2021高考数学一轮复习学案：第一章1.4不等关系与不等式

§1.4　不等关系与不等式

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法 (a，b∈R)

(2)作商法 (a∈R，b>0)

2．不等式的基本性质

概念方法微思考

1．若a>b，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？

提示　不确定．若a>b，ab>0，则<，即若a与b同号，则分子相同时，分母大的反而小；若a>0>b，则 >，即正数大于负数．

2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？

提示　可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)

(2)若>1，则a>b.(　×　)

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)

(4)a>b>0，c>d>0⇒>.(　√　)

题组二　教材改编

2．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，

但a2－b2>0⇏－>0.

3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A.－>0   B.－<0

C.>   D.<

答案　D

解析　∵c<d<0，∴0<－d<－c，

又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，

又∵cd>0，∴>，即>.

题组三　易错自纠

4．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.

5．(多选)下列命题为真命题的是(　　)

A．若a>b>0，则ac2>bc2

B．若a<b<0，则a2>ab>b2

C．若a>b>0且c<0，则>

D．若a>b且>，则ab<0

答案　BCD

解析　当c＝0时，不等式不成立，∴A命题是假命题；⇒a2>ab，⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，∴B命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<，∵c<0，∴>，∴C命题是真命题；>⇒－>0⇒>0，∵a>b，∴b－a<0，ab<0，∴D命题是真命题，∴本题选BCD.

6．(2019·北京市海淀区育英学校期中)若实数a, b满足0<a<2, 0<b<1，则a－b的取值范围是________．

答案　(－1,2)

解析　∵0<b<1，∴－1<－b<0, ∵0<a<2，∴－1<a－b<2.

比较两个数(式)的大小

例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A．p<q   B．p≤q

C．p>q   D．p≥q

答案　B

解析　(作差法)p－q＝＋－a－b

＝＋＝(b2－a2)·

＝＝，

因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.

若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；

若a≠b，则p－q<0，故p<q.

综上，p≤q.故选B.

(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．

解　∵＝＝a－b，

又a>b>0，故>1，a－b>0，

∴a－b>1，即>1，

又abba>0，∴aabb>abba，

∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.

思维升华　比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．

跟踪训练1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________．

答案　M>N

解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.

(2)若a>0，且a≠7，则(　　)

A．77aa<7aa7

B．77aa＝7aa7

C．77aa>7aa7

D．77aa与7aa7的大小不确定

答案　C

解析　＝77－aaa－7＝7－a，

则当a>7时，0<<1,7－a<0，

则7－a>1，∴77aa>7aa7；

当0<a<7时，>1,7－a>0，

则7－a>1，∴77aa>7aa7.

综上，77aa>7aa7.

不等式的基本性质

例2　(1)(2020·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是(　　)

A．若a>b，则ac2>bc2

B．若a>b，c<d，则>

C．若a>b，c>d，则a－c>b－d

D．若ab>0，a>b，则<

答案　D

解析　对于A选项，当c＝0时，不成立，故A选项错误；当a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1时，<，故B选项错误；当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C选项错误，故D选项正确．

(2)(多选)若<<0，则下列结论正确的是(　　)

A．a2<b2   B．ab<b2

C．a＋b<0   D．|a|＋|b|>|a＋b|

答案　ABC

解析　由题意可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．

思维升华　判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

跟踪训练2　(1)(多选)(2019·天津市河北区模拟)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有(　　)

A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d

B．若a>b，c>d，则b－c>a－d

C．若a>b，c>d，则ac>bd

D．若a>b，c>0，则ac>bc

答案　AD

解析　∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；∵a>b，c>0，∴ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.

(2)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　)

A．ab>ac   B．c(b－a)<0

C．cb2<ab2   D．ac(a－c)>0

答案　A

解析　由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.

由b>c，得ab>ac一定成立．

不等式性质的综合应用

命题点1　判断不等式是否成立

例3　(2019·北京师范大学附属中学期中)若b<a<0，则下列不等式：①|a|>|b|；②a＋b<ab；③<2a－b中，正确的不等式有(　　)

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

答案　C

解析　对于①，因为b<a<0，所以|b|>|a|，故①错误；对于②，因为b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，a＋b<ab，故②正确；对于③，－2a＋b＝＝<0，<2a－b，故③正确．故选C.

命题点2　求代数式的取值范围

例4　已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．

答案　(－4,2)　(1,18)

解析　∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，

∴－4<x－y<2.

由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，

∴1<3x＋2y<18.

若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．

解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，

则∴

即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，

又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，

∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，

∴－<(x＋y)＋(x－y)<，

即－<3x＋2y<，

∴3x＋2y的取值范围为.

思维升华　(1)判断不等式是否成立的方法

①逐一给出推理判断或反例说明．

②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．

(2)求代数式的取值范围

一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．

跟踪训练3　(1)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是(　　)

A．    B.－c>－c

C.>   D．ac2<bc2

答案　D

解析　因为y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以；

因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c>－c；

因为－＝>0，所以>；

当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选D.

(2)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围是________．

答案　

解析　设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，

则∴

即2α－β＝(α＋β)＋(α－β)，

∵π<α＋β<，－π<α－β<－，

∴<(α＋β)<，－<(α－β)<－，

∴－π<(α＋β)＋(α－β)<，

即－π<2α－β<，

∴2α－β的取值范围是.

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