2021高考数学一轮复习学案：第六章高考专题突破三高考中的数列问题

高考专题突破三　高考中的数列问题
等差数列、等比数列
命题点1　数列与数学文化
例1 (1)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a1＝5，一月按30天计可得S30＝390，从第2天起每天比前一天多织的即为公差d .又S30＝30×5＋×d＝390，解得d＝ .故选B.
(2)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．2.2天 B．2.4天 C．2.6天 D．2.8天
答案　C
解析　设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An，则An＝＝6.
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则Bn＝ ＝2n－1，
由题意可得，6＝2n－1，
整理得，2n＋＝7，解得2n＝6或2n＝1(舍去)．
∴n＝log26＝＝1＋≈2.6.
∴蒲、莞长度相等大约需要2.6天．
故选C.
思维升华 对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验．
跟踪训练1 (1)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为(　　)
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
答案　B
解析　设这十二个节气日影长依次成等差数列{an}，
Sn是其前n项和，
则S9＝＝9a5＝85.5，所以a5＝9.5，
由题意知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，所以a4＝10.5，
所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5，故选B.
(2)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟(　　)
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
答案　D
解析　因为5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3＝50，
则＝50，解得a1＝，
所以马主人要偿还的量为a2＝2a1＝.
故选D.
命题点2　等差数列、等比数列的交汇
例2 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解　(1)设{an}的公比为q.
由题设可得
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得
Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．
跟踪训练2 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
解　(1)设数列{an}的公差为d.
由题意可知
整理得即∴an＝2n－1.
(2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，
∴S4＝16，S6＝36，
又S4Sn＝S，∴n2＝＝81，
∴n＝9，公比q＝＝.
数列的通项公式
例3 (1)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2·3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式．
解　an＋1＝3an＋2·3n＋1，两边同除以3n＋1，得
＝＋2，
∴是以＝1为首项，以2为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴an＝(2n－1)·3n.
(2)若数列{an}中，a1＝2且an＝(n≥2)，求它的通项公式an.
解　将an＝两边平方整理，得a－a＝3.
数列{a}是以a＝4为首项，3为公差的等差数列．
故a＝a＋(n－1)×3＝3n＋1.
因为an>0，所以an＝.
跟踪训练3 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝________.
答案　
解析　易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，∴－＝1(n≥2，n∈N*)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，∴a10＝.
(2)已知数列{an}中，a1＝1，且当n≥2时，an＝，求通项公式an.
解　将an＝两边取倒数，得
－＝2，
这说明是一个等差数列，
首项是＝1，公差为2，
所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝.
数列的求和
例4 (2020·徐州质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.
解　(1)因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2，
所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5.
所以6Sn＝a＋3an＋2.①
当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，②
①－②得6an＝a＋3an－a－3an－1，
所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，
因为an>0，所以an－an－1＝3，
又因为a1＝1，
所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
所以an＝3n－2(n∈N*)．
(2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，
所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，
所以当n≥2时，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝.
又b1＝1也适合上式，所以bn＝(n∈N*)．
所以＝
＝·＝·，
所以Tn＝·
＝·，
＝.
思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．
(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．
跟踪训练4 (1)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
①求{an}的通项公式；
②设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
解　①设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝3，b3＝9，可得q＝＝3，
所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1，
又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以d＝＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)×d＝1＋2(n－1)＝2n－1.
②由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，
则数列{cn}的前n项和为
[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)
＝＋＝n2＋.
(2)(2020·连云港质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.
①求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
②设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求满足Tn<(n∈N*)的n的最大值．
解　①∵Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，
当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，
化为2nan＝2n－1an－1＋1，
∵bn＝2nan，
∴bn＝bn－1＋1，
即当n≥2时，bn－bn－1＝1，
令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，
即a1＝.
又b1＝2a1＝1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，
∴an＝.
②由①可得cn＝
＝＝2，
∴Tn＝2
＝2，
由Tn<可得2n＋1<64＝26，n<5，
∵n∈N*，∴n的最大值为4.

例 (12分)(2019·扬州期末)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且对任意n∈N*，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立．
(1)若An＝n2，b1＝2，求Bn；
(2)若对任意n∈N*，都有an＝Bn及＋＋＋…＋<成立，求正实数b1的取值范围．
规范解答
解　(1)∵An＝n2，所以当n≥2时，
an＝An－An－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又a1＝1也符合此式，所以an＝2n－1(n∈N*)，[3分]
故bn＋1－bn＝(an＋1－an)＝1，
∴数列{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列，[4分]
∴Bn＝2n＋×1＝n2＋n(n∈N*)．[5分]
(2)依题意知Bn＋1－Bn＝2(bn＋1－bn)，
即bn＋1＝2(bn＋1－bn)，即＝2，
∴数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列，[7分]
∴bn＝b1·2n－1，an＝Bn＝×b1＝b1(2n－1)，
∴＝
＝
＝，[9分]
∴＋＋＋…＋
＝，[10分]
∴原不等式可化为<恒成立，
即b1>3，∴b1≥3，
即正实数b1的取值范围是[3，＋∞)．[12分]

第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项；
第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择裂项相消法求和；
第三步：根据不等式知识求参数范围或证明不等式．


1．已知公差不为0的等差数列{an}的前三项和为12，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
依题意有
即
由d≠0，解得所以an＝2n.
(2)由(1)知bn＝＝22n＝4n.
因为＝＝4，b1＝4，
所以数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以Sn＝＝.
2．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
则an＝a1qn－1，且an>0，
由已知得
化简得即
又∵a1>0，q>0，∴a1＝1，q＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝a＋log2an ＝4n－1＋n－1，
∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)
＝＋＝＋.
3．数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且a5＝3a2，S7＝14a2＋7.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn(an＋bn)}的前n项和Tn.
解　(1)设等差数列{an}的公差是d.
由a5＝3a2得d＝2a1，①
由S7＝14a2＋7得d＝a1＋1，②
由①②解得a1＝1，d＝2.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2) 由数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
得an＋bn＝2n－1，即2n－1＋bn＝2n－1.
所以bn＝2n－1－2n＋1，
所以bn(an＋bn)＝2n－1·(2n－1－2n＋1)
＝4n－1－2n－1(2n－1)，
令Pn＝40＋41＋…＋4n－1＝＝，
Qn＝1·20＋3·21＋5·22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，③
则2Qn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，④
③－④得－Qn＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n－1－(2n－1)·2n＝(3－2n)2n－3，
∴Qn＝(2n－3)·2n＋3，
∴Tn＝Pn－Qn＝－(2n－3)2n－3
＝－(2n－3)·2n－.

4．数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.
(1)证明　∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，
即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2，
＝>＝－.
所以＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝.

5．设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0.记ci＝ai＋bi (i＝1,2,3,4)．
(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；
(2)设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；
(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．
(1)证明　假设数列c1，c2，c3是等差数列，
则2c2＝c1＋c3，即2＝＋.
因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2＝b1＋b3.从而2a2＝a1＋a3.
又因为a1，a2，a3是等比数列，所以a＝a1a3.
所以a1＝a2＝a3，这与q≠1矛盾，从而假设不成立．
所以数列c1，c2，c3不是等差数列．
(2)解　因为a1＝1，q＝2，
所以an＝2n－1.
因为c＝c1c3，
所以2＝，
即b2＝d2＋3d，
由c2＝2＋b2≠0，得d2＋3d＋2≠0，
所以d≠－1且d≠－2.
又d≠0，所以b2＝d2＋3d，定义域为
.
(3)解　假设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，
则
将①＋③－2×②得，a1(q－1)2＝c1(q1－1)2，⑤
将②＋④－2×③得，a1q2＝c1q12，⑥
因为a1≠0，q≠1，
由⑤得c1≠0，q1≠1.
由⑤⑥得q＝q1，从而a1＝c1.
代入①得b1＝0.再代入②，得d＝0，与d≠0矛盾．
所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．