初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试优质教案

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试优质教案，共24页。教案主要包含了直接降次解一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等内容，欢迎下载使用。

21.2 解一元二次方程





1．直接降次解一元二次方程


（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．


（2）步骤：


①将方程转化为（或）的形式；


②分三种情况降次求解：


（ⅰ）当时， ；（ⅱ）当时， ；（ⅲ）当时，方程 ．


2．用配方法解一元二次方程


（1）定义：通过配成 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．


（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：


一移：将常数项移到方程等号的右边．


二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为．


三配：方程两边都加上 ，将方程左边配成完全平方的形式．


四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．


（3）配方法解一元二次方程：


①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解．


②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根．


③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况．


3．用公式法解一元二次方程


（1）一元二次方程根的判别式：


一般地，式子 叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．


①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．


②当=0时，方程有两个相等的实数根，即．


③当<0时，方程没有实数根．


（2）求根公式：


当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．


（3）公式法解一元二次方程的步骤：


①把方程化为一般形式；②确定、、的值；③计算的值；


④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程 ．


4．用因式分解法解一元二次方程


（1）当方程缺少一次项时，可考虑用 分解因式．


（2）当方程缺少常数项时，可考虑用 分解因式，且方程一定有一根为．


（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作 ，直接因式分解．


5．一元二次方程的根与系数的关系


如果方程有两个实数根，，那么 ， ．


6．选择合适的方法解一元二次方程


（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．


（2）如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．








1．（1）（2），；；无实数根


2．（1）完全平方（2）一次项系数一半的平方（3）1


3．（1）（2）（3）没有实数根


4．（1）平方差公式（2）提公因式法（3）整体


5．，








一、直接降次解一元二次方程


（1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．


（2）步骤：


①将方程转化为（或）的形式；


②分三种情况降次求解：（ⅰ）当时，，；（ⅱ）当时，；（ⅲ）当时，方程无实数根．


解方程：．


【答案】，．


【解析】移项，得．两边都除以，得．


直接开平方，得，所以，．


【名师点睛】当时，利用直接降次法解形如的一元二次方程，开方后不要丢掉负根．


二、用配方法解一元二次方程


1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．


2．利用配方法解一元二次方程的一般步骤：


（1）把常数项移到等号的右边，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；


（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项的系数化为1；


（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m）2=n的形式；


（4）用直接开平方解变形后的方程．


解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．


用配方法解下列方程时，配方错误的是


A．化为


B．化为


C．化为


D．化为


【答案】D


【解析】A．化为，正确；


B．化为，正确；


C．化为，正确


D．化为，错误，


故选D.


三、用公式法解一元二次方程


1．一元二次方程根的判别式：


一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．


（1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．


（2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即．


（3）当<0时，方程没有实数根．


2．求根公式：


当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．


3．公式法解一元二次方程的步骤：


（1）把方程化为一般形式；


（2）确定、、的值；


（3）计算的值；


（4）当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根．


（2019·烟台）当时，关于x的一元二次方程的根的情况为


A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根


C．没有实数根D．无法确定


【答案】A


【解析】∵，∴.


，


，


，


，


∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，故选A.


用公式法解一元二次方程：.


【解析】，


∴，


∴，


∴原方程的解为.


【名师点睛】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.


四、用因式分解法解一元二次方程


1．当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．


2．当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为．


3．当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．


方程的两个根为


A． B．


C． D．


【答案】D


【解析】，


，


或，


所以.


故选D.


【名师点睛】本题考查了解一元二次方程一因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次程最常用的方法.


五、一元二次方程的根与系数的关系


1．根与系数的关系：


如果方程有两个实数根，，那么，．


2．推导过程：


在中，当时，由求根公式可得，，


所以，


．


3．涉及两根的代数式的重要变形：


（1）；


（2）；


（3）；


（4）．


（2019·呼和浩特）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为


A． B．


C． D．


【答案】D


【解析】∵是一元二次方程的两个实数根，


∴，


∴


，


故选D.








1．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是


A．B．


C．D．


2．一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况是


A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根


C．只有一个实数根 D．没有实数根


3．一元二次方程的根为


A．B．


C．D．，


4．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为


A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1


C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2


5．一元二次方程x（x–3）=0根是


A．x=3B．x=–3


C．x1=–3，x2=0D．x1=3，x2=0


6．用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是


A．16 B．24


C．8 D．4


7．方程x2–2=0的根是__________．


8．一元二次方程的解是__________．


9．如果关于的一元二次方程 (是常数)没有实数根，那么的取值范围是________．


10．已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______________．


11．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：





小明的解法从第______步开始出现错误；这一步的运算依据应是_________．


12．解方程：（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；


（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）























13．一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是


A．无实数根 B．有一个正根，一个负根


C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3


14．已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实根，则k的值为


A．±26 B．±6


C．2或3 D．2或3


15．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是


A．m≥1 B．m≤1


C．m＞1 D．m＜1


16．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是


A．x1≠x2 B．x1+x2＞0


C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0


17．若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则βα+αβ的值是


A．427 B．－427


C．－5827 D．5827


18．一元二次方程x2﹣x=0的根是__________．


19．若x1+x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=__________．


20．设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1=__________，x2=__________．


21．用适当方法解下列方程：．




















22．己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．


（1）求k的取值范围；


（2）若，求k的值．
































23．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2


（1）求实数m的取值范围；


（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．




















24．若关于x的一元二次方程x2-2a+1x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围.




















25．（2019·威海市）已知，是方程的两个实数根，则的值是


A．2023B．2021


C．2020D．2019


26．（2019·淄博市）若，，则以，为根的一元二次方程是


A．B．


C．D．


27．（2019·潍坊市）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为


A．B．


C．或D．或


28．（2019·聊城市）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为


A．B．且


C．D．且


29．（2019·金华、义乌、丽水市）用配方法解方程时，配方结果正确的是


A．B．


C．D．


30．（2019·威海市）一元二次方程的解是__________．


31．（2019·连云港市）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于__________．


32．（2019·泰安市）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________.


33．（2019·嘉兴市）在x2+（________）+4=0的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根.


34．（2019·无锡市）解方程：


（1）；（2）.

















35．（2019·安徽省）解方程：.




















36．（2019·南充市）已知关于的一元二次方程有实数根.


（1）求实数m的取值范围；


（2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值.
































1．【答案】C


【解析】移项得，可用直接开平方法求解；移项得，可用直接开平方法求解；，可用直接开平方法求解．故选C.


【名师点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键.


2．【答案】B


【解析】∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－2)＝41＞0，


∴方程有两个不相等的实数根．故选B.


3．【答案】D


【解析】由，得，，


，，故选：D.


4．【答案】C


【解析】，


整理得：，


配方得：，即．


故选C.


【名师点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知项移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，开方即可求出解．


5．【答案】D


【解析】x（x–3）=0，可得x=0或x–3=0，解得：x1=0，x2=3．故选D．


6．【答案】B


【解析】由题意得：


b2﹣4ac==16+8=24，


所以B选项是正确的.


7．【答案】


【解析】移项得x2=2，∴x=．故答案为：．


8．【答案】


【解析】方程两边同时除以2，得，所以，所以.


9．【答案】


【解析】根据题意得=，


解得c＞9．


故答案为c＞9．


【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当 =0时，方程有两个相等的两个实数根；当＜0时，方程无实数根．


10．【答案】


【解析】∵a、b是一元二次方程的两个实数根，


∴，


∴（a-b）（a+b-2）+ab


=（a-b）（2-2）+ab，


=0+ab，


=，


故答案为．


11．【答案】四 平方根的定义


【解析】小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；


故答案为四；平方根的定义．


【名师点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：


（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．


（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．


12．【答案】（1）x1=99，x2=﹣101；（2）x1=，x2=．


【解析】（1）方程整理得：x2+2x=9999，


配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，


开方得：x+1=100或x+1=﹣100，


解得：x1=99，x2=﹣101；


（2）这里a=3，b=﹣6，c=﹣1，


∵=36+12=48，


∴x==，


解得：x1=，x2=．


【名师点睛】考查一元二次方程的解法，常用的方法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，观察题目选择合适的方法是解题的关键.


13．【答案】D


【解析】（x+1）（x﹣3）=2x﹣5，


整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，


解得：x1=2+2＞3，x2=2﹣2，故有两个正根，且有一根大于3．


故选D．


【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．


14．【答案】A


【解析】∵方程2x2-kx+3=0有两个相等的实根，


∴=k2-4×2×3=k2-24=0，


解得：k=±26．


故选A．


【名师点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．


15．【答案】D


【解析】∵方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，


∴


解得m＜1．


故选D．


【名师点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．


16．【答案】A


【解析】∵=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，


∴x1≠x2，选项A中的结论正确；


∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，


∴x1+x2=a，


∵a的值不确定，


∴选项B中的结论不一定正确；


∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，


∴x1•x2=﹣2，选项C中的结论错误；


∵x1•x2=﹣2，


∴x1＜0，x2＞0，选项D中的结论错误．


故选A．


【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．


17．【答案】C


【解析】∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，


∴α+β=-23，αβ=-3，


∴βα+αβ=β2+α2αβ=α+β2-2αβαβ=(-23)2-2×-3-3=-5827．


故选C．


【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-ba、两根之积等于ca是解题的关键．


18．【答案】x1=0，x2=1


【解析】方程变形得：x（x﹣1）=0，


可得x=0或x﹣1=0，


解得：x1=0，x2=1．


故答案为：x1=0，x2=1．


19．【答案】−3


【解析】由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2，


∴x1+x2+x1x2=﹣3


故答案为﹣3．


20．【答案】 -2，3


【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，


∴x1+x2=m，


∵x1+x2=1,


∴m=1,


∴x2-x-6=0


解得x1=−2,x2=3.


故答案为:−2,3.


21．【答案】x1=，x2=


【解析】∵，，，∴Δ=b2–4ac=16+12=28，


∴，∴x1=，x2=．


22．【答案】（1）k＞﹣34；（2）k=3．


【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，


∴=（2k+3）2﹣4k2＞0，


解得：k＞﹣34；


（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，


∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，


∴，


解得：k1=3，k2=﹣1，


经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，


又∵k＞﹣34，


∴k=3．


23．【答案】（1）m＜1；（2）0.


【解析】（1）由题意得：=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，


解得：m＜1，


即实数m的取值范围是m＜1；


（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，


即x1+x2=2x1-x2=2，


解得：x1=2，x2=0，


由根与系数的关系得：m=2×0=0．


24．【答案】a>-14


【解析】∵关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，


∴=[−（2a+1）]2-4a2=4a+1＞0，


解得a＞．


25．【答案】A


【解析】∵，是方程的两个实数根，


∴，，，


∴；


故选A．


【名师点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．


26．【答案】A


【解析】∵，


∴，


而，


∴，


∴，


∴以，为根的一元二次方程为．


故选：A．


【名师点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的求解.


27．【答案】A


【解析】设，是的两个实数根，


∴，


∴，


∴，，


∴，


∴或，


∴，


故选A．


【名师点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，灵活运用完全平方公式是解题的关键．


28．【答案】D


【解析】（k-2）x2-2kx+k-6=0，


∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，


∴，


解得：且k≠2．


故选D．


【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．


29．【答案】A


【解析】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选A．


【名师点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．


30．【答案】，


【解析】，


，


则，


故，


解得：，．


故答案为，．


【名师点睛】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．


31．【答案】2


【解析】根据题意得：


＝4﹣4a（2﹣c）＝0，


整理得：4ac﹣8a＝﹣4，


4a（c﹣2）＝﹣4，


∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，


∴a≠0，


等式两边同时除以4a得：，


则，


故答案为：2．


【名师点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．


32．【答案】


【解析】根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则.








故答案为.


【名师点睛】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解.


33．【答案】（只写一个即可）


【解析】设方程为x2+kx+4=0，由题意得


k2-16=0，


∴k=±4,


∴一次项为（只写一个即可）.


故答案为：（只写一个即可）.


【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当<0时，一元二次方程没有实数根.


34．【答案】（1）;（2）是方程的解.


【解析】（1），


，


，


x-1=±，


∴；


（2）方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，得


x+1=4(x-2)，


解得：x=3，


检验：当x=3时，(x-2)(x+1)≠0，


所以x=3是原方程的解.


【名师点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握相关解法是解题的关键.解分式方程时注意要进行检验.


35．【答案】或x=3


【解析】，


或，


解得：或x=3.


【名师点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键.


36．【答案】（1）；（2）1.


【解析】（1）=，


∵原方程有实根，∴ =，


解得.


（2）当m=2时，方程为x2+3x+1=0.


∴x1+x2=-3，x1x2=1，


∵方程的根为x1，x2，


∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，


∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）


=（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2）


=（-1-x1）（-1+x2+2）


=（-1-x1）（x2+1）


=-x2-x1x2-1-x1


=-x2-x1-2


=3-2


=1．


【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．方法名称
理论依据
适用范围
直接降次法
平方根的意义
形如或的一元二次方程
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
若，则或
一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
帮—重点
（1）用配方法解一元二次方程；（2）用公式法解一元二次方程；（3）用因式分解法解一元二次方程．
帮—难点
（1）选择合适的方法解一元二次方程；（2）一元二次方程根与系数的关系．
帮—易错
仅当判别式非负时，方程才有实数根．