2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第7章第3节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[最新考纲]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2.线性规划中的相关概念

1．确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法

把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．  (　　)

(2)线性目标函数的最优解可能不唯一． (　　)

(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．

  (　　)

(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．                            (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、教材改编

1．不等式组表示的平面区域是(　　)

C　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]

2．不等式2x－y＋6＞0表示的区域在直线2x－y＋6＝0的(　　)

A．右上方　　　　　　 B．右下方

C．左上方   D．左下方

B　[不等式2x－y＋6＞0可化为y＜2x＋6，结合直线2x－y＋6＝0的位置可知，选B.]

3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为        ．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)

　[由题意知，x，y满足的关系式为]

4．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为        ．

3　[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.

作出直线y＝－x，并平移该直线，

当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．

由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.]

考点1　二元一次不等式(组)表示的平面区域

1．求平面区域面积的方法

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．

2．根据平面区域确定参数的方法

在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．

　(1)不等式组表示的平面区域的面积为        ．

(2)已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为        ．

(1)1　(2)　[(1)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面区域的面积．

求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.

(2)直线kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

则A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知

×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.]

　解答本例T(2)时，直线kx－y＋2＝0恒过定点(0,2)是解题的关键．

　1.不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

C　[由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.]

2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)

A．a<5   B．a≥7

C．5≤a<7   D．a<5或a≥7

C　[如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.

]

3．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是        ．

　[直线2x－3y＋6＝0上方的点满足不等式y＞x＋2，∴t＞×(－2)＋2，即t＞.]

考点2　求目标函数的最值问题(多维探究)

　求线性目标函数的最值

　求线性目标函数最值的一般步骤

　(1)(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是        ．

(2)(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是        ．

(1)9　(2)3　[(1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．

由

解得

即C点坐标为(3,0)，

故zmax＝3×3－0＝9.

(2)x＋1≤y≤2x可化为其表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1,2)处取得最小值，最小值为3.

]

　解答本例T(2)时，首先要把约束条件变为其次设目标函数为z＝2y－x.

[教师备选例题]

(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为      ．

9　[画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值．联立，得解得所以B(5,4)，故zmax＝5＋4＝9.

]

　求非线性目标函数的最值

　常见的两种非线性目标函数及其意义

(1)点到点的距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；

(2)斜率型：形如z＝，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．

　实数x，y满足

(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．

[解]　由作出可行域，

如图中阴影部分所示．

(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．

因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．

由得B(1,2)，

所以kOB＝＝2，即zmin＝2，

所以z的取值范围是[2，＋∞)．

(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．

因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.

由得A(0,1)，

所以OA2＝()2＝1，

OB2＝()2＝5，

所以z的取值范围是[1,5]．

[母题探究]

(1)保持本例条件不变，求目标函数z＝的取值范围；

(2)保持本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．

[解]　(1)z＝可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率，所以z的取值范围是(－∞，0]．

(2)z＝x2＋y2－2x－2y＋3

＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，

而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，

PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，

PQ＝2＝，

所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.

　求定点到区域内动点的距离的最小值时，要数形结合，可能转化为点到直线的距离问题．

　线性规划中的参数问题

　求解线性规划中含参问题的两种基本方法

(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．

(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．

　(1)若实数x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－6,2]   B．(－6,2)

C．[－3,1]   D．(－3,1)

(2)若实数x，y满足不等式组其中m＞0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝        .

(1)B　(2)1　[(1)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．

将z＝ax＋2y化成y＝－x＋，当－1＜－＜3时，直线y＝－x＋的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z＝ax＋2y在点(1,0)处取得最小值，解得－6＜a＜2，故选B.

(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z＝x＋y，则y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过点A时，x＋y有最大值，此时x＋y＝9，由得A(4,5)，将A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1.

]

　当参数在目标函数中时，应把斜率值的大小对最优解的影响作为解题突破口．

　1.(2019·北京高考)若x，y满足则y－x的最小值为        ，最大值为        ．

－3　1　[x，y满足的平面区域如图所示．

设z＝y－x，

则y＝x＋z.

把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.

当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.]

2．若实数x，y满足约束条件则的最小值为        ．

－　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.]

3．已知x，y满足约束条件且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝        .

－2　[作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由z＝x＋3y得y＝－x＋，结合图形可知当直线y＝－x＋过点A时，z最小，

联立方程，得得A(2，－2－k)，

此时zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.]

考点3　线性规划的实际应用

　解线性规划应用问题的一般步骤

(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．

(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．

(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．

(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．

(5)检验：根据结果，检验反馈．

　(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域；

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.

考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一组平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．

又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得则点M的坐标为(6,3)．

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．

　本例中x，y∈N，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是整数点组成的．

　某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)

A．320千元   B．360千元

C．400千元   D．440千元

B　[设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则z＝2x＋y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)时，z取得最大值，为360.]