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2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章第五节 椭圆 学案
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第五节 椭 圆
2019考纲考题考情
1．椭圆的概念
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2。
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．椭圆的标准方程和几何性质
1．椭圆方程中的a，b，c
(1)a，b，c关系：a2＝b2＋c2。
(2)e与：因为e＝＝＝，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆。
2．在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：－a≤x≤a，－b≤y≤b,0
椭圆上的点P与焦点F1，F2若构成三角形，则称△PF1F2为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系。
一、走进教材
1．(选修1－1P42A组T1改编)若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
解析 设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1。故选A。
答案 A
2．(选修1－1P42A组T4改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C．2－ D．－1
解析 设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0
解析：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c。因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，所以e＝＝＝－1。故选D。
答案 D
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点。若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－
C． D．－1
解析 在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c，又由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝－1。故选D。
答案 D
4．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点。若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
解析 依题意得，
或所以
或解得0
三、走出误区
微提醒：①忽视椭圆定义中的限制条件；②忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论；③忽视点P坐标的限制条件。
5．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0,9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________。
解析 由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段。
答案 线段F1F2
6．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8
C．4或8 D．12
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0,10－m－(m－2)＝4，所以m＝4。当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8。所以m＝4或8。
答案 C
7．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________________。
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)。由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或。
答案 或
第1课时 椭圆的定义及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及应用
【例1】 (1)过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为( )
A．8 B．4
C．4 D．2
(2)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析 (1)因为＋y2＝1，所以a＝2。由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝8。故选A。
(2)因为椭圆方程为＋＝1，所以焦点为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)。因为|PA|－|PB′|≤|AB′|，所以|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当P在AB′延长线上时，等号成立。故|PA|＋|PB|的最大值为5。
答案 (1)A (2)A
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等。面积公式S△PF1F2＝b2tan(其中θ＝∠F1PF2)。
【变式训练】 (1)(2019·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A． B．
C． D．
(2)已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________。
解析 (1)如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝。故选D。
(2)依题意a＝7，b＝2，c＝＝5，|F1F2|＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100。又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100。解得|PF1|·|PF2|＝48。
答案 (1)D (2)48
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为________。
(2)设F1、F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________。
解析 (1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)。由解得m＝，n＝，故椭圆的标准方程为＋＝1。
(2)因为△F2AB是面积为4的等边三角形，所以AB⊥x轴，所以A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝。又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，所以＝×2c ①。又S△F2AB＝×2c×＝4 ②，a2＝b2＋c2 ③，由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1。
答案 (1)＋＝1 (2)＋＝1
1．求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组。
2．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，求出m，n的值即可。
3．椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为。
【变式训练】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
(2)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(0
(2)因为3|AF1|＝5|AF2|，由定义有|AF1|＋|AF2|＝4，解得|AF2|＝，又AF2⊥x轴，故|AF2|＝＝，所以b2＝3，故椭圆方程为＋＝1。
答案 (1)D (2)＋＝1
考点三 椭圆的简单几何性质微点小专题
方向1：求离心率的值或范围
【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2019·豫南联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析 (1)根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2，所以椭圆C的离心率为e＝＝。故选C。
(2)由题知c2＝1，焦点A、B在x轴上。不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，与直线l的方程联立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为。故选A。
答案 (1)C (2)A
求椭圆离心率的三种方法
1．直接求出a，c来求解e。通过已知条件列方程组，解出a，c的值。
2．构造a，c的齐次式，解出e。由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解。
3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率。
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根。
方向2：最值问题
【例4】 (2018·浙江高考)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大。
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2。因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以y1＝，x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2。
答案 5
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围。
2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围。
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围。
4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围。
【题点对应练】
1．(方向1)P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为( )
A． B．
C． D．
解析 如图，不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)。故选D。
答案 D
2．(方向1)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析 设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥。又因为0
3．(方向2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________。
解析 由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3。故椭圆方程为＋＝1。设P点坐标为(x0，y0)。所以－2≤x0≤2，－≤y0≤。因为F(－1，0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2。则当x0＝－2时，·取得最大值4。
答案 4
1．(配合例1使用)已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析
设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8。
答案 B
2．(配合例2使用)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为________。
解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)。由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b＝2。因为e＝＝，所以a＝2c，又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1。
答案 ＋＝1
3．(配合例3使用)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A． B．
C． D．
解析 由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c。又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝。故选B。
答案 B
4．(配合例4使用)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________。
解析 由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，当P(x0，y0)在线段F1F2上(不在原点)时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)。
答案 [2,2)
第2课时 椭圆的综合问题
考点一 直线与椭圆的相交弦问题
【例1】 (2018·北京高考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2。斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B。
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值。
解 (1)由题意得
解得a＝，b＝1。
所以椭圆M的方程为＋y2＝1。
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)。
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0。
Δ＝48－12m2>0⇒m2<4，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝。
|AB|＝
＝
＝
＝
＝。
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为。
1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题。
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)。
3．利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式。
【变式训练】 斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B．
C． D．
解析 设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号)。故选C。
答案 C
考点二 中点弦问题
【例2】 (2019·南宁摸底)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析 设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2。易知直线AB的斜率k＝＝1。由两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝。故选C。
答案 C
弦及弦中点问题的解决方法
1．根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点。
2．点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率。
【变式训练】 已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，即＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0。
答案 B
考点三 证明问题
【例3】 已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA。
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为。
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2。
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0。
解得y＝0或y＝，所以y1＝。
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝。
(2)证明：将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k>0)代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0。
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝。
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝。
由2|AM|＝|AN|得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0。
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，
f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，
所以f(t)在(0，＋∞)内单调递增。
又f()＝15－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以
破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出大致图形，把已知条件翻译到图形中，利用直线方程的点斜式，即可快速表示出直线方程，进而求出点M的纵坐标，从而求出△AMN的面积；二是“转化”桥梁，即先把直线AM的方程和椭圆方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系及弦长公式，再根据2|AM|＝|AN|把问题转化为关于k的方程，再借助于导数即可证得结论。
【变式训练】 已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点。
(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l。
解 由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)。
(1)因为直线l1的倾斜角为，所以斜率k＝1。
所以直线l1的方程为y＝x－1。
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－。
所以|AB|＝·
＝× ＝。
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)。
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝。
设N(5，y0)，因为A，M，N三点共线，
所以＝，所以y0＝。
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0。
所以直线BN∥x轴，即BN⊥l。
考点四 最值与范围问题
【例4】 (2019·沈阳质监)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且有|PF1|＋|PF2|＝2。
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值。
解 (1)由|PF1|＋|PF2|＝2，得2a＝2，所以a＝。
将P代入＋＝1，得b2＝1。
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1。
(2)由已知，直线l的斜率为零时，不合题意，
设直线l的方程为x－1＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得消去x化简整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
由根与系数的关系，得
S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|
＝
＝
＝×
＝×
＝×
≤×
＝，
当且仅当m2＋1＝，即m＝0时，等号成立，
所以△AOB面积的最大值为。
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用导数、不等式等进行求解。
【变式训练】 (2019·长春质监)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E。
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝λ，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围。
解 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由解得
所以椭圆C的方程为＋＝1。
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，
联立方程，得
整理得y2－y－9＝0，
Δ＝＋144>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝λ，所以y1＝－λy2，
所以y1y2＝(y1＋y2)2，
则＝，λ＋－2＝，
因为2≤λ<3，所以≤λ＋－2<，
即≤<，且k>0，解得0
1．(配合例3使用)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(1,0)，椭圆Γ的左、右顶点分别为M，N。过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍。
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD＝∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
解 (1)因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，
所以|MF|＝3|NF|，即a＋c＝3(a－c)，所以a＝2c＝2。
又a2＝b2＋c2，所以b2＝3。
故椭圆Γ的方程为＋＝1。
(2)当∠ACD＝∠BCD时，kAC＋kBC＝0。
设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为－k，
不妨设点C在x轴上方，C，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线AC的方程为y－＝k(x－1)，
代入＋＝1中整理，
得(3＋4k2)x2－4k(2k－3)x＋4k2－12k－3＝0，
1＋x1＝。
同理1＋x2＝。
所以x1＋x2＝，x1－x2＝，
则kAB＝＝＝，
因此直线AB的斜率是定值。
2．(配合例4使用)已知点M是圆E：(x＋)2＋y2＝16上的动点，点F(，0)，线段MF的垂直平分线交线段EM于点P。
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切，设矩形ABCD的面积为S，求S的取值范围。
解 (1)依题意，得|PM|＝|PF|，
所以|PE|＋|PF|＝|PE|＋|PM|＝|ME|＝4(为定值)，|EF|＝2，4>2，所以点P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，其中2a＝4,2c＝2，
所以P点的轨迹C的方程是＋y2＝1。
(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得S＝8。
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝k1x＋m，直线BC的方程为y＝k2x＋n，则直线CD的方程为y＝k1x－m，直线AD的方程为y＝k2x－n，其中k1·k2＝－1，
直线AB与CD间的距离d1＝＝，
同理直线BC与AD间的距离d2＝＝，
所以S＝d1·d2＝·。
由得x2＋2k1mx＋m2－1＝0。
因为直线AB与椭圆相切，所以Δ＝4k＋1－m2＝0，
所以|m|＝，同理|n|＝，
所以S＝
＝
＝
＝4·
＝4·，
因为k＋≥2(当且仅当k1＝±1时，不等式取等号)，
所以4
2019考纲考题考情
1．椭圆的概念
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2。
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．椭圆的标准方程和几何性质
1．椭圆方程中的a，b，c
(1)a，b，c关系：a2＝b2＋c2。
(2)e与：因为e＝＝＝，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆。
2．在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：－a≤x≤a，－b≤y≤b,0
椭圆上的点P与焦点F1，F2若构成三角形，则称△PF1F2为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系。
一、走进教材
1．(选修1－1P42A组T1改编)若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
解析 设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1。故选A。
答案 A
2．(选修1－1P42A组T4改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C．2－ D．－1
解析 设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0
解析：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c。因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，所以e＝＝＝－1。故选D。
答案 D
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点。若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－
C． D．－1
解析 在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c，又由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝－1。故选D。
答案 D
4．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点。若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
解析 依题意得，
或所以
或解得0
三、走出误区
微提醒：①忽视椭圆定义中的限制条件；②忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论；③忽视点P坐标的限制条件。
5．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0,9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________。
解析 由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段。
答案 线段F1F2
6．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8
C．4或8 D．12
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0,10－m－(m－2)＝4，所以m＝4。当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8。所以m＝4或8。
答案 C
7．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________________。
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)。由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或。
答案 或
第1课时 椭圆的定义及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及应用
【例1】 (1)过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为( )
A．8 B．4
C．4 D．2
(2)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析 (1)因为＋y2＝1，所以a＝2。由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝8。故选A。
(2)因为椭圆方程为＋＝1，所以焦点为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)。因为|PA|－|PB′|≤|AB′|，所以|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当P在AB′延长线上时，等号成立。故|PA|＋|PB|的最大值为5。
答案 (1)A (2)A
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等。面积公式S△PF1F2＝b2tan(其中θ＝∠F1PF2)。
【变式训练】 (1)(2019·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A． B．
C． D．
(2)已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________。
解析 (1)如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝。故选D。
(2)依题意a＝7，b＝2，c＝＝5，|F1F2|＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100。又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，即196－2|PF1|·|PF2|＝100。解得|PF1|·|PF2|＝48。
答案 (1)D (2)48
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为________。
(2)设F1、F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________。
解析 (1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)。由解得m＝，n＝，故椭圆的标准方程为＋＝1。
(2)因为△F2AB是面积为4的等边三角形，所以AB⊥x轴，所以A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝。又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，所以＝×2c ①。又S△F2AB＝×2c×＝4 ②，a2＝b2＋c2 ③，由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1。
答案 (1)＋＝1 (2)＋＝1
1．求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组。
2．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，求出m，n的值即可。
3．椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为。
【变式训练】 (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
(2)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(0
(2)因为3|AF1|＝5|AF2|，由定义有|AF1|＋|AF2|＝4，解得|AF2|＝，又AF2⊥x轴，故|AF2|＝＝，所以b2＝3，故椭圆方程为＋＝1。
答案 (1)D (2)＋＝1
考点三 椭圆的简单几何性质微点小专题
方向1：求离心率的值或范围
【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2019·豫南联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析 (1)根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2，所以椭圆C的离心率为e＝＝。故选C。
(2)由题知c2＝1，焦点A、B在x轴上。不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，与直线l的方程联立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为。故选A。
答案 (1)C (2)A
求椭圆离心率的三种方法
1．直接求出a，c来求解e。通过已知条件列方程组，解出a，c的值。
2．构造a，c的齐次式，解出e。由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解。
3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率。
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根。
方向2：最值问题
【例4】 (2018·浙江高考)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大。
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2。因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以y1＝，x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2。
答案 5
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围。
2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围。
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围。
4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围。
【题点对应练】
1．(方向1)P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为( )
A． B．
C． D．
解析 如图，不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)。故选D。
答案 D
2．(方向1)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析 设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥。又因为0
3．(方向2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________。
解析 由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3。故椭圆方程为＋＝1。设P点坐标为(x0，y0)。所以－2≤x0≤2，－≤y0≤。因为F(－1，0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2。则当x0＝－2时，·取得最大值4。
答案 4
1．(配合例1使用)已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析
设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8。
答案 B
2．(配合例2使用)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为________。
解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)。由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b＝2。因为e＝＝，所以a＝2c，又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1。
答案 ＋＝1
3．(配合例3使用)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A． B．
C． D．
解析 由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c。又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝。故选B。
答案 B
4．(配合例4使用)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________。
解析 由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，当P(x0，y0)在线段F1F2上(不在原点)时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)。
答案 [2,2)
第2课时 椭圆的综合问题
考点一 直线与椭圆的相交弦问题
【例1】 (2018·北京高考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2。斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B。
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值。
解 (1)由题意得
解得a＝，b＝1。
所以椭圆M的方程为＋y2＝1。
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)。
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0。
Δ＝48－12m2>0⇒m2<4，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝。
|AB|＝
＝
＝
＝
＝。
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为。
1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题。
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)。
3．利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式。
【变式训练】 斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B．
C． D．
解析 设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号)。故选C。
答案 C
考点二 中点弦问题
【例2】 (2019·南宁摸底)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析 设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2。易知直线AB的斜率k＝＝1。由两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝。故选C。
答案 C
弦及弦中点问题的解决方法
1．根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点。
2．点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率。
【变式训练】 已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，即＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0。
答案 B
考点三 证明问题
【例3】 已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA。
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为。
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2。
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0。
解得y＝0或y＝，所以y1＝。
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝。
(2)证明：将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k>0)代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0。
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝。
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝。
由2|AM|＝|AN|得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0。
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，
f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，
所以f(t)在(0，＋∞)内单调递增。
又f()＝15－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以
破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出大致图形，把已知条件翻译到图形中，利用直线方程的点斜式，即可快速表示出直线方程，进而求出点M的纵坐标，从而求出△AMN的面积；二是“转化”桥梁，即先把直线AM的方程和椭圆方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系及弦长公式，再根据2|AM|＝|AN|把问题转化为关于k的方程，再借助于导数即可证得结论。
【变式训练】 已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点。
(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l。
解 由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)。
(1)因为直线l1的倾斜角为，所以斜率k＝1。
所以直线l1的方程为y＝x－1。
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－。
所以|AB|＝·
＝× ＝。
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)。
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝。
设N(5，y0)，因为A，M，N三点共线，
所以＝，所以y0＝。
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0。
所以直线BN∥x轴，即BN⊥l。
考点四 最值与范围问题
【例4】 (2019·沈阳质监)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且有|PF1|＋|PF2|＝2。
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值。
解 (1)由|PF1|＋|PF2|＝2，得2a＝2，所以a＝。
将P代入＋＝1，得b2＝1。
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1。
(2)由已知，直线l的斜率为零时，不合题意，
设直线l的方程为x－1＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得消去x化简整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
由根与系数的关系，得
S△AOB＝|OF2|·|y1－y2|
＝
＝
＝×
＝×
＝×
≤×
＝，
当且仅当m2＋1＝，即m＝0时，等号成立，
所以△AOB面积的最大值为。
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用导数、不等式等进行求解。
【变式训练】 (2019·长春质监)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E。
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝λ，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围。
解 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由解得
所以椭圆C的方程为＋＝1。
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，
联立方程，得
整理得y2－y－9＝0，
Δ＝＋144>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝λ，所以y1＝－λy2，
所以y1y2＝(y1＋y2)2，
则＝，λ＋－2＝，
因为2≤λ<3，所以≤λ＋－2<，
即≤<，且k>0，解得0
1．(配合例3使用)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(1,0)，椭圆Γ的左、右顶点分别为M，N。过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍。
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD＝∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
解 (1)因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，
所以|MF|＝3|NF|，即a＋c＝3(a－c)，所以a＝2c＝2。
又a2＝b2＋c2，所以b2＝3。
故椭圆Γ的方程为＋＝1。
(2)当∠ACD＝∠BCD时，kAC＋kBC＝0。
设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为－k，
不妨设点C在x轴上方，C，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线AC的方程为y－＝k(x－1)，
代入＋＝1中整理，
得(3＋4k2)x2－4k(2k－3)x＋4k2－12k－3＝0，
1＋x1＝。
同理1＋x2＝。
所以x1＋x2＝，x1－x2＝，
则kAB＝＝＝，
因此直线AB的斜率是定值。
2．(配合例4使用)已知点M是圆E：(x＋)2＋y2＝16上的动点，点F(，0)，线段MF的垂直平分线交线段EM于点P。
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切，设矩形ABCD的面积为S，求S的取值范围。
解 (1)依题意，得|PM|＝|PF|，
所以|PE|＋|PF|＝|PE|＋|PM|＝|ME|＝4(为定值)，|EF|＝2，4>2，所以点P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，其中2a＝4,2c＝2，
所以P点的轨迹C的方程是＋y2＝1。
(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得S＝8。
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝k1x＋m，直线BC的方程为y＝k2x＋n，则直线CD的方程为y＝k1x－m，直线AD的方程为y＝k2x－n，其中k1·k2＝－1，
直线AB与CD间的距离d1＝＝，
同理直线BC与AD间的距离d2＝＝，
所以S＝d1·d2＝·。
由得x2＋2k1mx＋m2－1＝0。
因为直线AB与椭圆相切，所以Δ＝4k＋1－m2＝0，
所以|m|＝，同理|n|＝，
所以S＝
＝
＝
＝4·
＝4·，
因为k＋≥2(当且仅当k1＝±1时，不等式取等号)，
所以4
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