2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算


第1讲　平面向量的概念及线性运算



一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，
λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为.
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有
①＋＋＝0；②＝(＋)．
二、教材衍化
1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝ ，＝ ．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.

答案：b－a　－a－b
2．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为 ．
解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．

答案：矩形

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．
2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　)
A．－＋　　　　　 B．－－
C. － D．＋
答案：A


　　　　　平面向量的有关概念(师生共研)
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中真命题的序号是 ．
【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．
③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】　③

平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．

1．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.
2．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为 ．
解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．
答案：①②

　　　　　　平面向量的线性运算(师生共研)
(1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．a－b
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段的中点，若＝λ＋μ，则λ＝ ，μ＝ ．

【解析】　(1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A.
优解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝.
【答案】　(1)A　(2)　

向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

1．下列四个结论：
①＋＋＝0；
②＋＋＋＝0；
③－＋－＝0；
④＋＋－＝0.
其中一定正确的结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为 ．
解析：因为D为边BC的中点，所以＋＝2，
又＋＋＝0，
所以＝＋＝2，
所以＝－2，
所以λ＝－2.
答案：－2

　　　　　　平面向量共线定理的应用(典例迁移)
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【迁移探究】　(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线．


[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．

1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
解析：选D.由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即所以mn－1＝0.
2.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)

A. B.
C. D．
解析：选C.通解：因为＝，所以＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C.
优解：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋，因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C.
[基础题组练]
1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
2．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
解析：选C.由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
3．(2020·江西南昌模拟)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．
解析：选A.＝＋＝＋＝－＋＝AB－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.
4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．
解析：选D.设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈，
因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
5．已知平面内四点A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，则λ的值为 ．
解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.
答案：
6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是 ．
解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3<||<13.综上可知3≤||≤13.
答案：[3，13]
7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为 ．
解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)
＝－a＋b，故③正确；
所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．
所以正确命题的序号为②③④.
答案：3
8．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.

(1)用a，b表示；
(2)证明：A，M，C三点共线．
解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a
＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
[综合题组练]
1．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D．＋
解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选A.

2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(　　)

A．①② B．②④
C．①③ D．③⑤
解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF 3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是 ．
解析：因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.
答案：
4．(2020·江西临川一中、南昌二中5月联考)在△ABC中，＝，＝2，＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ．
解析：因为＝，＝2，所以P为△ABC的重心．
易知D为BC的中点，所以＝＋.
所以＝＝＋.
所以＝＋.
所以＝－＝－＋.
因为＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－.
答案：－