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2021届山东高考数学一轮创新教学案：第8章 第5讲 椭圆
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第5讲 椭圆
[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(重点)
2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.
1.椭圆的定义
(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．
注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)；
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3．直线与椭圆位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：
(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；
(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．
4．弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.
5．必记结论
(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
1．概念辨析
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．小题热身
(1)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由已知得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，离心率e＝＝.
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 由题意，得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
(3)若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是________．
答案 2
解得2
题型一 椭圆的定义及应用
1．过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为( )
A．8 B．4
C．4 D．2
答案 A
解析 因为椭圆为＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.
2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案 A
解析 如图，∵椭圆＋＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)．
∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，
∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.
当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立．
综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.
3．(2019·九江模拟)F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.
C. D.
答案 C
解析 由题意，得a＝3，b＝，c＝，|AF1|＋|AF2|＝6.∴|AF2|＝6－|AF1|.在△AF1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝，∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.
条件探究 将本例中的椭圆方程改为＋＝1(a>2)，“∠AF1F2＝45°”改为“∠F1AF2＝60°”，则△AF1F2的面积为________．
答案
解析 设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，
在△AF1F2中，∠F1AF2＝60°，|F1F2|＝2c.
由余弦定理得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos60°＝(r1＋r2)2－3r1r2＝4a2－3r1r2，
所以3r1r2＝4a2－4c2＝4b2，
又因为b2＝4，所以r1r2＝，
所以S△AF1F2＝r1r2sin60°＝.
利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法
解焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．见举例说明3
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．见举例说明2
1．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B．双曲线
C.抛物线 D．圆
答案 A
解析 由题意得|PF|＝|MP|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|MP|＝|MO|>|OF|，即点P到两定点O，F的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P的轨迹是椭圆.
2.(2019·安徽皖江模拟)已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为________．
答案 2
解析 解法一：∵△PF1F2的面积为|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤2＝a2.又2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2面积的最大值为2.
解法二：由题意可知2a＝4，解得a＝2.当P点到F1F2距离最大时，S△PF1F2最大，此时P为短轴端点，
S△PF1F2＝·2c·b＝bc.
又a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤＝2，
∴当b＝c＝时，△PF1F2面积最大，为2.
题型二 椭圆的标准方程
角度1 定义法求椭圆的标准方程
1.已知A，B是圆2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．
答案 x2＋＝1
解析 如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
角度2 待定系数法求椭圆的标准方程
2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－，，(，)，则椭圆方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．由已知得解得m＝，n＝，所以椭圆方程为＋＝1.
1.定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见举例说明1.其中常用的关系有：
(1)b2＝a2－c2；
(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.
2.待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤
提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可简记为“先定型，再定量”．见举例说明2.
1.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.
所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，
所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为＋＝1.
2.(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．
答案 ＋＝1
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴又a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，c＝，∴椭圆方程为＋＝1.
题型三 椭圆的几何性质
1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A.(－3,0) B．(－4,0)
C.(－10,0) D．(－5,0)
答案 D
解析 由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c＝3，又因为2b＝8，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝16＋9＝25.故a＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0).
2.已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.(0，－1) B．(－1,1)
C.(0，－1) D．(－1,1)
答案 B
解析 ∵F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，A－c，，B，∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1<45°，∴tan∠AF2F1<1，∴<1，整理，得b2<2ac，∴a2－c2<2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2＋2e－1>0，解得e>－1或e<－－1(舍去)，∵0
答案 ≤e<1
解析 解法一：椭圆上存在点P使∠F1PF2＝90°⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点⇔b≤c，如图，
由b≤c，得a2－c2≤c2，即a2≤2c2，解得e＝≥，又0
＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
若∠F1PF2＝90°，则·＝x＋y－c2＝0.
∴x＋b2＝c2，∴x＝.
∵0≤x≤a2，∴0≤≤1.
∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<1.
3．(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
答案 4
解析 由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·P＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.则当x0＝－2时，·取得最大值4.
1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．见举例说明3.
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．见举例说明1.
2.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e的不等式再求解．如举例说明2.
(3)由椭圆的定义求离心率．e＝＝，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．
1.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 易知b＝c＝，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.
2.(2019·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒c2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝.
3.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B．3
C．6 D．8
答案 C
解析 由椭圆＋＝1，得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
题型四 直线与椭圆的综合问题
角度1 直线与椭圆的位置关系
1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，
整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.
角度2 点差法解中点弦问题
2.焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
角度3 弦长问题
3.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝＝
＝＝
＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.
角度4 综合计算问题
4.(2019·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.
所以椭圆的离心率为.
(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.
由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．
点P的坐标满足消去y并化简，
得到7x2＋6cx－13c2＝0，
解得x1＝c，x2＝－.
代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.
因为点P在x轴上方，所以P.
由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．
因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，
故＝，解得t＝2.
因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.
又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
1.直线与椭圆位置关系的判定方法
(1)代数法
联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.
(2)几何法
画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数.
2.“点差法”的四步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
3.中点弦的重要结论
AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．
(1)斜率：k＝－.见举例说明2.
(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.
4.直线与椭圆相交的弦长公式
(1)若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.见举例说明3.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B．m>0
C.0
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，
则点(0,1)在椭圆＋＝1内部或在椭圆上，
所以≤1，由方程＋＝1表示椭圆，则m>0且m≠5，综上知m的取值范围是m≥1且m≠5.
2.直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为________．
答案 －
解析 解法一：由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
∴－＝，解得m＝－.
由截得的线段的中点在直线y＝x－上，得中点的纵坐标y＝－＝－.
解法二：设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则2x＋y＝2,2x＋y＝2.两式相减得
2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
把＝1，x1＋x2＝代入上式，得＝－，则中点的纵坐标为－.
3.(2019·武威六中模拟)已知直线l：y＝kx＋2与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，直线l1与直线l2：x＋2y－4＝0交于点M.
(1)证明：直线l2与椭圆C相切；
(2)设线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|，求直线l1的方程．
解 (1)证明：由
消去x整理得y2－2y＋1＝0，
∵Δ＝4－4＝0，∴直线l2与椭圆C相切．
(2)由得M的坐标为(0,2)．
由
消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
因为直线l1与椭圆交于A，B两点，
所以Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，
解得k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以x0＝＝－.
∵|AB|＝|MN|，即|x1－x2|
＝|x0－0|，
∴＝|x0|，
即＝，解得k2＝，满足k2>.
∴k＝±，∴直线l1的方程为y＝±x＋2.
组 基础关
1.已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点的坐标为(0,2)，则m的值为( )
A.1 B．3
C．5 D．8
答案 C
解析 由mx2＋3y2－6m＝0，得＋＝1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m＝6＋4，解得m＝5.
2.(2019·邯郸模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题2b＝16.4,2a＝20.5，则＝，则离心率e＝＝.
3.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(－6，－2)
B.(3，＋∞)
C.(－6，－2)∪(3，＋∞)
D.(－6，－3)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 由题意，得解得所以－63.
4.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点(0，－2)，，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.故选B.
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝＝，则|PF′|＝＝8，由椭圆定义，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2，所以b2＝16.故椭圆C的方程为＋＝1.
6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.两式相减得，
＋＝0，
所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.
7.(2020·成都一诊)已知点M(－1,0)和N(1,0)，若某直线上存在点P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：
①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.
其中是“椭型直线”的是( )
A.①③ B．①②
C．②③ D．③④
答案 C
解析 由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.对于①，把x－2y＋6＝0代入＋＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x－2y＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y＝x代入＋＝1，整理得x2＝，所以x－y＝0是“椭型直线”；对于③，把2x－y＋1＝0代入＋＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x＋y－3＝0代入＋＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”.
8.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．
答案 ＋＝1
解析 由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由离心率e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
9.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的值为________．
答案
解析 由题意知，F(1,0)．∵直线l的倾斜角为，∴斜率k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.∴|AB|＝·＝× ＝.
10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的斜率为，则该椭圆的离心率为________．
答案
解析 因为点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，所以点P的坐标为.
又因为直线PF1的斜率为，所以在Rt△PF1F2中，
＝，即＝.所以b2＝2ac.
(a2－c2)＝2ac，(1－e2)＝2e，
整理得e2＋2e－＝0，又0
1.过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是( )
A.14 B．16
C．18 D．20
答案 C
解析 如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上、下顶点时，△PQF1(或△PQF2)的周长即△PQF周长的最小值，为10＋2×4＝18.
2．已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下、上焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋1过椭圆C的焦点F2，与椭圆交于A，B两点，若点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，则k2＝________.
答案
解析 直线l过定点(0,1)，即F2为(0,1)，由于＝，a2＝b2＋c2，故a＝，b＝1，则椭圆C的方程为＋x2＝1，由得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，由点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，得x1＝－2x2，代入x1＋x2＝，解得x2＝，x1＝－，代入x1x2＝－，解得k2＝.
3.(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案 (3，)
解析 设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得
解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).
4.(2020·厦门摸底)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且A·A＝0，O＝3O，则椭圆C的标准方程为________，圆A的标准方程为________．
答案 ＋y2＝1 (x－2)2＋y2＝
解析 如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ.
∵A·A＝0，即AP⊥AQ，
∴|AT|＝|PQ|.
又O＝3O，∴|OT|＝|PQ|.
∴＝，即＝.
由已知得焦半距c＝，∴a2＝4，b2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
又|AT|2＋|OT|2＝4，∴|AT|2＋4|AT|2＝4，
∴|AT|＝，r＝|AP|＝.
∴圆A的方程为(x－2)2＋y2＝.
5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB中点的横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值．
解 (1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，
又e＝，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)．
由
消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.
∵∴x1＋x2＝＝2×＝，
∴k2＝.将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，∴λ＝.
组 素养关
1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解 (1)由题设知解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
所以圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<.(*)
所以|CD|＝2＝2＝ .
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
所以|AB|＝
＝ .
由＝得 ＝1，解得m＝±，满足(*)．
所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，
存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
第5讲 椭圆
[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(重点)
2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.
1.椭圆的定义
(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．
注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)；
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3．直线与椭圆位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：
(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；
(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．
4．弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.
5．必记结论
(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
1．概念辨析
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．小题热身
(1)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由已知得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，离心率e＝＝.
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 由题意，得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
(3)若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是________．
答案 2
解得2
题型一 椭圆的定义及应用
1．过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为( )
A．8 B．4
C．4 D．2
答案 A
解析 因为椭圆为＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.
2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案 A
解析 如图，∵椭圆＋＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)．
∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，
∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.
当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立．
综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.
3．(2019·九江模拟)F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.
C. D.
答案 C
解析 由题意，得a＝3，b＝，c＝，|AF1|＋|AF2|＝6.∴|AF2|＝6－|AF1|.在△AF1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝，∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.
条件探究 将本例中的椭圆方程改为＋＝1(a>2)，“∠AF1F2＝45°”改为“∠F1AF2＝60°”，则△AF1F2的面积为________．
答案
解析 设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，
在△AF1F2中，∠F1AF2＝60°，|F1F2|＝2c.
由余弦定理得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos60°＝(r1＋r2)2－3r1r2＝4a2－3r1r2，
所以3r1r2＝4a2－4c2＝4b2，
又因为b2＝4，所以r1r2＝，
所以S△AF1F2＝r1r2sin60°＝.
利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法
解焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．见举例说明3
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．见举例说明2
1．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B．双曲线
C.抛物线 D．圆
答案 A
解析 由题意得|PF|＝|MP|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|MP|＝|MO|>|OF|，即点P到两定点O，F的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P的轨迹是椭圆.
2.(2019·安徽皖江模拟)已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为________．
答案 2
解析 解法一：∵△PF1F2的面积为|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤2＝a2.又2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2面积的最大值为2.
解法二：由题意可知2a＝4，解得a＝2.当P点到F1F2距离最大时，S△PF1F2最大，此时P为短轴端点，
S△PF1F2＝·2c·b＝bc.
又a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤＝2，
∴当b＝c＝时，△PF1F2面积最大，为2.
题型二 椭圆的标准方程
角度1 定义法求椭圆的标准方程
1.已知A，B是圆2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．
答案 x2＋＝1
解析 如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
角度2 待定系数法求椭圆的标准方程
2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－，，(，)，则椭圆方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．由已知得解得m＝，n＝，所以椭圆方程为＋＝1.
1.定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见举例说明1.其中常用的关系有：
(1)b2＝a2－c2；
(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.
2.待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤
提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可简记为“先定型，再定量”．见举例说明2.
1.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.
所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，
所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为＋＝1.
2.(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．
答案 ＋＝1
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴又a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，c＝，∴椭圆方程为＋＝1.
题型三 椭圆的几何性质
1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A.(－3,0) B．(－4,0)
C.(－10,0) D．(－5,0)
答案 D
解析 由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c＝3，又因为2b＝8，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝16＋9＝25.故a＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0).
2.已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.(0，－1) B．(－1,1)
C.(0，－1) D．(－1,1)
答案 B
解析 ∵F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，A－c，，B，∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1<45°，∴tan∠AF2F1<1，∴<1，整理，得b2<2ac，∴a2－c2<2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2＋2e－1>0，解得e>－1或e<－－1(舍去)，∵0
答案 ≤e<1
解析 解法一：椭圆上存在点P使∠F1PF2＝90°⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点⇔b≤c，如图，
由b≤c，得a2－c2≤c2，即a2≤2c2，解得e＝≥，又0
＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
若∠F1PF2＝90°，则·＝x＋y－c2＝0.
∴x＋b2＝c2，∴x＝.
∵0≤x≤a2，∴0≤≤1.
∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<1.
3．(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
答案 4
解析 由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·P＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.则当x0＝－2时，·取得最大值4.
1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．见举例说明3.
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．见举例说明1.
2.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e的不等式再求解．如举例说明2.
(3)由椭圆的定义求离心率．e＝＝，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．
1.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 易知b＝c＝，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.
2.(2019·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒c2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝.
3.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B．3
C．6 D．8
答案 C
解析 由椭圆＋＝1，得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
题型四 直线与椭圆的综合问题
角度1 直线与椭圆的位置关系
1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，
整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.
角度2 点差法解中点弦问题
2.焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
角度3 弦长问题
3.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝＝
＝＝
＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.
角度4 综合计算问题
4.(2019·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.
所以椭圆的离心率为.
(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.
由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．
点P的坐标满足消去y并化简，
得到7x2＋6cx－13c2＝0，
解得x1＝c，x2＝－.
代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.
因为点P在x轴上方，所以P.
由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．
因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，
故＝，解得t＝2.
因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.
又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
1.直线与椭圆位置关系的判定方法
(1)代数法
联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.
(2)几何法
画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数.
2.“点差法”的四步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
3.中点弦的重要结论
AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．
(1)斜率：k＝－.见举例说明2.
(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.
4.直线与椭圆相交的弦长公式
(1)若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.见举例说明3.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B．m>0
C.0
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，
则点(0,1)在椭圆＋＝1内部或在椭圆上，
所以≤1，由方程＋＝1表示椭圆，则m>0且m≠5，综上知m的取值范围是m≥1且m≠5.
2.直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为________．
答案 －
解析 解法一：由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
∴－＝，解得m＝－.
由截得的线段的中点在直线y＝x－上，得中点的纵坐标y＝－＝－.
解法二：设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则2x＋y＝2,2x＋y＝2.两式相减得
2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
把＝1，x1＋x2＝代入上式，得＝－，则中点的纵坐标为－.
3.(2019·武威六中模拟)已知直线l：y＝kx＋2与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，直线l1与直线l2：x＋2y－4＝0交于点M.
(1)证明：直线l2与椭圆C相切；
(2)设线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|，求直线l1的方程．
解 (1)证明：由
消去x整理得y2－2y＋1＝0，
∵Δ＝4－4＝0，∴直线l2与椭圆C相切．
(2)由得M的坐标为(0,2)．
由
消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
因为直线l1与椭圆交于A，B两点，
所以Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，
解得k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以x0＝＝－.
∵|AB|＝|MN|，即|x1－x2|
＝|x0－0|，
∴＝|x0|，
即＝，解得k2＝，满足k2>.
∴k＝±，∴直线l1的方程为y＝±x＋2.
组 基础关
1.已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点的坐标为(0,2)，则m的值为( )
A.1 B．3
C．5 D．8
答案 C
解析 由mx2＋3y2－6m＝0，得＋＝1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m＝6＋4，解得m＝5.
2.(2019·邯郸模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题2b＝16.4,2a＝20.5，则＝，则离心率e＝＝.
3.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(－6，－2)
B.(3，＋∞)
C.(－6，－2)∪(3，＋∞)
D.(－6，－3)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 由题意，得解得所以－6
4.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点(0，－2)，，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.故选B.
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝＝，则|PF′|＝＝8，由椭圆定义，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2，所以b2＝16.故椭圆C的方程为＋＝1.
6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.两式相减得，
＋＝0，
所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.
7.(2020·成都一诊)已知点M(－1,0)和N(1,0)，若某直线上存在点P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：
①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.
其中是“椭型直线”的是( )
A.①③ B．①②
C．②③ D．③④
答案 C
解析 由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.对于①，把x－2y＋6＝0代入＋＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x－2y＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y＝x代入＋＝1，整理得x2＝，所以x－y＝0是“椭型直线”；对于③，把2x－y＋1＝0代入＋＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x＋y－3＝0代入＋＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”.
8.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．
答案 ＋＝1
解析 由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由离心率e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
9.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的值为________．
答案
解析 由题意知，F(1,0)．∵直线l的倾斜角为，∴斜率k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.∴|AB|＝·＝× ＝.
10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的斜率为，则该椭圆的离心率为________．
答案
解析 因为点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，所以点P的坐标为.
又因为直线PF1的斜率为，所以在Rt△PF1F2中，
＝，即＝.所以b2＝2ac.
(a2－c2)＝2ac，(1－e2)＝2e，
整理得e2＋2e－＝0，又0
1.过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是( )
A.14 B．16
C．18 D．20
答案 C
解析 如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上、下顶点时，△PQF1(或△PQF2)的周长即△PQF周长的最小值，为10＋2×4＝18.
2．已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下、上焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋1过椭圆C的焦点F2，与椭圆交于A，B两点，若点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，则k2＝________.
答案
解析 直线l过定点(0,1)，即F2为(0,1)，由于＝，a2＝b2＋c2，故a＝，b＝1，则椭圆C的方程为＋x2＝1，由得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，由点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，得x1＝－2x2，代入x1＋x2＝，解得x2＝，x1＝－，代入x1x2＝－，解得k2＝.
3.(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案 (3，)
解析 设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得
解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).
4.(2020·厦门摸底)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且A·A＝0，O＝3O，则椭圆C的标准方程为________，圆A的标准方程为________．
答案 ＋y2＝1 (x－2)2＋y2＝
解析 如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ.
∵A·A＝0，即AP⊥AQ，
∴|AT|＝|PQ|.
又O＝3O，∴|OT|＝|PQ|.
∴＝，即＝.
由已知得焦半距c＝，∴a2＝4，b2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
又|AT|2＋|OT|2＝4，∴|AT|2＋4|AT|2＝4，
∴|AT|＝，r＝|AP|＝.
∴圆A的方程为(x－2)2＋y2＝.
5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB中点的横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值．
解 (1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，
又e＝，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)．
由
消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.
∵∴x1＋x2＝＝2×＝，
∴k2＝.将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，∴λ＝.
组 素养关
1.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解 (1)由题设知解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
所以圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<.(*)
所以|CD|＝2＝2＝ .
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
所以|AB|＝
＝ .
由＝得 ＝1，解得m＝±，满足(*)．
所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，
存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
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