2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章第三节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划 学案

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划

2019考纲考题考情

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2．线性规划中的有关概念

3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内。

(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。

在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值。

一、走进教材

1．(必修5P86练习T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)

解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B。

答案　B

2．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　　)

A．3，－3   B．2，－4

C．4，－2   D．4，－4

解析　不等式组所表示的平面区域如图所示，其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C，画直线l0：y＝－2x，平移l0过点B时，zmax＝4，平移l0过点A时，zmin＝－2。故选C。

答案　C

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________。

解析　作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6。

答案　6

4．(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________。

解析　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，作出直线2y－x＝0，平移该直线，当直线过点A(1,2)时，2y－x取得最小值，最小值为2×2－1＝3。

答案　3

三、走出误区

微提醒：①不会用代点法判断平面区域；②不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；③不理解目标函数的几何意义。

5．下列命题中正确的是(　　)

A．点(0,1)在区域x－y＋1>0内

B．点(0,0)在区域x＋y＋1<0内

C．点(1,0)在区域y≥2x内

D．点(0,0)在区域x＋y≥0内

解析　将(0,0)代入x＋y≥0，成立。故选D。

答案　D

6．已知变量x，y满足约束条件则z＝x－y的最大值为________。

解析　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x－y＝0，平移直线经过点A(1,0)时，目标函数z＝x－y取得最大值，最大值为1。

答案　1

7．已知x，y满足条件则z＝的最大值为________。

解析　作出可行域如图，问题转化为区域上哪一点与点M(－3,1)连线斜率最大，观察知点A，使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3。

答案　3

考点一  利用二元一次不等式(组)表示平面区域

【例1】　(1)(2019·泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)

A．1   B．

C．   D．

(2)(2018·北京高考)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　　)

A．对任意实数a，(2,1)∈A

B．对任意实数a，(2,1)∉A

C．当且仅当a<0时，(2,1)∉A

D．当且仅当a≤时，(2,1)∉A

解析　(1)作出不等式组对应的区域如图中阴影部分所示，

由题意知xB＝1，xC＝2。由得yA＝，所以S△ABC＝×(xC－xB)×|yA|＝。故选D。

(2)当a＝－1时，集合A＝{(x，y)|x－y≥1，－x＋y>4，x＋y≤2}，显然(2,1)不满足－x＋y>4，x＋y≤2，所以A不正确；当a＝4时，集合A＝{(x，y)|x－y≥1,4x＋y>4，x－4y≤2}，显然(2,1)都满足上述三个不等式，在可行域内，所以B不正确；当a＝1时，集合A＝{(x，y)|x－y≥1，x＋y>4，x－y≤2}，显然(2,1)不满足x＋y>4，所以(2,1)∉A，所以C不正确。故选D。

答案　(1)D　(2)D

解决求平面区域面积问题的方法步骤

1．画出不等式组表示的平面区域。

2．判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解。

提醒：求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性。

【变式训练】　已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________。

解析　由题可推出a>0，依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC，所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a＝。

答案　

考点二  求目标函数的最值微点小专题

方向1：求线性目标函数的最值

【例2】　(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件

则z＝x＋y的最大值为________。

解析　画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示。作出直线x＋y＝0，平移该直线，当直线过点A(5,4)时，z取得最大值，zmax＝5＋4＝9。

答案　9

求目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目标函数z＝0，将直线ax＋by＝0平行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值。

方向2：求非线性目标函数问题的最值

【例3】　已知x，y满足约束条件则z＝的取值范围是________。

解析　画出满足条件的平面区域，如图所示：

由解得A(1,2)，由解得B(3，1)，而z＝＝1＋，而的几何意义表示过平面区域内的点与C(－1，－1)的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，kAC＝＝，kBC＝＝，所以z＝的最大值是1＋＝，最小值为1＋＝。

答案　

目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：

1.表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；

2.表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率。

方向3：含参数的线性规划问题

【例4】　(2019·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且z＝3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________。

解析　设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由z＝3(x－a)＋2(y＋1)，得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。

答案　2

求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。

【题点对应练】　

1．(方向1)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________。

解析　由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)。由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8。

答案　－2　8

2．(方向2)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)

A．　　　B．  C．－　　　D．－

解析　画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－。故选D。

答案　D

3．(方向3)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　　)

A．　　　B．  C．1　　　D．

解析　作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示。

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，为3，即2x＋y＝3。由解得即A，又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，所以b＝。故选A。

答案　A

考点三  线性规划的实际应用

【例5】　电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍。分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

解　(1)由已知，x，y满足

即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分：

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y。考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一组平行直线。为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大。又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。

解方程组得点M的坐标为(6,3)。

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。

利用线性规划解决实际问题的一般步骤

1．审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系。

2．设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量

为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数。

3．作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)。

4．求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)。

5．检验：根据结果，检验反馈。

【变式训练】　某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)

A．1 800元   B．2 400元

C．2 800元   D．3 100元

解析　设该公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y。作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点。作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800(元)。故选C。

答案　C

1．(配合例1使用)不等式组的解集记为D。有下面四个命题：

p1：∀(x，y)∈D，x－2y≥2；

p2：∃(x，y)∈D，x－2y≥3；

p3：∀(x，y)∈D，x－2y≥；

p4：∃(x，y)∈D，x－2y≤－2。

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3   B．p1，p4

C．p1，p2   D．p1，p3

解析　不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，

由解得所以M。由图可知，当直线z＝x－2y过点M处时，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，所以真命题是p2，p3。故选A。

答案　A

2．(配合例3使用)已知实数x，y满足则的最小值为________。

解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设k＝，由可行域可知k取得最小值时曲线y＝x4＋与直线y＝kx相切，设此时切点为P(x0，y0)(x0>0)，由y＝x4＋可得y′＝x3，所以切线方程为y－y0＝x(x－x0)，又y0＝x＋，所以切线方程可化为y＝xx－x＋x＋，即y＝xx－x＋，又该切线过原点O(0,0)，所以有x＝1，所以x0＝1，切线的斜率为x＝，则min＝。

答案　

3．(配合例4使用)若实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有两个，则m＝ax＋y＋1的最小值为(　　)

A．0   B．－2

C．1   D．－1

解析　如图所示，画出不等式组所表示的区域。因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有两个，所以－a＝1，即a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0。故选A。

答案　A