2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析7.2　复数 学案

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核心考点·精准研析

考点一　复数的概念 

1.(2019·合肥模拟)已知a,b均为实数,若+=1(i为虚数单位),则a+b=

(　　)

A.0　　  B.1　　  C.2　　  D.-1

2.(2020·吉林模拟)设i是虚数单位,为实数,则实数a的值为 (　　)

A.1　   B.2　   C.　   D.

3.已知复数z满足:(2-i)·z=1,则= (　　)

A.　　  B.    C.   D.

4.已知复数z的共轭复数是,且|z|-=,则z的虚部是________. 世纪金榜导学号 

【解析】1.选C.由+=1,

得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,

即(a+b)+(a-b)i=2,则.所以a+b=2.

2.选C.因为==+i为实数,所以2a-1=0,即a=.

3.选B.由(2-i)·z=1,

得z===+i,

所以===.

4.设z=a+bi(a,b∈R),

由|z|-=,得-a+bi=,

所以2+i=-b+(-a)i,所以b=-2.

答案:-2

　关于复数的概念

(1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念.

(2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.

考点二　复数的几何意义 

【典例】1.在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为              (　　)

A.1+2i　　　     B.1-2i

C.-2+i　　　     D.2+i

2.(2020·郑州模拟)已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为________. 

3.(2019·太原模拟)若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为M,m,则M-m=________. 

【解题导思】

【解析】1.选C.依题意得,复数z==i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.

2.z1===-i,所以A,

因为向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,所以z2的虚部为-.

答案:-

3.由|z+3+4i|≤2,得z在复平面内对应的点在以Q(-3,-4)为圆心,以2为半径的圆及其内部.

如图:

|z-1-i|的几何意义为区域内的动点与定点P(1,1)的距离,

则M=|PQ|+2,m=|PQ|-2,则M-m=4.

答案:4

　关于复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)Z,充分利用三者之间的对应关系相互进行转化.

(2)=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.

1.已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第________象限,复数z对应点的轨迹是________. 

【解析】令z=x+yi(x,y∈R),

x=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,

y=-(a2-2a+2)=-[(a-1)2+1]≤-1,且x+y=2(x≥3,y≤-1),故复数z所对应的点在第四象限,z对应点的轨迹为一条射线.

答案:四　一条射线

2.在复平面内,复数对应的点与原点的距离是 (　　)

A.1   B.   C.2   D.2

【解析】选B.===1+i.对应的点与原点的距离是=.

考点三　复数的四则运算 

复数四则运算的综合应用

【典例】若z=1+2i,则= (　　)

A.1　　 B.-1　 C.i　　　 D.-i

【解析】选C.因为z=1+2i,则=1-2i,

所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.

复数混合运算应注意什么?

提示:分清运算层次,逐层进行运算.

复数四则运算的几何意义

【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于              (　　)

世纪金榜导学号

A.第一象限      B.第二象限

C.第三象限      D.第四象限

【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.

向量、复数的运算、点的坐标怎样关联?

提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量.

复数四则运算的交汇问题

【典例】(2019·邢台模拟)若复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,则cos θ+icos 2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于              世纪金榜导学号

(　　)

A.第一象限     B.第二象限

C.第三象限     D.第四象限

【解析】选C.因为复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,所以,即sin θ=,cos θ=-(θ为第二象限角).则cos 2θ=1-

2sin2θ=1-2×=.

所以cos θ+icos 2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.

本题复数中含有三角函数问题求解时用到了哪些三角函数知识?

提示:用到同角三角函数的基本关系,二倍角公式.

1.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________. 

【解析】由i·z=1+2i,得z==2-i,所以z的实部为2.

答案:2

2.(2019·闵行模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=________. 

【解析】由题意,z1=i,z2=2-i,

所以====5.

答案:5

3.(2020·人大附中模拟)复数z满足=2-i(i为虚数单位),则z的模是________. 

【解析】因为=2-i,

所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i,

所以|z|==5.

答案:5

1.(2020·商丘模拟)若=ad-bc,则满足等式=0的复数z=________. 

【解析】由已知可得=z(1+i)+i(1-i)=0,

所以z==-1.

答案:-1

2.(2019·杭州模拟)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,若表示复数z,则|z|=__________. 

【解析】由题意=cos π+isin π

=cos +isin =-+i,

所以|z|==1.

答案:1

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