2020高考数学文科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.7

知识点一  抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

1．判断正误

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)

(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　×　)

(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　×　)

2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　B　)

A．9　　 　　B．8　　 　　C．7　　 　　D．6

解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.

知识点二  抛物线的标准方程与几何性质

3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　D　)

A．y2＝2x  B．y2＝－2x

C．y2＝4x  D．y2＝－4x

解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.

4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.

解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．

当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；

当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.

综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.

5．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0)．

解析：由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

1．抛物线定义的两点理解

(1)定点不在定直线上．

(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．

2．抛物线的方程特点

(1)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线．

(2)y2＝2px(p>0)：

①p表示焦点到准线的距离；

②2p为通径长．

3．抛物线的图形特点

抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．　　　　　　　　　　　　　　

考向一  抛物线的定义及标准方程

【例1】　(1)(2019·河南豫南九校联考)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)

A．2   B.

C.   D．3

(2)(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线方程是(　　)

A．y2＝4x  B．y2＝－4x

C．y2＝8x  D．y2＝－8x

【解析】　(1)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.

(2)因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.

【答案】　(1)A　(2)D

1.应用抛物线定义的两个关键点,1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.

2注意灵活运用抛物线上一点Px0，y0到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.

2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

(1)已知椭圆＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为(　A　)

A．2  B．4

C．3  D．4

(2)(2019·保定模拟)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　C　)

A．y2＝4x或y2＝8x   B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x   D．y2＝2x或y2＝16x

解析：(1)∵椭圆＋x2＝1，∴c2＝5－1＝4，即c＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x2＝ay，∴抛物线的焦点坐标为，∵椭圆＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，∴＝2，即a＝8，则抛物线方程为x2＝8y，准线方程为y＝－2，∵|AF|＝4，由抛物线的定义得A到准线的距离为4，y＋2＝4，即点A的纵坐标y＝2，又点A在抛物线上，∴x＝±4，不妨取点A坐标为(4,2)，A关于准线的对称点的坐标为B(4，－6)，则|PA|＋|PO|＝|PB|＋|PO|≥|OB|，即O，P，B三点共线时，有最小值，最小值为|OB|＝＝＝＝2，故选A.

(2)由已知得抛物线的焦点F，

设点M(x0，y0)，则＝，＝.

由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，

因而y0＝4，M.

由|MF|＝5，得＝5.

又p>0，解得p＝2或p＝8.

考向二  抛物线的几何性质

【例2】　(2019·安徽质量检测)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】　设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，

由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，

∴点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，

∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，

∵k>0，∴点B的坐标为(1,2)，

∴k＝＝.故选D.

【答案】　D

在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

(2019·安徽滁州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|＝5.

解析：设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，所以∠FAM＝，又|MA|＝|MF|，所以|MA|＝|MF|＝|FA|＝2|FB|，又由已知p＝×2＝，即|FB|＝，所以|MF|＝5.

考向三  直线与抛物线的位置关系

方向1　焦点弦问题

【例3】　已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A．16  B．14

C．12  D．10

【解析】　由抛物线y2＝4x知F(1,0)，故可设直线l1的方程为y＝k(x－1)，直线l1的方程与y2＝4x联立并消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2＋，x1·x2＝＝1，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋，同理l2的方程为y＝－(x－1)，与y2＝4x联立可得|DE|＝4＋4k2.∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16.当k＝±1时取等号．故选A.

【答案】　A

方向2　直线与抛物线的位置关系

【例4】　(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM＝∠ABN.

【解】　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．

所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.

(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.

由得ky2－2y－4k＝0，

可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.

直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.　①

将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.

所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.

综上，∠ABM＝∠ABN.

1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.

2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p或|AB|＝|y1|＋|y2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.

1．(方向1)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为(　D　)

A．4   B．8

C．12   D．16

解析：抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.

2．(方向2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　D　)

A．5  B．6

C．7  D．8

解析：解法1：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由

得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.

解法2：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.

抛物线的拓展结论

对抛物线y2＝2px(p>0)，设θ为过焦点的弦AB的倾斜角，则有：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝≥2p；(3)＋为定值；(4)抛物线焦点三角形面积公式：S△OAB＝；(5)以AB为直径的圆与准线相切；(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

典例　设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为________．

【解析】　设直线AB的倾斜角为θ，由题意知p＝2，F(1,0)，＝3.因为＋＝，所以＋＝1，所以|BF|＝，|AF|＝4，所以|AB|＝.又由抛物线焦点弦公式|AB|＝，可得＝，所以sin2θ＝，所以sinθ＝，所以斜率k＝tanθ＝±.

【答案】　±