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    2021高考数学一轮复习学案:第一章1.5一元二次不等式及其解法
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    2021高考数学一轮复习学案:第一章1.5一元二次不等式及其解法

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    §1.5 一元二次不等式及其解法


    一元二次不等式的解集
    判别式Δ=b2-4ac
    Δ>0
    Δ=0
    Δ<0
    二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象



    方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
    有两相异实根x1,x2(x1 有两相等实根x1=x2=-
    没有实数根
    ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
    {x|xx2}

    {x|x∈R}
    ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
    {x|x1< x


    概念方法微思考
    1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?
    提示  ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
    2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?
    提示 显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是ax2+bx+c<0恒成立的条件是

    题组一 思考辨析
    1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
    (2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
    (3)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )
    (4)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( √ )
    题组二 教材改编
    2.已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于(  )
    A.{x|-2 B.{x|-2≤x≤3}
    C.{x|x<-2或x>3}
    D.{x|x≤-2或x≥3}
    答案 B
    解析 ∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.

    由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.
    故选B.
    3.y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________.
    答案 ∪
    解析 由题意,得3x2-2x-2>0,
    令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,
    ∴3x2-2x-2>0的解集为
    ∪.
    题组三 易错自纠
    4.(多选)关于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰有3个整数,则a的值可以为(  )
    A.- B.1 C.-1 D.2
    答案 AC
    解析 由题意知a<0,则排除B,D;
    对于A项,当a=-时,(x-2)>0,
    即(x+2)(x-2)<0,解得-20,
    即(x+1)(x-3)<0,解得-1 5.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)
    答案 (-4,1)
    解析 由-x2-3x+4>0可知,(x+4)(x-1)<0,
    得-4 6.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b=________.
    答案 -14
    解析 ∵x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,
    ∴解得∴a+b=-14.
    7.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
    答案 (-2,2]
    解析 当a-2≠0时,由得-2 当a=2时,原式化为-4<0,不等式恒成立,
    ∴-2
    一元二次不等式的求解
    命题点1 不含参的不等式
    例1 (2019·济宁模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2≥0},则∁RA等于(  )
    A.(1,2) B.[1,2]
    C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
    答案 A
    解析 由题意可得,∁RA={x|x2-3x+2<0}={x|1 命题点2 含参不等式
    例2 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
    解 原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
    因为a>0,所以(x-1)<0.
    所以当a>1时,解得 当a=1时,解集为∅;
    当0 综上,当0 当a=1时,不等式的解集为∅;
    当a>1时,不等式的解集为.
    思维升华 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论
    (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
    (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
    (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
    跟踪训练1 (1)(2020·北京市海淀区期末)不等式x2+2x-3<0的解集为(  )
    A.{x|x<-3或x>1} B.{x|x<-1或x>3}
    C.{x|-1 答案 D
    解析 由x2+2x-3<0得(x+3)(x-1)<0,解得-3 (2)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是________.
    答案 {x|x≥3或x≤2}
    解析 由题意,知-,-是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a<0,
    所以解得
    故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0,
    解得x≥3或x≤2.
    (3)解不等式12x2-ax>a2(a∈R).
    解 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,
    即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
    解得x1=-,x2=.
    当a>0时,不等式的解集为∪;
    当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
    当a<0时,不等式的解集为∪.
    一元二次不等式恒成立问题
    命题点1 在R上的恒成立问题
    例3 已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f (x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
    解 当m=0时,f (x)=-1<0恒成立.
    当m≠0时,则即-4 综上,-4 命题点2 在给定区间上的恒成立问题
    例4 已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f (x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.
    解 要使f (x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
    即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
    有以下两种方法:
    方法一 令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
    当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
    所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,
    所以m<,所以0 当m=0时,-6<0恒成立;
    当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
    所以g(x)max=g(1),即m-6<0,
    所以m<6,所以m<0.
    综上所述,m的取值范围是.
    方法二 因为x2-x+1=2+>0,
    又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
    因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
    所以m的取值范围是.
    若将“f (x)<5-m恒成立”改为“f (x)<5-m无解”,如何求m的取值范围?
    解 若f (x)<5-m无解,即f (x)≥5-m恒成立,
    即m≥恒成立,
    又x∈[1,3]时,max=6,得m≥6,
    即m的取值范围为[6,+∞).
    若将“f (x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f (x)<5-m成立”,如何求m的取值范围?
    解 由题意知f (x)<5-m有解,
    即m<有解,则m 又x∈[1,3],得m<6,即m的取值范围为(-∞,6).
    命题点3 给定参数范围的恒成立问题
    例5 若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.
    解 设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,
    则即
    解得 故x的取值范围为.
    思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
    跟踪训练2 函数f (x)=x2+ax+3.
    (1)若当x∈R时,f (x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
    (2)若当x∈[-2,2]时,f (x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
    (3)若当a∈[4,6]时,f (x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.
    解 (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,
    需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
    解得-6≤a≤2,∴实数a的取值范围是[-6,2].
    (2)由题意可转化为x2+ax+3-a≥0在x∈[-2,2]上恒成立,
    则(x2+ax+3-a)min≥0(x∈[-2,2]).
    令g(x)=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],
    函数图象的对称轴方程为x=-.
    当-<-2,即a>4时,g(x)min=g(-2)=7-3a≥0,解得a≤,舍去;
    当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,g(x)min=g=--a+3≥0,解得-6≤a≤2,∴-4≤a≤2;
    当->2,即a<-4时,g(x)min=g(2)=7+a≥0,
    解得a≥-7,∴-7≤a<-4.
    综上可得,满足条件的实数a的取值范围是[-7,2].
    (3)令h(a)=xa+x2+3.
    当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.
    只需即
    解得x≤-3-或x≥-3+.
    ∴实数x的取值范围是
    (-∞,-3-]∪[-3+,+∞).

    设方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ>0)有不相等的两根为x1,x2,且x1 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
    分布情况
    两个负根即两根都小于0(x1<0,x2<0)
    两个正根即两根都大于0(x1>0,x2>0)
    一正根一负根即一个根小于0,一个根大于0(x1<0 大致图象(a>0)



    得出的结论


    f (0)<0
    大致图象(a<0)



    得出的结论


    f (0)>0
    综合结论(不讨论a)


    a·f (0)<0

    表二:(两根与k的大小比较)
    分布情况
    两根都小于k即x1 两根都大于k即x1>k,x2>k
    一个根小于k,一个根大于k即x1 大致图象(a>0)



    得出的结论


    f (k)<0
    大致图象(a<0)



    得出的结论


    f (k)>0
    综合结论(不讨论a)


    a·f (k)<0

    表三:(根在区间上的分布)
    分布情况
    两根都在(m,n)内
    两根有且仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种)
    一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m 大致图象(a>0)



    得出的结论

    f (m)·f (n)<0


    大致图象(a<0)



    得出的结论

    f (m)·f (n)<0


    综合结论(不讨论a)

    f (m)·f (n)<0


    根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间(m,n)外,即在区间两侧x1n,(图形分别如下)需满足的条件是

    (1)a>0时,
    (2)a<0时,
    对以上的根的分布表中,两根有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况:
    (ⅰ)若f (m)=0或f (n)=0,则此时f (m)·f (n)<0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m,n)内,从而可以求出参数的值.如方程mx2-(m+2)x+2=0在区间(1,3)上有一根,因为f (1)=0,所以mx2-(m+2)x+2=(x-1)(mx-2),另一根为,由1<<3得 (ⅱ)方程有两个相等的根,且这个根在区间(m,n)内,即Δ=0,此时由Δ=0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数.如方程x2-4mx+2m+6=0有且只有一根在区间(-3,0)内,求m的取值范围.分析:①由f (-3)·f (0)<0即(14m+15)(m+3)<0得出-3 例1 已知二次方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根,求实数m的取值范围.
    解 设f (x)=(2m+1)x2-2mx+(m-1),
    由(2m+1)·f (0)<0 ,即(2m+1)(m-1)<0,
    解得- 例2 已知方程2x2-(m+1)x+m=0有两个不等正实根,求实数m的取值范围.
    解 设f (x)=2x2-(m+1)x+m,
    由⇒
    ⇒⇒03+2,即m的取值范围为(0,3-2)∪(3+2,+∞).
    例3 已知二次函数f (x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围.
    解 由(m+2)·f (1)<0 ,
    即(m+2)·(2m+1)<0 ⇒-2 即m的取值范围为.

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