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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第3章第3讲 三角函数的图象与性质
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第3讲 三角函数的图象与性质
[考纲解读] 1.熟练掌握正弦、余弦及正切函数的图象，并能根据图象得出三角函数的性质．(重点)
2．掌握正弦、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)，并理解正切函数在上的单调性．(重点、难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用．题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型.
对应学生用书P066
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
x∈R，且x≠
kπ＋，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当x＝＋2kπ
(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝＋2kπ
(k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ
(k∈Z)时，ymin＝－1
x∈，k∈Z，无最大值，也无最小值
周期
2kπ，k∈Z
2kπ，k∈Z
kπ，k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在(k∈Z)上递增；
在(k∈Z)上递减
在 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；
在 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
在(k∈Z)上递增
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ＋，k∈Z
直线x＝kπ，k∈Z
无对称轴
1．概念辨析
(1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．( )
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( )
(3)函数f(x)＝sin的最小正周期为2π.( )
(4)sin20°
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)函数y＝tan2x的定义域是( )
A．｛x B．｛x
C．｛x D．｛x
答案 D
解析 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以y＝tan2x的定义域是｛x.
(2)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝tan2x D．y＝sin
答案 A
解析 对于A，y＝cos＝－sin2x，最小正周期为π且图象关于原点对称；对于B，y＝sin＝cos2x的图象不关于原点对称；对于C，y＝tan2x的周期是；对于D，y＝sin的图象不关于原点对称．
(3)函数y＝1－2cosx的单调递减区间是________．
答案 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)
解析 y＝1－2cosx的单调递减区间就是y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．
(4)函数y＝3－2sin的最大值为________，此时x＝________.
答案 5 ＋2kπ(k∈Z)
解析 函数y＝3－2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
对应学生用书P067
题型 一 三角函数的定义域和值域
1．函数y＝lg (sin2x)＋的定义域为________．
答案 ∪
解析 由解得
所以－3≤x＜－或0
2．(2019·吉安模拟)函数f(x)＝sin3x＋3cos2x的值域为________．
答案
解析 由题意得
f(x)＝sin3x＋3cos2x＝sin3x＋3(1－sin2x)＝sin3x－3sin2x＋3，x∈，
令t＝sinx，则t∈，
所以g(t)＝t3－3t2＋3，t∈，
则g′(t)＝3t2－6t＝3t(t－2)，
当－0，
当0
又g＝，g(0)＝3，g(1)＝1.
所以函数f(x)的值域为.
3．(2019·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．
答案
解析 令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得
sinxcosx＝(1－t2)，
所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求．
因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1，
当t＝－时，ymin＝－－，
当t＝1时，ymax＝1，
所以原函数的值域为.
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．如举例说明1.
2．三角函数最值或值域的三种求法
直接法
直接利用sinx和cosx的值域求解
化一法
把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，由正弦(或余弦)函数的单调性写出函数的值域
换元法
把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数的值域问题求解．如举例说明2,3
1．函数y＝＋的定义域为________．
答案 ｛x
解析 由得所以2kπ＋π≤x<2kπ＋，k∈Z.所以y＝＋的定义域为｛x.
2．(2019·湖北七市联考)函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是________．
答案
解析 当x∈[0，π]时，ωx＋∈，又因为函数f(x)的值域为，所以可得ωπ＋∈，解得ω∈.
题型 二 三角函数的单调性
1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案 A
解析 作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．
由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.
2．已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则f＝0，所以sin＝0，
解得φ＝，故f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
条件探究 将本例中的函数的定义域改为[0，π]，则其单调递增区间为________．
答案 和
解析 记A＝｛x，B＝[0，π]．
观察数轴可知A∩B＝∪，
所以函数y＝f(x)，x∈[0，π]的单调递增区间为和.
3．若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是________．
答案
解析 函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z.
则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z，
且4k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
求三角函数单调区间的两种方法
(1)复合函数法
(2)图象法
画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．如举例说明1.
1．(2019·中山模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 由kπ－<－
A．f(0)
解析 因为函数f(x)＝x2－cosx是偶函数，且在(0，π)上是增函数，所以f(0)
答案
解析 f(x)＝cosx－sinx＝－(sinx－cosx)
＝－sin.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
取k＝0，得f(x)的一个减区间为.
由f(x)在[－a，a]上是减函数，得
∴a≤，故a的最大值为.
题型 三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度1 三角函数的周期性
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
答案 C
解析 由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
角度2 三角函数的奇偶性
2．若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
答案
解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
角度3 三角函数图象的对称性
3．(2019·广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
答案 A
解析 因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，所以sin＝1.所以cos＝0.所以函数y＝cos(2x＋φ)的图象关于点对称．
1．周期的计算方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．如举例说明1.
2．函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)．如举例说明2；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
3．与三角函数有关的图象的对称性问题
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．如举例说明3.
1．(2019·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是( )
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝sinxcosx
C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos2x－sin2x
答案 D
解析 由f(x)＝f(－x)可知函数是偶函数，且f(x－π)＝f(x)，则函数的周期为π.A项中的函数是奇函数，故错误；B项中f(x)＝sinxcosx＝sin2x，为奇函数，故错误；C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为2π，故错误；D项中f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，该函数是周期为π的偶函数，故选D.
2．关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
答案 C
解析 y＝tan是非奇非偶函数，A错误；y＝tan在区间上单调递增，B错误；由2x－＝得x＝＋(k∈Z)，得函数y＝tan的对称中心为，k∈Z，故C正确；函数y＝tan的最小正周期为，D错误．
3．(2019·辽宁辽阳一模)已知偶函数f(x)＝2sin的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则f＝( )
A. B．－
C．－ D.
答案 B
解析 因为f(x)是偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)．又由题知<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin＝2cosωx，又＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，因此f＝2cos＝－.故选B.
对应学生用书P278
组 基础关
1．函数y＝cos是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
答案 A
解析 因为y＝cos＝cos＝－sin2x，故选A.
2．设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 sin＝sin＝－sin＝sin＝cos，cos＝cos＝cos＝cos，因为y＝cosx在上是减函数，所以cos>cos>cos，即a>c>b.
3．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是( )
答案 D
解析 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|
＝结合选项图形知，D正确．
4．已知函数f(x)＝tan2x，则下列说法不正确的是( )
A．y＝f(x)的最小正周期是π
B．y＝f(x)在上单调递增
C．y＝f(x)是奇函数
D．y＝f(x)的对称中心是(k∈Z)
答案 A
解析 函数y＝f(x)的最小正周期是，故A错误．当x∈时，2x∈，此时函数f(x)＝tan2x为增函数，故B正确．因为f(－x)＝tan2(－x)＝－tan2x＝－f(x)，所以f(x)＝tan2x是奇函数，故C正确．由2x＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，所以f(x)＝tan2x的对称中心是，k∈Z，故D正确．
5．(2019·福建六校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )
A．2或0 B．0
C．－2或0 D．－2或2
答案 D
解析 因为f＝f(－x)对任意x∈R都成立，所以函数f(x)的图象的一个对称轴是直线x＝，所以f＝±2.
6．已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，f是奇函数，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案 B
解析 因为f(x)＝cos(x＋φ)，所以f＝cos，又因为f是奇函数，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又0＜|φ|<，所以φ＝，f(x)＝cos，当x∈时，x＋∈，f(x)单调递减，当x∈时，x＋∈，f(x)先减后增，故选B.
7．(2019·衡水联考)函数f(x)＝sin－在区间(0，π)内的所有零点之和为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设t＝2x＋，则由x∈(0，π)，得t∈.由f(x)＝0得sint＝，结合函数y＝sint的图象可知此方程有两个实根t1和t2，且t1＋t2＝3π，所以函数f(x)在(0，π)内有两个零点x1和x2，且2x1＋＋2x2＋＝3π，所以x1＋x2＝.
8．函数f(x)＝＋tan的定义域是________．
答案 ｛x
解析 由得
所以0
9．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________.
答案
解析 由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，
即f(x)＝，所以f＝＝.
10．函数f(x)＝2020sin(0≤x≤2π)的值域是________．
答案 [1010,2020]
解析 因为0≤x≤2π，所以≤x＋≤.
所以≤sin≤1，
所以函数f(x)＝2020sin的值域为[1010,2020]．
组 能力关
1．(2020·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝
例如1]( )
A. B．[－1,1]
C. D.
答案 D
解析 画出函数f(x)＝的图象(如图中实线所示)．
根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2π)的情况即可．
观察图象可知函数f(x)的值域为.
2．(2019·辽宁省实验中学模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，那么下列命题中的假命题是( )
A．f(x)既不是奇函数也不是偶函数
B．f(x)在[－π，0]上恰有一个零点
C．f(x)是周期函数
D．f(x)在上是增函数
答案 B
解析 因为f(x)＝cos2x＋sinx，所以f(－x)＝cos2x－sinx.故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．所以A是真命题；令f(x)＝cos2x＋sinx＝0，得1－sin2x＋sinx＝0，解得sinx＝.此时x有两个值．所以f(x)在[－π，0]内恰有两个零点．所以B是假命题；因为f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－2＋.显然f(x)是周期函数，所以C是真命题；对于f(x)＝－2＋，令u＝sinx在上单调递减，则y＝－2＋在上单调递减，所以D是真命题．
3．(2020·赣州摸底)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
答案 ，k∈Z
解析 函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，
由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，
得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.
所以f(x)＝sin＋.
则f＝sin＋＝.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
4．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
解 (1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以sin≥sin＝－，
所以当x∈时，f(x)≥－.
组 素养关
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解 (1)∵f(x)＝sin的最小正周期为π，
∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.
2．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，
得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或.
(3)当x∈时，2x－∈，
所以f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，即f(x)－3
第3讲 三角函数的图象与性质
[考纲解读] 1.熟练掌握正弦、余弦及正切函数的图象，并能根据图象得出三角函数的性质．(重点)
2．掌握正弦、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)，并理解正切函数在上的单调性．(重点、难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用．题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型.
对应学生用书P066
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
x∈R，且x≠
kπ＋，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当x＝＋2kπ
(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝＋2kπ
(k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ
(k∈Z)时，ymin＝－1
x∈，k∈Z，无最大值，也无最小值
周期
2kπ，k∈Z
2kπ，k∈Z
kπ，k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在(k∈Z)上递增；
在(k∈Z)上递减
在 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；
在 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
在(k∈Z)上递增
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ＋，k∈Z
直线x＝kπ，k∈Z
无对称轴
1．概念辨析
(1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．( )
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( )
(3)函数f(x)＝sin的最小正周期为2π.( )
(4)sin20°
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)函数y＝tan2x的定义域是( )
A．｛x B．｛x
C．｛x D．｛x
答案 D
解析 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以y＝tan2x的定义域是｛x.
(2)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝tan2x D．y＝sin
答案 A
解析 对于A，y＝cos＝－sin2x，最小正周期为π且图象关于原点对称；对于B，y＝sin＝cos2x的图象不关于原点对称；对于C，y＝tan2x的周期是；对于D，y＝sin的图象不关于原点对称．
(3)函数y＝1－2cosx的单调递减区间是________．
答案 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)
解析 y＝1－2cosx的单调递减区间就是y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．
(4)函数y＝3－2sin的最大值为________，此时x＝________.
答案 5 ＋2kπ(k∈Z)
解析 函数y＝3－2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
对应学生用书P067
题型 一 三角函数的定义域和值域
1．函数y＝lg (sin2x)＋的定义域为________．
答案 ∪
解析 由解得
所以－3≤x＜－或0
2．(2019·吉安模拟)函数f(x)＝sin3x＋3cos2x的值域为________．
答案
解析 由题意得
f(x)＝sin3x＋3cos2x＝sin3x＋3(1－sin2x)＝sin3x－3sin2x＋3，x∈，
令t＝sinx，则t∈，
所以g(t)＝t3－3t2＋3，t∈，
则g′(t)＝3t2－6t＝3t(t－2)，
当－
当0
又g＝，g(0)＝3，g(1)＝1.
所以函数f(x)的值域为.
3．(2019·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．
答案
解析 令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得
sinxcosx＝(1－t2)，
所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求．
因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1，
当t＝－时，ymin＝－－，
当t＝1时，ymax＝1，
所以原函数的值域为.
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．如举例说明1.
2．三角函数最值或值域的三种求法
直接法
直接利用sinx和cosx的值域求解
化一法
把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，由正弦(或余弦)函数的单调性写出函数的值域
换元法
把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数的值域问题求解．如举例说明2,3
1．函数y＝＋的定义域为________．
答案 ｛x
解析 由得所以2kπ＋π≤x<2kπ＋，k∈Z.所以y＝＋的定义域为｛x.
2．(2019·湖北七市联考)函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是________．
答案
解析 当x∈[0，π]时，ωx＋∈，又因为函数f(x)的值域为，所以可得ωπ＋∈，解得ω∈.
题型 二 三角函数的单调性
1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案 A
解析 作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．
由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.
2．已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则f＝0，所以sin＝0，
解得φ＝，故f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
条件探究 将本例中的函数的定义域改为[0，π]，则其单调递增区间为________．
答案 和
解析 记A＝｛x，B＝[0，π]．
观察数轴可知A∩B＝∪，
所以函数y＝f(x)，x∈[0，π]的单调递增区间为和.
3．若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是________．
答案
解析 函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z.
则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z，
且4k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
求三角函数单调区间的两种方法
(1)复合函数法
(2)图象法
画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．如举例说明1.
1．(2019·中山模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 由kπ－<－
A．f(0)
解析 因为函数f(x)＝x2－cosx是偶函数，且在(0，π)上是增函数，所以f(0)
答案
解析 f(x)＝cosx－sinx＝－(sinx－cosx)
＝－sin.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
取k＝0，得f(x)的一个减区间为.
由f(x)在[－a，a]上是减函数，得
∴a≤，故a的最大值为.
题型 三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度1 三角函数的周期性
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
答案 C
解析 由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
角度2 三角函数的奇偶性
2．若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
答案
解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
角度3 三角函数图象的对称性
3．(2019·广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
答案 A
解析 因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，所以sin＝1.所以cos＝0.所以函数y＝cos(2x＋φ)的图象关于点对称．
1．周期的计算方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．如举例说明1.
2．函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)．如举例说明2；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
3．与三角函数有关的图象的对称性问题
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．如举例说明3.
1．(2019·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是( )
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝sinxcosx
C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cos2x－sin2x
答案 D
解析 由f(x)＝f(－x)可知函数是偶函数，且f(x－π)＝f(x)，则函数的周期为π.A项中的函数是奇函数，故错误；B项中f(x)＝sinxcosx＝sin2x，为奇函数，故错误；C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为2π，故错误；D项中f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，该函数是周期为π的偶函数，故选D.
2．关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
答案 C
解析 y＝tan是非奇非偶函数，A错误；y＝tan在区间上单调递增，B错误；由2x－＝得x＝＋(k∈Z)，得函数y＝tan的对称中心为，k∈Z，故C正确；函数y＝tan的最小正周期为，D错误．
3．(2019·辽宁辽阳一模)已知偶函数f(x)＝2sin的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则f＝( )
A. B．－
C．－ D.
答案 B
解析 因为f(x)是偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)．又由题知<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin＝2cosωx，又＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，因此f＝2cos＝－.故选B.
对应学生用书P278
组 基础关
1．函数y＝cos是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
答案 A
解析 因为y＝cos＝cos＝－sin2x，故选A.
2．设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 sin＝sin＝－sin＝sin＝cos，cos＝cos＝cos＝cos，因为y＝cosx在上是减函数，所以cos>cos>cos，即a>c>b.
3．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是( )
答案 D
解析 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|
＝结合选项图形知，D正确．
4．已知函数f(x)＝tan2x，则下列说法不正确的是( )
A．y＝f(x)的最小正周期是π
B．y＝f(x)在上单调递增
C．y＝f(x)是奇函数
D．y＝f(x)的对称中心是(k∈Z)
答案 A
解析 函数y＝f(x)的最小正周期是，故A错误．当x∈时，2x∈，此时函数f(x)＝tan2x为增函数，故B正确．因为f(－x)＝tan2(－x)＝－tan2x＝－f(x)，所以f(x)＝tan2x是奇函数，故C正确．由2x＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，所以f(x)＝tan2x的对称中心是，k∈Z，故D正确．
5．(2019·福建六校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )
A．2或0 B．0
C．－2或0 D．－2或2
答案 D
解析 因为f＝f(－x)对任意x∈R都成立，所以函数f(x)的图象的一个对称轴是直线x＝，所以f＝±2.
6．已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，f是奇函数，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案 B
解析 因为f(x)＝cos(x＋φ)，所以f＝cos，又因为f是奇函数，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又0＜|φ|<，所以φ＝，f(x)＝cos，当x∈时，x＋∈，f(x)单调递减，当x∈时，x＋∈，f(x)先减后增，故选B.
7．(2019·衡水联考)函数f(x)＝sin－在区间(0，π)内的所有零点之和为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设t＝2x＋，则由x∈(0，π)，得t∈.由f(x)＝0得sint＝，结合函数y＝sint的图象可知此方程有两个实根t1和t2，且t1＋t2＝3π，所以函数f(x)在(0，π)内有两个零点x1和x2，且2x1＋＋2x2＋＝3π，所以x1＋x2＝.
8．函数f(x)＝＋tan的定义域是________．
答案 ｛x
解析 由得
所以0
9．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________.
答案
解析 由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，
即f(x)＝，所以f＝＝.
10．函数f(x)＝2020sin(0≤x≤2π)的值域是________．
答案 [1010,2020]
解析 因为0≤x≤2π，所以≤x＋≤.
所以≤sin≤1，
所以函数f(x)＝2020sin的值域为[1010,2020]．
组 能力关
1．(2020·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝
例如1]( )
A. B．[－1,1]
C. D.
答案 D
解析 画出函数f(x)＝的图象(如图中实线所示)．
根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2π)的情况即可．
观察图象可知函数f(x)的值域为.
2．(2019·辽宁省实验中学模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，那么下列命题中的假命题是( )
A．f(x)既不是奇函数也不是偶函数
B．f(x)在[－π，0]上恰有一个零点
C．f(x)是周期函数
D．f(x)在上是增函数
答案 B
解析 因为f(x)＝cos2x＋sinx，所以f(－x)＝cos2x－sinx.故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．所以A是真命题；令f(x)＝cos2x＋sinx＝0，得1－sin2x＋sinx＝0，解得sinx＝.此时x有两个值．所以f(x)在[－π，0]内恰有两个零点．所以B是假命题；因为f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－2＋.显然f(x)是周期函数，所以C是真命题；对于f(x)＝－2＋，令u＝sinx在上单调递减，则y＝－2＋在上单调递减，所以D是真命题．
3．(2020·赣州摸底)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
答案 ，k∈Z
解析 函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，
由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，
得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.
所以f(x)＝sin＋.
则f＝sin＋＝.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
4．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
解 (1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以sin≥sin＝－，
所以当x∈时，f(x)≥－.
组 素养关
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解 (1)∵f(x)＝sin的最小正周期为π，
∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.
2．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知h(x)＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，
得t＝＋(k∈Z)，
又t∈(0，π)，故t＝或.
(3)当x∈时，2x－∈，
所以f(x)∈[1,2]．
又|f(x)－m|<3，即f(x)－3
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