人教版2020年必修第一册 高一数学上册 期中模拟试卷（含答案）
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期中模拟试卷
一 、选择题
1.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
3.下列图中,画在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与y=ax+b(a≠0,b≠0)函数的图象只可能是（ ）
4.如果函数f(x)=x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞)
5.若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－3] B.(－∞，0] C.[1，＋∞) D.(－∞，1]
6.设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
7.已知a＞0，b＞0，a＋b=＋，则＋的最小值为( )
A.4 B.2 C.8 D.16
8.函数y=x＋的值域为( )
A．，＋∞ B．，＋∞ C．－∞， D．－∞，
9.已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)=2，则不等式f(log2x)＞2的解集为( )
A.(2，＋∞) B.(0，0.5)∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D.(，＋∞)
10.已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)=f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为( )
A.2m＋3 B.2m＋6 C.6－2m D.6
二 、填空题
11.设全集为R，集合A={x|x2－9＜0}，B={x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)= .
12.已知函数f(x)=,f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=_____________；
13.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是 .
14.若y=(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则m=_________．
15.若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________.
16.已知f(x)是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f(x)的解析式为_______．
三 、解答题
17.设全集I=R，已知集合M={x|(x＋3)2≤0}，N={x|x2＋x－6=0}.
(1)求(∁IM)∩N；
(2)记集合A=(∁IM)∩N，已知集合B={x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A=A，求实数a的取值范围.
18.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(3)=1.
(1)判断f(x)的单调性；
(2)解关于x的不等式f(3x＋6)＋f＞2；
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.
19.已知不等式ax2-3x＋2<0的解集为A={x|1<x<b}．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)=(2a＋b)x＋(x∈A)的最小值．
20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且对于任意x1,x2∈D,有f(x1∙x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)=3,f(x-2)+f(x+1)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求实数x的取值范围．
21.已知函数.
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数；
（3）若函数f(x)在区间[2,a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围.
参考答案
1.B
2.答案为：D；
解析；由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，
所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”.
3.B
4.答案为：B；
解析：二次函数开口向上，对称轴为x=－=1－a，要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a≥4，即a≤－3.
5.答案为：A；
解析：方法一：令f(x)=x2－2x＋a，
则由题意，得解得a≤－3，故选A.
方法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，
则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2]).而－x2＋2x=－(x－1)2＋1，
则当x=－1时，(－x2＋2x)min=－3，所以a≤－3，故选A.
6.答案为：D；
解析：一方面，若0＜ab＜1，则当a＜0时，0＞b＞，
∴b＜不成立；另一方面，若b＜，则当a＜0时，ab＞1，
∴0＜ab＜1不成立，故选D.
7.答案为：B；
解析：由a＞0，b＞0，a＋b=＋=，得ab=1，则＋≥2 =2.
当且仅当=，即a=，b=时等号成立，故选B.
8.答案为：D；
解析：
令t=≥0，则t2=2－x，x=2－t2，∴y=2－t2＋t=－t－2＋(t≥0)，∴y≤，故选D．
9.解析：f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数
所以f(log2x)＞2=f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1
或log2x＜－1⇔x＞2或0＜x＜0.5.
10.答案为：D；
解析：因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m.
所以函数F(x)=f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)=6.故选D.
11.答案为：{x|－3＜x≤－1}.
解析：由题意知，A={x|x2－9＜0}={x|－3＜x＜3}，
∵B={x|－1＜x≤5}，∴∁RB={x|x≤－1或x＞5}.
∴A∩(∁RB)={x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}={x|－3＜x≤－1}.
12.解：∵对x∈R，都有f(x)+f()=+=1.∴原式=+3=3.5.
13.答案 (-2,1)解析 ∵f(x)是奇函数,∴当x<0时, f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,所以由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.
14.答案为：0 解析：因为函数y=(m-1)x2＋2mx＋3为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即(m-1)(-x)2＋2m(-x)＋3=(m-1)x2＋2mx＋3，整理，得m=0．
15.答案为：[0.5,+∞)；
解析：∵f(x)=是R上的单调函数，
∴解得a≥0.5，
故实数a的取值范围为[0.5,+∞).
16.解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得，联立，
∴．答案：.
17.解：(1)∵M={x|(x＋3)2≤0}={－3}，
N={x|x2＋x－6=0}={－3,2}.
∴∁IM={x|x∈R且x≠－3}.
∴(∁IM)∩N={2}.
(2)A=(∁IM)∩N={2}，
∵B∪A=A，∴B⊆A.
∴B=∅或B={2}.
当B=∅时，a－1>5－a，∴a>3；
当B={2}时，解得a=3.
综上所述，所求a的取值范围是{a|a≥3}.
18.解：(1)设x1＞x2＞0，则＞1，
∵当x＞1时，f(x)＞0，
∴f(x1)－f(x2)=f＞0，∴f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
(2)在f(x1)－f(x2)=f中，令x1=9，x2=3，
∴f(9)－f(3)=f(3).又f(3)=1，∴f(9)=2.
∴不等式f(3x＋6)＋f＞2，
可转化为f(3x＋6)＋f＞f(9)，
∴f(3x＋6)＞f(9)－f=f(9x)，
由函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，
可得3x＋6＞9x＞0，∴0＜x＜1，
∴原不等式的解集为(0,1).
(3)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数，
∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1，
∴不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，
a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1,1]恒成立，
即m2－2am≥0对所有a∈[－1,1]恒成立.
设g(a)=－2ma＋m2，
∴需满足即
解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m=0，
即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).
19.解：
(1)由题意知，1，b是方程ax2-3x＋2=0的两根，且b>1，
∴解得
(2)由(1)得f(x)=(2×1＋2)x＋=4x＋
=4(x＋1)＋-4≥2-4=16.
当且仅当4(x＋1)=，即x=∈A时等号成立．
∴函数f(x)的最小值为16.
20.（1） 令，则.
（2）函数为偶函数
证明：由（1）可得： 又
即函数为偶函数.
（3）且
不等式可化为
又在上是增函数且为偶函数
或
解得：或. 的取值范围为.
21.解：（1）函数是奇函数，
∵函数的定义域为，在轴上关于原点对称，
且，∴函数是奇函数.
（2）证明：设任意实数，且，
则，
∵ ∴，∴<0 ，
∴<0,即，∴函数在区间上为增函数.
（3）∵，∴函数在区间上也为增函数.
∴，
若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，
则，∴，∴的取值范围是[4,+∞).
