
2、教材的地位和作用
函数是中学数学中非常重要的内容，是刻画和研究世界变化规律的重要模型，正比例函数是一次函数的特例，也是初中数学中的一种最简单的最基本的函数，努力上好正比例函数才能为后续函数的学习打下基础，因此本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，为此在教学中通过生活实际，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣。
3、教学重点、难点
教学重点：用描点法作正比例函数的图象
（描点法作函数图象是研究一切函数的基础，掌握正比例函数图象的作法给后续研究函数提供了探究的方法和路径，所以将此设为重点。）
教学难点：通过作图归纳正比例函数图象的性质。
二、学情分析
八年级学生已经在七年级学习了“变量之间的关系”，在八年级上册第三章学习了“位置与坐标”，对利用图形表示变量之间的关系已经有所认识，也能够熟练的进行描点和写出点的坐标，并能够从图象中获取相关的信息。兴趣是学生最好的老师，但这个学段的学生大部分正在艰难地由形象思维朝抽象思维发展，学生容易产生畏难情绪，这就需要多对学生进行鼓励、表扬，以激发学生的学习兴趣。
三、教学目标
1、知识目标
（1）理解函数图象的概念。
（2）经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。
（3）理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
（4）能较熟练作出一次函数的图象。
2、能力目标
（1）已知解析式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力。
（2）在探究活动中发展学生的合作意识和能力。
3、情感目标
（1）经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，发展学生的总结概括能力。
（2）加强新旧知识的联系，促进学生新的认知结构的建构。
四、教具准备
计算机多媒体课件，几何画板课件
五、教学流程
六、教学过程
1、复习引入、温顾知新
（1）平面直角坐标系（大屏幕显示答案）：
直角坐标平面内任意一点都有唯一确定的坐标（x，y）与之对应，反过来，以任意给定的一对有序数对（x，y）为坐标，都可以在直角坐标平面内确定一个点。
注：坐标轴上的点不属于任何一个象限
（2）正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。给以个x值，就有唯一的y值，也隐含了一对有序实数对（x，y）
引入课题：那么能不能将正比例函数中隐含的有序实数对于平面直角坐标系结合起来呢？今天我们就来体会初中数学中最重要的一种数学方法，数形结合的数学思想。正所谓：数无形时少直观，我们一起来研究正比例函数的图象吧。
2、自主学习，明晰概念
（1）自主阅读课本83页第一段，了解什么是函数的图象
函数的图象 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
假设在代数表达式y=2x中，自变量x取1时，对应的因变量y=2，则我们可在直角坐标系内描出表示（1，2）的点，再给x的另一个值，对应又一个y，又可知道直角坐标系内描出另一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y=2x的图象，由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合。
（2）自主学习83页例1
例1：作出正比例函数y=2x的图象
解：列表：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。（教师几何画板展示）
连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象，它是一条直线。
小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
【设计意图】通过学生自主学习使学生了解作正比例函数图象的步骤，培养学生自主学习的能力。
3、数形结合、动手画图
活动一：做一做
（1）在同一直角坐标系中作出正比例函数y=3x和y=-3x的图象，
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-3x。
解：（1）列表：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=3x的图象，它是一条直线。
【设计意图】是对画函数图象的复习，是正比例函数图象及性质得以继续研究的保障。让学生独立画图，体会正比例函数的图形是直线，同时感受正比例函数系数的变化对函数图象的影响，以利于性质的总结。
4、合作探究、总结归纳
活动二：议一议
大家看到的y=2x，y=3x，y=-3x的图象都是一条直线，我也明确的告诉大家，正比例函数的图象的确是一条直线，这只是我们只是用肉眼看到的，我们还需要验证。
（1）满足关系式y=2x的x、y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=2x的图象上吗？
（2）正比例函数y=2x的图象上的点（x,y）都满足关系式y=2x吗？
（3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
（4）作正比例函数图象需要找几个点就可以啦？问什么？
请大家分组讨论，然后回答。
（1）满足关系式y=2x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=2x的图象上。
（2）正比例函数y=2x的图象上的点（x,y）都满足关系式y=2x。
由此看来，满足函数关系式y=2x的x,y所对应的点（x,y）都在正比例函数y=2x的图象上；反过来，正比例函数y=2x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=2x。
所以，正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x，纵坐标y都满足正比例函数的代数表达式。
小结：正比例函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作正比例函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，我们也知道正比例函数的图象是经过原点（0,0）的一条直线，那么我们做正比例函数的图象是只需要找另外一点就可以了，（1，k）正比例函数y=kx的图象也称为直线y=kx。
X轴也是直线，可以表示成y=0; y轴可以表示成x=0；垂直于x轴的直线可以表示成x=a;垂直于y轴的直线可以表示成y=b。
活动五：作函数图形
（1）请大家快速在同一直角坐标系中做出下边几个正比例函数的图形
观察： K （>,<）0，图象经过第 ， 象限，y随着x的增大而 （增大，减小）,y=x，y=3x都是y随x的增大而增大，大家思考哪个增加的更快，你能说明其中的道理吗？
（2）请大家快速在同一直角坐标系中做出下边几个正比例函数的图形
观察： K （>,<）0，图象经过第 ， 象限，y随着x的增大而 （增大，减小）y=-x，y=-3x都是y随x的增大而减小，大家思考哪个减小的更快，你能说明其中的道理吗？
分别观察下列函数的图象：
y=0.3x 和y=-0.3x
y=0.5x 和 y=-0.5x
y=x 和y=-x
y=2x 和y=-2x
y=3x 和 y=-3x
你能得出什么结论？他们的k值互为相反数，他们的图象关于x轴对称。
归纳总结
正比例函数的图象是进过原点（0,0）的直线，作正比例函数图象是找出另外一点就可以了；K >0时，图象经过第一，三象限，y随着x的增大而增大；K <0时，图象经过第二，四象限，y随着x的增大而减小；函数值的增减速度与k值有关，|k|越大，y随x的变化越快。
【设计意图】让学生经历探究的过程，培养学生的探究能力和归纳能力，以及探究的方法。
5、课堂检测、巩固提升
（1）三个正比例函数的图像对应的解析式分别是①y=ax；②y=bx；
③y=cx.它们的图像如图所示， 则a、b、c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c B. c＞b＞a C. b＞a＞c D. b＞c＞a
（2）点A(-2，a)，B（0.5，b）在正比例函数y=-2x的图像上，试比较a、b的大小。
（3）已知点A（x1,y1）和B（x2,y2）都在直线y=-2x上，如果y1＞y2，则x1与x2的关系是（）
A. x1≥x2 B. x1=x2 C. x1＜x2 D. x1＞x2
（4）y=(2m-1)x的图像上有两点A(-1, y1)、B(3, y2), 且y1＞y2，则m的取值围是（）
A. m＜2 B. m＞ 12 C. m＜0 D. m＞0
（5）已知点P（x，y）在正比例函数y=3x图像上。A（-2,0）和B（4,0），S△PAB =12. 求P的坐标。
6、收获交流
通过对本节课的学习，你有什么收获呢？梳理一下和大家进行交流。
7、课后作业
课本第85页1、2、3、4题。
教学反思：首先我觉得这节课上的还是比较成功的，教学目标达成，通过本节课的学习，学生掌握了什么是函数图象，作函数图象的步骤和研究函数的方法，体会了数形结合的魅力。掌握了正比例函数图象的作法和性质，并能通过性质解决相关问题。另一个亮点是本节课我采用了几何画板课件，教学直观，变化多样，给学生提供了更多的探究的素材。当然，本节课还有许多不足，比如在调动学生积极性上做的不足；调动学生积极性的方法还不够灵活。教师演示的多，学生动手的少。如果能让学生动手用几何画板来探究，然后让学生去归纳总结，这样我觉得会更好。x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x
…
-4
-2
0
2
4
…
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=3x
…
-6
-3
0
3
6
…
y=-3x
…
6
3
0
-3
-6
…
一、教材分析
1、教学内容
《正比例函数的图象》是义务教育课程标准教科书北师大版八年级上册《一次函数》第三节第1课时的教学内容。
2、教材的地位和作用
函数是中学数学中非常重要的内容，是刻画和研究世界变化规律的重要模型，正比例函数是一次函数的特例，也是初中数学中的一种最简单的最基本的函数，努力上好正比例函数才能为后续函数的学习打下基础，因此本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，为此在教学中通过生活实际，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣。
3、教学重点、难点
教学重点：用描点法作正比例函数的图象
（描点法作函数图象是研究一切函数的基础，掌握正比例函数图象的作法给后续研究函数提供了探究的方法和路径，所以将此设为重点。）
教学难点：通过作图归纳正比例函数图象的性质。
二、学情分析
八年级学生已经在七年级学习了“变量之间的关系”，在八年级上册第三章学习了“位置与坐标”，对利用图形表示变量之间的关系已经有所认识，也能够熟练的进行描点和写出点的坐标，并能够从图象中获取相关的信息。兴趣是学生最好的老师，但这个学段的学生大部分正在艰难地由形象思维朝抽象思维发展，学生容易产生畏难情绪，这就需要多对学生进行鼓励、表扬，以激发学生的学习兴趣。
三、教学目标
1、知识目标
（1）理解函数图象的概念。
（2）经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。
（3）理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
（4）能较熟练作出一次函数的图象。
2、能力目标
（1）已知解析式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力。
（2）在探究活动中发展学生的合作意识和能力。
3、情感目标
（1）经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，发展学生的总结概括能力。
（2）加强新旧知识的联系，促进学生新的认知结构的建构。
四、教具准备
计算机多媒体课件，几何画板课件
五、教学流程
六、教学过程
1、复习引入、温顾知新
（1）平面直角坐标系（大屏幕显示答案）：
直角坐标平面内任意一点都有唯一确定的坐标（x，y）与之对应，反过来，以任意给定的一对有序数对（x，y）为坐标，都可以在直角坐标平面内确定一个点。
注：坐标轴上的点不属于任何一个象限
（2）正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。给以个x值，就有唯一的y值，也隐含了一对有序实数对（x，y）
引入课题：那么能不能将正比例函数中隐含的有序实数对于平面直角坐标系结合起来呢？今天我们就来体会初中数学中最重要的一种数学方法，数形结合的数学思想。正所谓：数无形时少直观，我们一起来研究正比例函数的图象吧。
2、自主学习，明晰概念
（1）自主阅读课本83页第一段，了解什么是函数的图象
函数的图象 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
假设在代数表达式y=2x中，自变量x取1时，对应的因变量y=2，则我们可在直角坐标系内描出表示（1，2）的点，再给x的另一个值，对应又一个y，又可知道直角坐标系内描出另一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y=2x的图象，由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合。
（2）自主学习83页例1
例1：作出正比例函数y=2x的图象
解：列表：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。（教师几何画板展示）
连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象，它是一条直线。
小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
【设计意图】通过学生自主学习使学生了解作正比例函数图象的步骤，培养学生自主学习的能力。
3、数形结合、动手画图
活动一：做一做
（1）在同一直角坐标系中作出正比例函数y=3x和y=-3x的图象，
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-3x。
解：（1）列表：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=3x的图象，它是一条直线。
【设计意图】是对画函数图象的复习，是正比例函数图象及性质得以继续研究的保障。让学生独立画图，体会正比例函数的图形是直线，同时感受正比例函数系数的变化对函数图象的影响，以利于性质的总结。
4、合作探究、总结归纳
活动二：议一议
大家看到的y=2x，y=3x，y=-3x的图象都是一条直线，我也明确的告诉大家，正比例函数的图象的确是一条直线，这只是我们只是用肉眼看到的，我们还需要验证。
（1）满足关系式y=2x的x、y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=2x的图象上吗？
（2）正比例函数y=2x的图象上的点（x,y）都满足关系式y=2x吗？
（3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
（4）作正比例函数图象需要找几个点就可以啦？问什么？
请大家分组讨论，然后回答。
（1）满足关系式y=2x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=2x的图象上。
（2）正比例函数y=2x的图象上的点（x,y）都满足关系式y=2x。
由此看来，满足函数关系式y=2x的x,y所对应的点（x,y）都在正比例函数y=2x的图象上；反过来，正比例函数y=2x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=2x。
所以，正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的点在图象上，图象上的每一点的横坐标x，纵坐标y都满足正比例函数的代数表达式。
小结：正比例函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作正比例函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，我们也知道正比例函数的图象是经过原点（0,0）的一条直线，那么我们做正比例函数的图象是只需要找另外一点就可以了，（1，k）正比例函数y=kx的图象也称为直线y=kx。
X轴也是直线，可以表示成y=0; y轴可以表示成x=0；垂直于x轴的直线可以表示成x=a;垂直于y轴的直线可以表示成y=b。
活动五：作函数图形
（1）请大家快速在同一直角坐标系中做出下边几个正比例函数的图形
观察： K （>,<）0，图象经过第 ， 象限，y随着x的增大而 （增大，减小）,y=x，y=3x都是y随x的增大而增大，大家思考哪个增加的更快，你能说明其中的道理吗？
（2）请大家快速在同一直角坐标系中做出下边几个正比例函数的图形
观察： K （>,<）0，图象经过第 ， 象限，y随着x的增大而 （增大，减小）y=-x，y=-3x都是y随x的增大而减小，大家思考哪个减小的更快，你能说明其中的道理吗？
分别观察下列函数的图象：
y=0.3x 和y=-0.3x
y=0.5x 和 y=-0.5x
y=x 和y=-x
y=2x 和y=-2x
y=3x 和 y=-3x
你能得出什么结论？他们的k值互为相反数，他们的图象关于x轴对称。
归纳总结
正比例函数的图象是进过原点（0,0）的直线，作正比例函数图象是找出另外一点就可以了；K >0时，图象经过第一，三象限，y随着x的增大而增大；K <0时，图象经过第二，四象限，y随着x的增大而减小；函数值的增减速度与k值有关，|k|越大，y随x的变化越快。
【设计意图】让学生经历探究的过程，培养学生的探究能力和归纳能力，以及探究的方法。
5、课堂检测、巩固提升
（1）三个正比例函数的图像对应的解析式分别是①y=ax；②y=bx；
③y=cx.它们的图像如图所示， 则a、b、c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c B. c＞b＞a C. b＞a＞c D. b＞c＞a
（2）点A(-2，a)，B（0.5，b）在正比例函数y=-2x的图像上，试比较a、b的大小。
（3）已知点A（x1,y1）和B（x2,y2）都在直线y=-2x上，如果y1＞y2，则x1与x2的关系是（）
A. x1≥x2 B. x1=x2 C. x1＜x2 D. x1＞x2
（4）y=(2m-1)x的图像上有两点A(-1, y1)、B(3, y2), 且y1＞y2，则m的取值围是（）
A. m＜2 B. m＞ 12 C. m＜0 D. m＞0
（5）已知点P（x，y）在正比例函数y=3x图像上。A（-2,0）和B（4,0），S△PAB =12. 求P的坐标。
6、收获交流
通过对本节课的学习，你有什么收获呢？梳理一下和大家进行交流。
7、课后作业
课本第85页1、2、3、4题。
教学反思：首先我觉得这节课上的还是比较成功的，教学目标达成，通过本节课的学习，学生掌握了什么是函数图象，作函数图象的步骤和研究函数的方法，体会了数形结合的魅力。掌握了正比例函数图象的作法和性质，并能通过性质解决相关问题。另一个亮点是本节课我采用了几何画板课件，教学直观，变化多样，给学生提供了更多的探究的素材。当然，本节课还有许多不足，比如在调动学生积极性上做的不足；调动学生积极性的方法还不够灵活。教师演示的多，学生动手的少。如果能让学生动手用几何画板来探究，然后让学生去归纳总结，这样我觉得会更好。x
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