2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第9章第5节第1课时　椭圆及其性质

第五节　椭圆
第1课时　椭圆及其性质
[最新考纲]　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．


1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形



范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
性质
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
2．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
3．与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． (　　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆． (　　)
(4)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相等．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改编
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．10
D　[依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.]
3．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A　[设所求椭圆的方程为＋＝1(λ＞－4)，则有＋＝1，解得λ＝6，故所求椭圆方程为＋＝1.]
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 ．
或　[设P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝2.
则S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.
代入椭圆的方程，得＋＝1，解得x＝，
因此点P的坐标为或.]

考点1　椭圆的定义及应用
　利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　)

A. B.
C. D.
(3)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为 ．
(1)D　(2)D　(3)－5　[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，
由余弦定理得
4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝，故选D.
(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10.(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)
又F2(3,0)，则|F2M|＝＝5.
∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]
　解答本例T(3)的关键是差式(|PM|－|PF1|)转化为和式|PM|＋|PF2|－10.而转化的依据为|PF1|＋|PF2|＝2a.
　1.已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D　[由题意得|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.]
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.]
3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝ .
3　[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
考点2　椭圆的标准方程
　求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法．一般步骤如下：

(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为 ．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为 ．
(3)[一题多解]与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点P(2，－)的椭圆方程为 ．
(1)＋＝1　(2)＋＝1　(3)＋＝1或＋＝1　[(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程，则
由①②两式联立，解得
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(3)法一：因为e＝＝
＝＝＝，
若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(m＞n＞0)，
则1－＝，从而＝，＝.又＋＝1，所以m2＝8，n2＝6.所以椭圆方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(h＞k＞0)，
则＋＝1，且＝，
解得h2＝，k2＝.
故所求方程为＋＝1，故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t＞0)，将点P(2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程为＋＝1；若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ＞0)，
代入点P(2，－)，得λ＝，故所求方程为＋＝1.
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.]
　离心率相同的两个椭圆焦点可能在不同的轴上，因此要分类求解，如本例T(3)．
[教师备选例题]
1．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C　[由长、短半轴长之和为10，焦距为4，可得a＋b＝10,2c＝4，∴c＝2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝36，b2＝16.∵焦点在x轴上，∴所求椭圆方程为＋＝1.故选C.]
2．已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为 ．
＋＝1或＋＝1　[若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.]
　1.已知a，b∈R，则“a＞0＞b”是“－＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[当a＞0＞b且a＝－b时，－＝1表示圆，充分性不成立；当－＝1表示椭圆时，a＞0＞b且a≠－b，必要性成立，所以“a＞0＞b”是“－＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.]
2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率为，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋x2＝1
A　[由题意设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2b＝2，故b＝1.又＝，a2＝b2＋c2，∴a2＝5.∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.故选A.]
考点3　椭圆的几何性质
　求椭圆离心率的值(或范围)

1．求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2．求椭圆离心率范围的两种方法
方法
解法
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－　　　　　　　 B．2－
C. D.－1
(2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是(　　)
A．(0，－1) B．(－1,1)
C．(0，－1) D．(－1,1)
(1)D　(2)B　[(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.
(2)∵F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B，∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)，∵0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是(－1,1)，故选B.]
　求离心率的取值范围，关键是寻找关于a，b，c的不等式，如本例T(2)，利用等腰三角形是锐角三角形，则顶角的一半小于，建立不等式求解．
[教师备选例题]
1．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)
A. B．2－
C. D.－1
D　[如图所示．

由题意可得MF1⊥MF2，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c，
所以c2＋(2a－c)2＝4c2，
化为c2＋2ac－2a2＝0，
即e2＋2e－2＝0，e∈(0,1)，
解得e＝－1，故选D.]
2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
A　[根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因为1≤b＜2，所以0＜e≤，故选A.]
　与椭圆性质有关的最值(范围)问题
　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
　(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2019·开封模拟)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为 ．

(1)A　(2)4　[(1)当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
(2)由题意知a＝2，
因为e＝＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆方程为＋＝1.
设P点坐标为(x0，y0)．
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
则当x0＝－2时，·取得最大值4.]
　椭圆中长轴两端点(或两焦点)与短轴顶点所成的角最大，本例T(1)就是以此求解的．
　1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
故选A.]
2．已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．4　　　　B．6 C．8　　　　D．10
C　[设M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝＝＝.
因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，
所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.]