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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.8函数与方程
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§2.8 函数与方程
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
概念方法微思考
函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？
提示 不能．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)<0.( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
(4)f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
2．函数f (x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
答案 B
解析 ∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－>0，
且函数f (x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x)为增函数，
∴f (x)的零点在区间(2,3)内．
3．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由f′(x)＝ex＋3>0，得f (x)在R上单调递增，又f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x)有且只有一个零点．
4．若函数f (x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
题组三 易错自纠
5．已知函数f (x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x1
解析 作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.
6．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意．
当a≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a>1.
若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故选C.
函数零点所在区间的判定
1．函数f (x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
解析 函数f (x)＝ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．
因为f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，所以f (2)f (3)<0，
所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．若a
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 函数y＝f (x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，
由于a
所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
3．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2
解析 对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．
函数零点个数的判定
例1 (1)函数f (x)＝的零点个数是________．
答案 2
解析 当x≤0时，令x2－2＝0，
解得x＝－(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上，f (x)有一个零点；
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，
所以f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x)在(0，＋∞)上有一个零点，
综上，函数f (x)的零点个数为2.
(2)(2019·秦皇岛模拟)函数f (x)＝的零点个数是________．
答案 3
解析 当x>0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，
由图知，当x>0时，f (x)有2个零点；
当x≤0时，由f (x)＝0，得x＝－.
综上，f (x)有3个零点．
(3)函数f (x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方法一 ∵f (0)f (1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
方法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f (x)的零点个数．
故函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f (x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f (a)·f (b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
跟踪训练1 (1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (1－x)－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 g(x)＝f (1－x)－1
＝
＝
易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.
(2)函数f (x)＝|x|－cos x在(－∞，＋∞)内的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．无穷多个
答案 C
解析 求解方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数问题，
可转化为求解函数h(x)＝|x|和g(x)＝cos x在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．
h(x)＝|x|和g(x)＝cos x的图象如图所示，
显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 (1)若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f (x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f (x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f (x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
由图知－a≤1，∴a≥－1.
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例3 (1)若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．
答案
解析 依题意，结合函数f (x)的图象分析可知，m需满足
即
解得
答案 (，)
解析 由f (x－4)＝f (x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x－4)＝f (x)＝f (4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，
要使方程f (x)＝logax有三个不同的根，
则满足如图，解得
故a的取值范围是(，)．
思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
跟踪训练2 (1)方程有解，则a的最小值为________．
答案 1
解析 若方程有解，则2＋x＝a－2x有解，即x＋2x＝a有解，因为x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时等号成立，故a的最小值为1.
(2)(2020·岳阳检测)对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝设f (x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f (x)＋k有3个零点，则实数k的取值范围是( )
A．(－1,3] B．[－3,1]
C．[－1,2) D．[－2,1)
答案 D
解析 令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，
令x2－1－(4＋x)<1，得－2
作出函数f (x)的图象，如图所示．
函数y＝f (x)＋k有3个零点，等价于函数y＝f (x)的图象与直线y＝－k有3个交点，
根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.故选D.
例 (1)(2019·衡水中学调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
即方程有2个解．
(2)若函数f (x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1
C．0
解析 由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m
结合图象可知01，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以0
A．(，) B．(，2)
C．(，2] D．(，2]
答案 B
解析 ∵f (x)为偶函数，故f (2－x)＝f (x－2)，
∴f (x＋2)＝f (x－2)，故f (x)的周期为4，
∵x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1，故f (x)在(－2,6]上的图象如图所示，
∵f (x)－loga(x＋2)＝0有3个不同的解，
∴f (x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有3个不同的交点，
故即解得
1．函数f (x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )
A. B．(1，e－1)
C．(e－1,2) D．(2，e)
答案 C
解析 ∵f (x)的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝＋>0，
∴f (x)在(－1,0)，(0，＋∞)上单调递增．
∵f ＝ln －4<0，f (1)＝ln 2－2<0，
f (e－1)＝1－<0，f (2)＝ln 3－1>0，
∴f (e－1)·f (2)<0，故函数的零点所在的区间是(e－1,2)．
2．函数f (x)＝x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解．f (x)＝x·cos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．
3．已知函数f (x)＝x－cos x，则f (x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象如图所示，可得两图象在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.
4．函数f (x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
答案 B
解析 当x∈时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f (x)在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos 1>0，所以f (x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f (x)＝－cos x>0，故函数f (x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.
5．已知函数f (x)＝则使方程x＋f (x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 当x≤0时，x＋f (x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；
当x>0时，x＋f (x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，
即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
6．(2019·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f (x)－g(x)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 作出函数f (x)与g(x)的图象如图所示，可知两函数图象有两个不同的交点，故选B.
7．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f (x)＝2 019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
答案 D
解析 f (x)＝2 019－(x－a)(x－b)，又f (a)＝f (b)＝2 019，c，d为函数f (x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x)的大致图象，如图所示，
由图可知c>a>b>d，故选D.
8．若函数f (x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x)>0的解集是___________．
答案
解析 ∵f (x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知
∴
∴f (x)＝x2－x－6.∵不等式af (－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为.
9．若函数f (x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 当x>0时，由f (x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f (x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f (x)＝2x－a有一个零点．令f (x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0
答案
解析 由题意知f [f (x)]＝－1，所以f (x)＝－2或f (x)＝，则函数y＝f [f (x)]＋1的零点就是使f (x)＝－2或f (x)＝的x值．解f (x)＝－2，得x＝－3或x＝；解f (x)＝，得x＝－或x＝.
从而函数y＝f [f (x)]＋1的零点构成的集合为.
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
当0
∴y＝x＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，
∴1－m≥2，∴m≤－1，
故m的取值范围是(－∞，－1]．
12．设函数f (x)＝(x>0)．
(1)作出函数f (x)的图象；
(2)当0
解 (1)函数f (x)的图象如图所示．
(2)因为f (x)＝
＝
故f (x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
由0
(3)由函数f (x)的图象可知，当0
13．已知x0是函数f (x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f (x1)<0，f (x2)<0 B．f (x1)<0，f (x2)>0
C．f (x1)>0，f (x2)<0 D．f (x1)>0，f (x2)>0
答案 B
解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f (x)<0，在(x0，＋∞)上f (x)>0，又∵x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f (x1)<0，f (x2)>0.故选B.
14．(2019·福建福州三校联考)已知函数f (x)＝若存在正实数k，使得方程f (x)＝有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A．(4,2＋2) B．(4,6＋2)
C．(6,4＋2) D．(8,6＋2)
答案 D
解析 方程f (x)＝可化为xf (x)＝k，
令g(x)＝xf (x)，则g(x)＝作出g(x)的图象，如图所示．
方程xf (x)＝k有三个互不相等的实根x1，x2，x3，等价于函数g(x)的图象与直线y＝k有三个不同的交点，结合图象知04.由二次函数y＝－x2＋4x的图象关于直线x＝2对称可知，＝2，即x1＋x2＝4.
令x2－4x＝4，解得x＝2±2，所以4
15．已知函数f (x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．
答案 (3，＋∞)
解析 在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
所以要使方程f (x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.
又m>0，解得m>3.
16．定义在R上的奇函数f (x)，当x≥0时，f (x)＝求函数F(x)＝f (x)－的所有零点之和．
解 由题意知，当x<0时，
f (x)＝
作出函数f (x)的图象如图所示，设函数y＝f (x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令－＝，解得x3＝，所以函数F(x)＝f (x)－的所有零点之和为.
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
概念方法微思考
函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？
提示 不能．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)<0.( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
(4)f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
2．函数f (x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
答案 B
解析 ∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－>0，
且函数f (x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x)为增函数，
∴f (x)的零点在区间(2,3)内．
3．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由f′(x)＝ex＋3>0，得f (x)在R上单调递增，又f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x)有且只有一个零点．
4．若函数f (x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
题组三 易错自纠
5．已知函数f (x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x1
解析 作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.
6．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意．
当a≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a>1.
若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故选C.
函数零点所在区间的判定
1．函数f (x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
解析 函数f (x)＝ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．
因为f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，所以f (2)f (3)<0，
所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．若a
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 函数y＝f (x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，
由于a
所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
3．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2
解析 对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．
函数零点个数的判定
例1 (1)函数f (x)＝的零点个数是________．
答案 2
解析 当x≤0时，令x2－2＝0，
解得x＝－(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上，f (x)有一个零点；
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，
所以f (x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x)在(0，＋∞)上有一个零点，
综上，函数f (x)的零点个数为2.
(2)(2019·秦皇岛模拟)函数f (x)＝的零点个数是________．
答案 3
解析 当x>0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，
由图知，当x>0时，f (x)有2个零点；
当x≤0时，由f (x)＝0，得x＝－.
综上，f (x)有3个零点．
(3)函数f (x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方法一 ∵f (0)f (1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
方法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f (x)的零点个数．
故函数f (x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f (x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f (a)·f (b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
跟踪训练1 (1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (1－x)－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 g(x)＝f (1－x)－1
＝
＝
易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.
(2)函数f (x)＝|x|－cos x在(－∞，＋∞)内的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．无穷多个
答案 C
解析 求解方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数问题，
可转化为求解函数h(x)＝|x|和g(x)＝cos x在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．
h(x)＝|x|和g(x)＝cos x的图象如图所示，
显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 (1)若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f (x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f (x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f (x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
由图知－a≤1，∴a≥－1.
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例3 (1)若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．
答案
解析 依题意，结合函数f (x)的图象分析可知，m需满足
即
解得
答案 (，)
解析 由f (x－4)＝f (x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x－4)＝f (x)＝f (4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，
要使方程f (x)＝logax有三个不同的根，
则满足如图，解得
故a的取值范围是(，)．
思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
跟踪训练2 (1)方程有解，则a的最小值为________．
答案 1
解析 若方程有解，则2＋x＝a－2x有解，即x＋2x＝a有解，因为x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时等号成立，故a的最小值为1.
(2)(2020·岳阳检测)对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝设f (x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f (x)＋k有3个零点，则实数k的取值范围是( )
A．(－1,3] B．[－3,1]
C．[－1,2) D．[－2,1)
答案 D
解析 令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，
令x2－1－(4＋x)<1，得－2
作出函数f (x)的图象，如图所示．
函数y＝f (x)＋k有3个零点，等价于函数y＝f (x)的图象与直线y＝－k有3个交点，
根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.故选D.
例 (1)(2019·衡水中学调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
即方程有2个解．
(2)若函数f (x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1
C．0
解析 由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m
结合图象可知0
A．(，) B．(，2)
C．(，2] D．(，2]
答案 B
解析 ∵f (x)为偶函数，故f (2－x)＝f (x－2)，
∴f (x＋2)＝f (x－2)，故f (x)的周期为4，
∵x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1，故f (x)在(－2,6]上的图象如图所示，
∵f (x)－loga(x＋2)＝0有3个不同的解，
∴f (x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象有3个不同的交点，
故即解得
1．函数f (x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )
A. B．(1，e－1)
C．(e－1,2) D．(2，e)
答案 C
解析 ∵f (x)的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝＋>0，
∴f (x)在(－1,0)，(0，＋∞)上单调递增．
∵f ＝ln －4<0，f (1)＝ln 2－2<0，
f (e－1)＝1－<0，f (2)＝ln 3－1>0，
∴f (e－1)·f (2)<0，故函数的零点所在的区间是(e－1,2)．
2．函数f (x)＝x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解．f (x)＝x·cos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．
3．已知函数f (x)＝x－cos x，则f (x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象如图所示，可得两图象在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.
4．函数f (x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
答案 B
解析 当x∈时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f (x)在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos 1>0，所以f (x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f (x)＝－cos x>0，故函数f (x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.
5．已知函数f (x)＝则使方程x＋f (x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 当x≤0时，x＋f (x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；
当x>0时，x＋f (x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，
即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
6．(2019·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f (x)－g(x)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 作出函数f (x)与g(x)的图象如图所示，可知两函数图象有两个不同的交点，故选B.
7．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f (x)＝2 019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
答案 D
解析 f (x)＝2 019－(x－a)(x－b)，又f (a)＝f (b)＝2 019，c，d为函数f (x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x)的大致图象，如图所示，
由图可知c>a>b>d，故选D.
8．若函数f (x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x)>0的解集是___________．
答案
解析 ∵f (x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知
∴
∴f (x)＝x2－x－6.∵不等式af (－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为.
9．若函数f (x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 当x>0时，由f (x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f (x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f (x)＝2x－a有一个零点．令f (x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0
答案
解析 由题意知f [f (x)]＝－1，所以f (x)＝－2或f (x)＝，则函数y＝f [f (x)]＋1的零点就是使f (x)＝－2或f (x)＝的x值．解f (x)＝－2，得x＝－3或x＝；解f (x)＝，得x＝－或x＝.
从而函数y＝f [f (x)]＋1的零点构成的集合为.
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
当0
∴y＝x＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，
∴1－m≥2，∴m≤－1，
故m的取值范围是(－∞，－1]．
12．设函数f (x)＝(x>0)．
(1)作出函数f (x)的图象；
(2)当0
解 (1)函数f (x)的图象如图所示．
(2)因为f (x)＝
＝
故f (x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
由0
(3)由函数f (x)的图象可知，当0
13．已知x0是函数f (x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f (x1)<0，f (x2)<0 B．f (x1)<0，f (x2)>0
C．f (x1)>0，f (x2)<0 D．f (x1)>0，f (x2)>0
答案 B
解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f (x)<0，在(x0，＋∞)上f (x)>0，又∵x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f (x1)<0，f (x2)>0.故选B.
14．(2019·福建福州三校联考)已知函数f (x)＝若存在正实数k，使得方程f (x)＝有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A．(4,2＋2) B．(4,6＋2)
C．(6,4＋2) D．(8,6＋2)
答案 D
解析 方程f (x)＝可化为xf (x)＝k，
令g(x)＝xf (x)，则g(x)＝作出g(x)的图象，如图所示．
方程xf (x)＝k有三个互不相等的实根x1，x2，x3，等价于函数g(x)的图象与直线y＝k有三个不同的交点，结合图象知0
令x2－4x＝4，解得x＝2±2，所以4
15．已知函数f (x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是____________．
答案 (3，＋∞)
解析 在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
所以要使方程f (x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2
又m>0，解得m>3.
16．定义在R上的奇函数f (x)，当x≥0时，f (x)＝求函数F(x)＝f (x)－的所有零点之和．
解 由题意知，当x<0时，
f (x)＝
作出函数f (x)的图象如图所示，设函数y＝f (x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令－＝，解得x3＝，所以函数F(x)＝f (x)－的所有零点之和为.
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