1-3-2 多位数计算.教师版（教案）

多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运算的一切考法，还有自身的“独门秘籍”，那就是“数字多的数不出来”，只能依靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。

多位数的主要考查方式有

1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算

2.计算多位数的各个位数字之和

一、            多位数运算求精确值的常见方法

1. 利用，进行变形

2. “以退为进”法找规律递推求解

二、            多位数运算求数字之和的常见方法

M×的数字和为9×k．(其中M为自然数，且M≤)．可以利用上面性质较快的获得结果．

模块一、多位数求精确值运算

【例 1】           计算：

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 乘以3凑出一个，然后在原式乘以3的基础上除以3，所以

原式

【答案】

【巩固】       计算：

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 乘以3凑出一个，然后在原式乘以3的基础上除以3，所以

原式

【答案】

【巩固】       计算

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       我们可以把转化为，进而可以进行下一步变形，具体为：

原式

【答案】

【巩固】       计算的乘积是多少？

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       我们可以将原题的多位数进行的变形：

原式==

=（）=×-

=.

【答案】

【巩固】       快来自己动手算算的结果看谁算得准？

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       本题是提取公因数和凑整的综合。

原式

【答案】

【巩固】       计算

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       本题着重是给大家一种凑的思想，除数是，所以需要我们的被除数也能凑出

       这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以：

   原式

【答案】

【例 2】           请你计算结果的末尾有多少个连续的零？

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开

方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律

9×9=81；99×99=9801 ；999×999=998001；9999×9999=99980001；……

所以：

原式

方法二：观察一下你会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 很接近 1 000 ，于是我们采用添项凑整，简化运算。

  原式

所以末尾有4016个0

【答案】4016个0

【例 3】           计算的积

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       我们先还是同上例来凑成；

＝＝

＝＝

＝、

我们知道能被9整除，商为：049382716．又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除．能被9整除，商为04938271595；我们知道能被9整除，商为：061728395；这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．能被9整除，商为0617284．于是，最终的商为：

【答案】

【例 4】           计算：

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       原式

【答案】

【巩固】      

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【关键词】武汉，明心奥数

【解析】       原式

【答案】

【例 5】           求的末三位数字.

【考点】多位数计算之求精确值           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300 ，

则，原式末三位数字为701

【答案】

模块二、多位数求数字之和

【例 6】           求乘积的各位数字之和.

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       方法一：本题可用找规律方法：

3×6=18  ； 33 × 66 =2178  ；333 × 666 =221778；3333 × 6666 =22217778；……

所以：，则原式数字之和

原式

所以，各位数字之和为

【答案】

【巩固】       求111 111 × 999 999 乘积的各位数字之和。

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 999 很接近 1 000 000, 于是我们采用添项凑整，简化运算。

原式=111111×(1000000-1)

=111111×1000000-111111×1

=111111000000-111111

=111110888889
数字之和为

【答案】

【例 7】           如果，那么A的各位数字之和等于    。

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】3星          【题型】计算

【关键词】学而思杯，5年级

【解析】 ，所以
，，数字和为.

【答案】

【例 8】           若，则整数的所有数位上的数字和等于（    ）．

  （）     （）    （）    （）

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】3星          【题型】选择

【关键词】第十三届，华杯赛

【解析】      

所以整数的所有数位上的数字和．

【答案】（）

【巩固】       计算的乘积数字和是多少?

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】4星          【题型】计算

【解析】       我们还是利用，来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成，于是我们就创造条件使用：

×=[×（）]×[×（）+1]×25

=××[2×-2]×[2×（）+1]×25=×[4×-2×-2]

=×-×=100×-50×

==

所以原式的乘积为，那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．

【答案】

【例 9】           试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．

设1993×123=M，则(1000×123＝)123000<M<(2000×123=)246000，所以M为6位数，并且末位不是0；令M＝

则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M

＝-

＝+1－

＝+1

＝

那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．所以原式的计算结果的数字和为54．

【答案】
 

【巩固】       下面是两个1989位整数相乘：。那么乘积的各位数字之和是多少?

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】4星          【题型】计算

【解析】       解法一：

在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为能被9整除，所以将一个乘以9，另一个除以9，使原算式变成：

=

=

=

得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：

+

解法二：

，其中N＜

所以的各个位数字之和为：9×1989=17901

【答案】

【巩固】       试求乘积的数字和为多少?

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】4星          【题型】计算

【解析】       设

则原式表示为。

注意到9×99×9999×99999999×…××＝M，

则M<10×100×100013×100000000×…××＝

其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023

即M<，即M最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M与乘积的数字和为1024×9=10240—1024=9216．原式的乘积数字和为9216．

【答案】

【例 10】       计算：结果的各位数字之和是         

【考点】多位数计算之求数字和           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       原式
     
各位数字之和是=

【答案】

模块三、多位数运算中的公因式

【例 11】       （1）
（2）

【考点】多位数计算之提取公因式           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       ⑴原式

⑵原式

【答案】⑴          ⑵

【巩固】       计算（1）

（2）

【考点】多位数计算之提取公因式           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       （1）原式

（2）原式

【答案】（1）             （2）

【巩固】       计算：

【考点】多位数计算之提取公因式           【难度】3星          【题型】计算

【关键词】我爱数学夏令营

【解析】       原式

【答案】

【巩固】       计算：

【考点】多位数计算之提取公因式           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       原式

【答案】

【巩固】       计算：（1998+19981998+199819981998+…）÷（1999+19991999+199919991999…  

 ）×1999

【考点】多位数计算之提取公因式           【难度】3星          【题型】计算

【解析】       ＝1998×

原式＝1998（1+10001+100010001+…）÷［1999×（1+10001+100010001+…）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.

【答案】

【巩固】       计算：

【考点】多位数计算之提取公因式           【难度】3星          【题型】计算

【关键词】小学奥林匹克

【解析】       原式

【答案】

【例 12】       计算：         。

【考点】多位数计算之提取公因式           【难度】3星          【题型】计算

【关键词】学而思杯，6年级

【解析】       ，，，，

，即这个数都等于，

原式

【答案】