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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第1章第1讲 集合的概念与运算
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第一章 集合与常用逻辑用语
第1讲 集合的概念与运算
[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．
2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)
3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容．预测2021年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征： 确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
(1)基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子
集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合
相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
(2)结论
①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)．
②对于任意集合A，A⊆A.
③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，
且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，
或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合
{x|x∈U，且
x∉A}
∁UA
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．
1．概念辨析
(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．小题热身
(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x∈Z|－3＜2x－1≤3}，则A∪B＝( )
A．{－2,1} B．{0,1,2}
C．{－2，－1,0,1,2} D．{－2,0,1,2}
答案 D
解析 因为A＝{－2,1}，B＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0,1,2}，所以A∪B＝{－2,0,1,2}．
(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝( )
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
答案 B
解析 因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x＜1}．因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
(3)已知集合A＝{x|x＝3n，n∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则A与B的关系为________．
答案 BA
解析 任取x∈B，则x＝6m＝3·2m,2m∈N，所以x∈A，所以B⊆A，又3∈A但3∉B，所以BA.
(4)已知集合A＝，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为_______．
答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}
解析 由题意得＝x2，y＝0，解得x＝2，
所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．
题型 一 集合的基本概念与表示方法
1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则( )
A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈M
C．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P
答案 A
解析 解法一：设x0＝2n＋1，y0＝2k(n，k∈Z)，
则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，
x0y0＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P，
故a∈M，b∈P.
解法二：由已知得，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知a∈M，b∈P.
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
答案 A
解析 ∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.
3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，
解得a＝0或a＝－1或a＝1.
当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；
当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．
综上知a＝0或1.
1．用描述法表示集合的两个关键点
(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．
(2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明1，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合．如举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.
2．两个易错点
(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．
(2)忽视分类讨论．如举例说明2，要分x＝－1，x＝0和x＝1三种情况讨论，可以保证不重不漏．
1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．
2．已知单元素集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋1＝0}，则a等于( )
A．0 B．－4
C．－4或1 D．－4或0
答案 D
解析 因为集合A只有一个元素，所以一元二次方程x2－(a＋2)x＋1＝0有两个相等的实根，所以Δ＝(a＋2)2－4＝0，解得a＝－4或0.
题型 二 集合间的基本关系
1．集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系为( )
A．MN B．NM
C．M＝N D．MN且NM
答案 D
解析 因为1∈M,1∉N，所以MN，因为0∈N,0∉M，所以NM.综上知，M⃘N且N⃘M.
2．已知集合M＝x＝＋，k∈Z，集合N＝x＝－，k∈Z，则( )
A．MN B．NM
C．M＝N D．以上都不对
答案 A
解析 ∵＋＝π，k∈Z，
－＝π，k∈Z，
∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M，
∴MN.
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
答案 (－∞，3]
解析 因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
条件探究 将本例中的集合A改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，则实数m的取值范围为________．
答案 (－∞，2)∪(4，＋∞)
解析 因为B⊆A，所以
①当B＝∅时，即2m－1
解得或即m>4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
1．判断集合间关系的三种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明1
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．如举例说明2
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明3
2．根据集合间的关系求参数的策略
(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论
因为∅⊆A对任意集合A都成立．如举例说明3中2m－1
(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A＝{x|－2
1．(2020·广州市高三学情调研)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 A
解析 由x2＋ax＝0，得x(x＋a)＝0，所以x＝0或x＝－a.所以由已知条件可得－a＝1，所以a＝－1.
2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2 B．a>2
C．a<0 D．a≤0
答案 A
解析 ∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.
3．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．
答案 7
解析 集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.
题型 三 集合的基本运算
角度1 集合的并、交、补运算
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4
解析 由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2
A. B．(－∞，0)∪
C. D．(－∞，0]∪
答案 D
解析 因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg (x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪.
3．(2019·合肥模拟)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝________.
答案 {3}
解析 因为全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A＝{3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}，所以A∩(∁UB)＝{3}．
角度2 知集合的运算结果求参数
4．已知集合A＝{x|x2－ax≤0，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是( )
A．(1,2] B．[1,2)
C．(0,2] D．(0,1)∪(1,2]
答案 B
解析 因为集合A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则A∩B＝{0,1}，所以1≤a＜2.所以a的取值范围是[1,2)．
5．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m＝________.
答案 1或2
解析 A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A.
x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0，
当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；
当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.
综上知m＝1或2.
1．求集合交集、并集或补集的步骤
2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点
(1)分析运算结果并进行恰当转换．
如举例说明5中，由(∁UA)∩B＝∅，知B⊆A.
(2)化简集合为求参数创造有利条件．
如举例说明5中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．
1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
答案 D
解析 ∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.
2．(2019·中原名校模拟)集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝( )
A．{(－1，－1)，(1，－1)} B．{－1}
C．[－1,0] D．[－，0]
答案 D
解析 由y＝－x2，x∈R得y≤0，所以集合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R得N＝[－，]，所以M∩N＝[－，0]，故选D.
3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，4]
答案 C
解析 集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．
题型 四 集合的新定义问题
设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为________；
(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．
答案 (1)100110 (2)4
解析 (1)由已知得，∁UM＝{1,4,5}，
则∁UM表示的6位字符串为100110.
(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，
则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6)，
故满足条件的集合B的个数是4.
与集合相关的新定义问题的解题思路
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．
如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.
答案 {0,6}
解析 由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．
组 基础关
1．设集合P＝{x|0≤x≤}，m＝，则下列关系中正确的是( )
A．m⊆P B．mP
C．m∈P D．m∉P
答案 D
解析 ∵>，∴m∉P.
2．已知全集U＝R，则表示集合M＝{x|x2＋3x＝0}和N＝{－3,0,3}关系的示意图是( )
答案 D
解析 因为集合M＝{－3,0}，N＝{－3,0,3}，所以MN，故选D.
3．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34∉A
答案 C
解析 令k＝0得x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k－1，解得k＝－∉Z，故－11∉A；令－34＝3k－1，解得k＝－11∈Z，故－34∈A；对于3k2－1，因为k∈Z时，k2∈Z，所以3k2－1∈A.故选C.
4．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2,1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
答案 A
解析 A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A.
5．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )
A. B.
C．0 D．0或
答案 D
解析 当a＝0时，A＝，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×2＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．综上可知，a＝0或.
6．(2020·茂名市摸底)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中元素的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 解方程组得或所以M∩N＝.所以M∩N中元素的个数为2.
7．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是( )
A．[0,1] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．[－1,2] D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
答案 4
解析 因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则所以a＝4.
9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是________．
答案 {－1,0,1}
解析 因为B⊆A，所以①当B＝∅时，可知a＝0，显然成立．②当B＝{1}时，可得a＝1，符合题意．③当B＝{－1}时，可得a＝－1，符合题意．故满足条件的a的取值集合是{－1,0,1}．
10．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019＝________.
答案 －1
解析 ∵＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.
∴b＝0，a2＝1，又a≠1，∴a＝－1，
∴a2019＋b2019＝－1.
组 能力关
1．设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是( )
A．M＝N B．N⊆M
C．M⊆N D．M∩N＝∅
答案 A
解析 因为集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．所以M＝N.
2．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
答案 D
解析 因为集合A＝{x|log2x＜log22}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜c}，又由A∪B＝B，得A⊆B，所以c≥2.
3．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝a≤x≤2a－1，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
答案 A
解析 因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.
4．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为( )
A．15 B．16
C．32 D．256
答案 A
解析 由题意得，满足题意的“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1，1，，2，，3，其中和2，和3必须同时出现．所以集合M的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数为24－1＝15.
5．设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－1或a＝1
解析 ∵A∩B＝B，∴B⊆A.又A＝{0，－4}，
∴B的可能情况有∅，{－4}，{0}，{－4,0}．
①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
②若B＝{－4}，则a∈∅.
③若B＝{0}，则a＝－1.
④若B＝{－4,0}，则a＝1.
综上可知，a≤－1或a＝1.
6．设数集M＝x，N＝x，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．
答案
解析 由已知得，当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的长度最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝x，其长度为－＝.
当m＝且n＝时，M∩N＝x，
其长度为－＝.综上可知，M∩N的长度的最小值为.
第一章 集合与常用逻辑用语
第1讲 集合的概念与运算
[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．
2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)
3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容．预测2021年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征： 确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
(1)基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子
集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合
相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
(2)结论
①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)．
②对于任意集合A，A⊆A.
③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，
且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，
或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合
{x|x∈U，且
x∉A}
∁UA
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．
1．概念辨析
(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．小题热身
(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x∈Z|－3＜2x－1≤3}，则A∪B＝( )
A．{－2,1} B．{0,1,2}
C．{－2，－1,0,1,2} D．{－2,0,1,2}
答案 D
解析 因为A＝{－2,1}，B＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0,1,2}，所以A∪B＝{－2,0,1,2}．
(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝( )
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
答案 B
解析 因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x＜1}．因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
(3)已知集合A＝{x|x＝3n，n∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则A与B的关系为________．
答案 BA
解析 任取x∈B，则x＝6m＝3·2m,2m∈N，所以x∈A，所以B⊆A，又3∈A但3∉B，所以BA.
(4)已知集合A＝，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为_______．
答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}
解析 由题意得＝x2，y＝0，解得x＝2，
所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．
题型 一 集合的基本概念与表示方法
1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则( )
A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈M
C．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P
答案 A
解析 解法一：设x0＝2n＋1，y0＝2k(n，k∈Z)，
则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，
x0y0＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P，
故a∈M，b∈P.
解法二：由已知得，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知a∈M，b∈P.
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
答案 A
解析 ∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.
3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，
解得a＝0或a＝－1或a＝1.
当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；
当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．
综上知a＝0或1.
1．用描述法表示集合的两个关键点
(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．
(2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明1，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合．如举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.
2．两个易错点
(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．
(2)忽视分类讨论．如举例说明2，要分x＝－1，x＝0和x＝1三种情况讨论，可以保证不重不漏．
1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．
2．已知单元素集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋1＝0}，则a等于( )
A．0 B．－4
C．－4或1 D．－4或0
答案 D
解析 因为集合A只有一个元素，所以一元二次方程x2－(a＋2)x＋1＝0有两个相等的实根，所以Δ＝(a＋2)2－4＝0，解得a＝－4或0.
题型 二 集合间的基本关系
1．集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系为( )
A．MN B．NM
C．M＝N D．MN且NM
答案 D
解析 因为1∈M,1∉N，所以MN，因为0∈N,0∉M，所以NM.综上知，M⃘N且N⃘M.
2．已知集合M＝x＝＋，k∈Z，集合N＝x＝－，k∈Z，则( )
A．MN B．NM
C．M＝N D．以上都不对
答案 A
解析 ∵＋＝π，k∈Z，
－＝π，k∈Z，
∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M，
∴MN.
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
答案 (－∞，3]
解析 因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
条件探究 将本例中的集合A改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，则实数m的取值范围为________．
答案 (－∞，2)∪(4，＋∞)
解析 因为B⊆A，所以
①当B＝∅时，即2m－1
解得或即m>4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
1．判断集合间关系的三种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明1
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．如举例说明2
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明3
2．根据集合间的关系求参数的策略
(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论
因为∅⊆A对任意集合A都成立．如举例说明3中2m－1
(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A＝{x|－2
1．(2020·广州市高三学情调研)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 A
解析 由x2＋ax＝0，得x(x＋a)＝0，所以x＝0或x＝－a.所以由已知条件可得－a＝1，所以a＝－1.
2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2 B．a>2
C．a<0 D．a≤0
答案 A
解析 ∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.
3．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．
答案 7
解析 集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.
题型 三 集合的基本运算
角度1 集合的并、交、补运算
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4
解析 由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2
A. B．(－∞，0)∪
C. D．(－∞，0]∪
答案 D
解析 因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg (x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪.
3．(2019·合肥模拟)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝________.
答案 {3}
解析 因为全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A＝{3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}，所以A∩(∁UB)＝{3}．
角度2 知集合的运算结果求参数
4．已知集合A＝{x|x2－ax≤0，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是( )
A．(1,2] B．[1,2)
C．(0,2] D．(0,1)∪(1,2]
答案 B
解析 因为集合A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则A∩B＝{0,1}，所以1≤a＜2.所以a的取值范围是[1,2)．
5．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m＝________.
答案 1或2
解析 A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A.
x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0，
当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；
当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.
综上知m＝1或2.
1．求集合交集、并集或补集的步骤
2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点
(1)分析运算结果并进行恰当转换．
如举例说明5中，由(∁UA)∩B＝∅，知B⊆A.
(2)化简集合为求参数创造有利条件．
如举例说明5中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．
1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
答案 D
解析 ∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.
2．(2019·中原名校模拟)集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝( )
A．{(－1，－1)，(1，－1)} B．{－1}
C．[－1,0] D．[－，0]
答案 D
解析 由y＝－x2，x∈R得y≤0，所以集合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R得N＝[－，]，所以M∩N＝[－，0]，故选D.
3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，4]
答案 C
解析 集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．
题型 四 集合的新定义问题
设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为________；
(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．
答案 (1)100110 (2)4
解析 (1)由已知得，∁UM＝{1,4,5}，
则∁UM表示的6位字符串为100110.
(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，
则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6)，
故满足条件的集合B的个数是4.
与集合相关的新定义问题的解题思路
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．
如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.
答案 {0,6}
解析 由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．
组 基础关
1．设集合P＝{x|0≤x≤}，m＝，则下列关系中正确的是( )
A．m⊆P B．mP
C．m∈P D．m∉P
答案 D
解析 ∵>，∴m∉P.
2．已知全集U＝R，则表示集合M＝{x|x2＋3x＝0}和N＝{－3,0,3}关系的示意图是( )
答案 D
解析 因为集合M＝{－3,0}，N＝{－3,0,3}，所以MN，故选D.
3．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34∉A
答案 C
解析 令k＝0得x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k－1，解得k＝－∉Z，故－11∉A；令－34＝3k－1，解得k＝－11∈Z，故－34∈A；对于3k2－1，因为k∈Z时，k2∈Z，所以3k2－1∈A.故选C.
4．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2,1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
答案 A
解析 A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A.
5．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )
A. B.
C．0 D．0或
答案 D
解析 当a＝0时，A＝，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×2＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．综上可知，a＝0或.
6．(2020·茂名市摸底)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中元素的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 解方程组得或所以M∩N＝.所以M∩N中元素的个数为2.
7．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是( )
A．[0,1] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．[－1,2] D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
答案 4
解析 因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则所以a＝4.
9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是________．
答案 {－1,0,1}
解析 因为B⊆A，所以①当B＝∅时，可知a＝0，显然成立．②当B＝{1}时，可得a＝1，符合题意．③当B＝{－1}时，可得a＝－1，符合题意．故满足条件的a的取值集合是{－1,0,1}．
10．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019＝________.
答案 －1
解析 ∵＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.
∴b＝0，a2＝1，又a≠1，∴a＝－1，
∴a2019＋b2019＝－1.
组 能力关
1．设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是( )
A．M＝N B．N⊆M
C．M⊆N D．M∩N＝∅
答案 A
解析 因为集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．所以M＝N.
2．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
答案 D
解析 因为集合A＝{x|log2x＜log22}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜c}，又由A∪B＝B，得A⊆B，所以c≥2.
3．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝a≤x≤2a－1，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
答案 A
解析 因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.
4．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为( )
A．15 B．16
C．32 D．256
答案 A
解析 由题意得，满足题意的“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1，1，，2，，3，其中和2，和3必须同时出现．所以集合M的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数为24－1＝15.
5．设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－1或a＝1
解析 ∵A∩B＝B，∴B⊆A.又A＝{0，－4}，
∴B的可能情况有∅，{－4}，{0}，{－4,0}．
①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
②若B＝{－4}，则a∈∅.
③若B＝{0}，则a＝－1.
④若B＝{－4,0}，则a＝1.
综上可知，a≤－1或a＝1.
6．设数集M＝x，N＝x，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．
答案
解析 由已知得，当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的长度最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝x，其长度为－＝.
当m＝且n＝时，M∩N＝x，
其长度为－＝.综上可知，M∩N的长度的最小值为.
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