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北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质学案设计
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质学案设计，共18页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1、幂函数的概念；（重点）
2、幂函数的图像画法和性质。（难点）
学科素养
通过对两个变量之间关系的判断，发展学生的思维能力；
【知识清单】
幂函数的概念
一般地，形如 的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数
幂函数性质
= 1 \* GB2 ⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点
= 2 \* GB2 ⑵a>0时，幂函数的图象都通过原点，且在上，是 函数.
= 3 \* GB2 ⑶a<0时，幂函数的图象在区间上是_______函数.
【基础过关】
1、下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=-B.y=3x2C.y=D.y=2x
2、若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）•在（0，+∞）上是减函数，求实数m
【经典例题】
例1、已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，求m的值和函数f（x）的解析式
例2．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整.
【课堂达标】
1．已知幂函数的图象经过，则的值等于（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（ ）
A．B．C．D．
3.下列四个结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图像过和两点B．幂函数的图像不可能出现在第四象限
C．当时，是增函数D．的图像是一条直线
4.幂函数图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
5.（多选题）下列关于幂函数的性质，描述正确的有( )
A．当时函数在其定义域上是减函数B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数D．当时函数有一个零点0
【能力提升】
1．已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（ ）
A．，均为奇数，且B．为偶数，为奇数，且
C．为奇数，为偶数，且D．为奇数，为偶数，且
2．下面4个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
3．若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列函数中，定义域为R的函数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )
A．B．
C．D．
6.（多选题）已知，则使函数的值域为，且为奇函数的的值为（ ）
A．－1B．1C．2D．3
7.．已知若幂函数的图象关于轴对称，且在区间内单调递减，则__________．
8.已知幂函数，若，则a的取值范围是______.
9．已知函数f(x)＝
(1)试比较f(f(－3))与f(f(3))的大小；(2)画出函数的图象；
(3)若f(x)＝1，求x的值．
10．已知幂函数，且在上为增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【参考答案】
【知识清单】
(1)y=xa(a为常数)；
2、（1）（1，1），增函数，减函数；
【基础过关】
1、[答案] C
解析 根据幂函数的概念，形如y=xa(a为常数)的函数叫做幂函数．
2、[答案] 2
解析∵f（x）＝（m2﹣m﹣1）为幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，∴m＝2或m＝﹣1．
当m＝2时，f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上是减函数，
当m＝﹣1时，f（x）＝x0＝1不符合题意．
综上可知m＝2．故答案为：2．
【经典例题】
例1、[答案] f（x）＝x﹣4．
【解析】
幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，
所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m＝2；函数的解析式为：f（x）＝x﹣4．
例题2、[答案] 见解析
【解析】
【分析】
利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解.
【详解】
解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示.
【点睛】
本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
[课堂达标]
1．D
【解析】
【分析】
根据幂函数过点的坐标，待定系数求得函数解析式；再代值即可求得函数值.
【详解】
因为幂函数的图象经过，
故可得，解得，故；
则.
故选：.
【点睛】
本题考查幂函数解析式的求解，以及幂函数函数值的求解，属综合简单题.
2．C
【解析】
【分析】
由幂函数所过点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后再确定单调性．
【详解】
设幂函数，经过点，
得，即，得，
所以幂函数为，单增区间为.
故选：C．
【点睛】
本题考查幂函数的解析式和单调性，涉及到待定系数法，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
根据幂函数性质直接判断各选项正确与否.
【详解】
幂函数的图像都过点,但不一定过点，如，所以A错；
因为当时，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B对；
当时，不一是增函数，如在上单调递减，所以C错；
的图像是一条去掉一点的直线，所以D错.
故选:B
【点睛】
本题考查幂函数性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．A
【解析】
【分析】
用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.
【详解】
设，因为幂函数图象过点，
所以有，解得，所以，
因为，所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.
5．．CD
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，，在和上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误.
对于B选项，，，图象是：直线并且除掉点，故B选项错误.
对于C选项，，定义域为，是偶函数，所以C选项正确.
对于D选项，，只有一个零点，所以D选项正确.
故选：CD
【点睛】
本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
【能力提升】
1．D
【解析】
【分析】
由函数为偶函数，且图象在第一象限内向上凸起，在单调递增，可选出答案.
【详解】
由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，
因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定与应用，熟记幂函数的图象与性质，是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质以及函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】
由幂函数的性质可知，函数的图象在上单调递减，则AC错误；
令，
因为，所以函数为偶函数，则D错误；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据幂函数的解析式选择图象，属于中档题.
3．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
【详解】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义与性质，对题目中的函数进行分析、判断即可．
【详解】
解：对于A：函数，定义域为，不满足条件；
对于B：函数的定义域为，不满足条件；
对于C：，定义域为，满足条件；
对于D：函数的定义域为，不满足条件；
故选：C
【点睛】
本题考查了求常见的函数定义域应用问题，属于基础题．
5．A
【解析】
【分析】
方法一 根据幂函数在第一象限的单调性和增减速度判断；方法二 对取值，根据四个函数对应的函数值的大小进行判断.
【详解】
方法一 曲线过点，且在第一象限单调递增，，为.显然对应，对应.曲线过点，且在第一象限单调递减，，为.显然对应，对应.
方法二 令，分别代入，得，，
所以曲线相对应的依次为.
故选：.
【点睛】
本题考查幂函数的单调性，属于基础题.
6、BD
【解析】
【分析】
对的四个取值逐一分析的值域和奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】
当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为，满足条件；
当时，为偶函数，值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为，满足条件.
故选：BD.
【点睛】
本小题主要考查幂函数的值域，考查幂函数的奇偶性，属于基础题.
7、
【解析】
【分析】
根据题意可得函数的奇偶性和单调性，进而得到可取的值.
【详解】
解：因为幂函数的图象关于轴对称，则必为偶数，
又在区间内单调递减，则为负数，
综合得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查幂函数的奇偶性及单调性，是基础题．
8、
【解析】
【分析】
由幂函数在上单调递增可得，从而解得．
【详解】
解：幂函数在上单调递增，
又，
，
，即
故答案为：．
【点睛】
本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．
9．(1) f(f(－3))>f(f(3)) (2)见解析(3) x的值为0或1＋
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据分段函数的性质，分别代入值求出即可；（2）利用函数图象的画法画图即可；（3）对分类讨论，解方程即可．
试题解析：(1)∵－3<1∴f(－3)＝－2×(－3)＋1＝7
∵7>1∴f(f(－3))＝f(7)＝72－2×7＝35
∵3>1∴f(3)＝32－2×3＝3
∴f(f(3))＝3∴f(f(－3))>f(f(3))．
(2)函数图象如图所示：
(3)由f(x)＝1的函数图象综合判断可知，当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；
当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)．
综上可知x的值为0或1＋.
10．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）因为函数是幂函数，求出或，再分别验证是否满足函数在上是增函数；
（2）由（1）知，根据函数的定义域和单调性解不等式.
【详解】
（1），即，则，解得或，
当时，，
当时，，
∵在上为增函数，∴.
（2）由（1）得定义域为且在上为增函数，
∴，解得：，所以的取值范围为：.
【点睛】
本题考查幂函数和根据函数的性质解抽象不等式，意在考查基本概念和基本方法，属于基础题型.
【教学目标】
1、幂函数的概念；（重点）
2、幂函数的图像画法和性质。（难点）
学科素养
通过对两个变量之间关系的判断，发展学生的思维能力；
【知识清单】
幂函数的概念
一般地，形如 的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数
幂函数性质
= 1 \* GB2 ⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点
= 2 \* GB2 ⑵a>0时，幂函数的图象都通过原点，且在上，是 函数.
= 3 \* GB2 ⑶a<0时，幂函数的图象在区间上是_______函数.
【基础过关】
1、下列函数中,是幂函数的是( )
A.y=-B.y=3x2C.y=D.y=2x
2、若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）•在（0，+∞）上是减函数，求实数m
【经典例题】
例1、已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，求m的值和函数f（x）的解析式
例2．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整.
【课堂达标】
1．已知幂函数的图象经过，则的值等于（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（ ）
A．B．C．D．
3.下列四个结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图像过和两点B．幂函数的图像不可能出现在第四象限
C．当时，是增函数D．的图像是一条直线
4.幂函数图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
5.（多选题）下列关于幂函数的性质，描述正确的有( )
A．当时函数在其定义域上是减函数B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数D．当时函数有一个零点0
【能力提升】
1．已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（ ）
A．，均为奇数，且B．为偶数，为奇数，且
C．为奇数，为偶数，且D．为奇数，为偶数，且
2．下面4个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
3．若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列函数中，定义域为R的函数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )
A．B．
C．D．
6.（多选题）已知，则使函数的值域为，且为奇函数的的值为（ ）
A．－1B．1C．2D．3
7.．已知若幂函数的图象关于轴对称，且在区间内单调递减，则__________．
8.已知幂函数，若，则a的取值范围是______.
9．已知函数f(x)＝
(1)试比较f(f(－3))与f(f(3))的大小；(2)画出函数的图象；
(3)若f(x)＝1，求x的值．
10．已知幂函数，且在上为增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【参考答案】
【知识清单】
(1)y=xa(a为常数)；
2、（1）（1，1），增函数，减函数；
【基础过关】
1、[答案] C
解析 根据幂函数的概念，形如y=xa(a为常数)的函数叫做幂函数．
2、[答案] 2
解析∵f（x）＝（m2﹣m﹣1）为幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，∴m＝2或m＝﹣1．
当m＝2时，f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上是减函数，
当m＝﹣1时，f（x）＝x0＝1不符合题意．
综上可知m＝2．故答案为：2．
【经典例题】
例1、[答案] f（x）＝x﹣4．
【解析】
幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，
所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m＝2；函数的解析式为：f（x）＝x﹣4．
例题2、[答案] 见解析
【解析】
【分析】
利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解.
【详解】
解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示.
【点睛】
本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
[课堂达标]
1．D
【解析】
【分析】
根据幂函数过点的坐标，待定系数求得函数解析式；再代值即可求得函数值.
【详解】
因为幂函数的图象经过，
故可得，解得，故；
则.
故选：.
【点睛】
本题考查幂函数解析式的求解，以及幂函数函数值的求解，属综合简单题.
2．C
【解析】
【分析】
由幂函数所过点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后再确定单调性．
【详解】
设幂函数，经过点，
得，即，得，
所以幂函数为，单增区间为.
故选：C．
【点睛】
本题考查幂函数的解析式和单调性，涉及到待定系数法，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
根据幂函数性质直接判断各选项正确与否.
【详解】
幂函数的图像都过点,但不一定过点，如，所以A错；
因为当时，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B对；
当时，不一是增函数，如在上单调递减，所以C错；
的图像是一条去掉一点的直线，所以D错.
故选:B
【点睛】
本题考查幂函数性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．A
【解析】
【分析】
用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.
【详解】
设，因为幂函数图象过点，
所以有，解得，所以，
因为，所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.
5．．CD
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，，在和上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误.
对于B选项，，，图象是：直线并且除掉点，故B选项错误.
对于C选项，，定义域为，是偶函数，所以C选项正确.
对于D选项，，只有一个零点，所以D选项正确.
故选：CD
【点睛】
本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
【能力提升】
1．D
【解析】
【分析】
由函数为偶函数，且图象在第一象限内向上凸起，在单调递增，可选出答案.
【详解】
由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，
因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定与应用，熟记幂函数的图象与性质，是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质以及函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】
由幂函数的性质可知，函数的图象在上单调递减，则AC错误；
令，
因为，所以函数为偶函数，则D错误；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据幂函数的解析式选择图象，属于中档题.
3．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
【详解】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义与性质，对题目中的函数进行分析、判断即可．
【详解】
解：对于A：函数，定义域为，不满足条件；
对于B：函数的定义域为，不满足条件；
对于C：，定义域为，满足条件；
对于D：函数的定义域为，不满足条件；
故选：C
【点睛】
本题考查了求常见的函数定义域应用问题，属于基础题．
5．A
【解析】
【分析】
方法一 根据幂函数在第一象限的单调性和增减速度判断；方法二 对取值，根据四个函数对应的函数值的大小进行判断.
【详解】
方法一 曲线过点，且在第一象限单调递增，，为.显然对应，对应.曲线过点，且在第一象限单调递减，，为.显然对应，对应.
方法二 令，分别代入，得，，
所以曲线相对应的依次为.
故选：.
【点睛】
本题考查幂函数的单调性，属于基础题.
6、BD
【解析】
【分析】
对的四个取值逐一分析的值域和奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】
当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为，满足条件；
当时，为偶函数，值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为，满足条件.
故选：BD.
【点睛】
本小题主要考查幂函数的值域，考查幂函数的奇偶性，属于基础题.
7、
【解析】
【分析】
根据题意可得函数的奇偶性和单调性，进而得到可取的值.
【详解】
解：因为幂函数的图象关于轴对称，则必为偶数，
又在区间内单调递减，则为负数，
综合得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查幂函数的奇偶性及单调性，是基础题．
8、
【解析】
【分析】
由幂函数在上单调递增可得，从而解得．
【详解】
解：幂函数在上单调递增，
又，
，
，即
故答案为：．
【点睛】
本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．
9．(1) f(f(－3))>f(f(3)) (2)见解析(3) x的值为0或1＋
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据分段函数的性质，分别代入值求出即可；（2）利用函数图象的画法画图即可；（3）对分类讨论，解方程即可．
试题解析：(1)∵－3<1∴f(－3)＝－2×(－3)＋1＝7
∵7>1∴f(f(－3))＝f(7)＝72－2×7＝35
∵3>1∴f(3)＝32－2×3＝3
∴f(f(3))＝3∴f(f(－3))>f(f(3))．
(2)函数图象如图所示：
(3)由f(x)＝1的函数图象综合判断可知，当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；
当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)．
综上可知x的值为0或1＋.
10．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）因为函数是幂函数，求出或，再分别验证是否满足函数在上是增函数；
（2）由（1）知，根据函数的定义域和单调性解不等式.
【详解】
（1），即，则，解得或，
当时，，
当时，，
∵在上为增函数，∴.
（2）由（1）得定义域为且在上为增函数，
∴，解得：，所以的取值范围为：.
【点睛】
本题考查幂函数和根据函数的性质解抽象不等式，意在考查基本概念和基本方法，属于基础题型.
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