2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第三章　第1讲　变化率与导数、导数的计算

第1讲　变化率与导数、导数的计算

一、知识梳理

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ．

[提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)′＝(g(x)≠0)．

[提醒]　求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cos x)′＝sin x.

常用结论

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．

2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

二、教材衍化  

1．已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝(　　)

A．e　　　　　　　　　 B．1

C．－1  D．－e

答案：C

2．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x  B．y＝－x

C．y＝2x  D．y＝x

解析：选D.因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x.故选D.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)

(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、易错纠偏

(1)混淆平均变化率与导数的区别；

(2)导数的运算法则运用不正确．

1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为        ，在x＝2处的导数为        ．

解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.

答案：3　4

2．函数y＝的导函数为        ．

解析：y′＝＝.

答案：y′＝

　　　　　　导数的运算(多维探究)

角度一　求已知函数的导数

求下列函数的导数：

(1)y＝x2sin x；

(2)y＝ln x＋.

【解】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.

[注意]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．

角度二　求抽象函数的导数值

已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝        ．

【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.

【答案】　－

对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．

1．下列求导运算正确的是(　　)

A.′＝x　　　　　 B．(x2ex)′＝2x＋ex

C．(xcos x)′＝－sin x  D．′＝1＋

解析：选D.对于A：′＝－·(ln x)′＝－，

对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，

对于C：(xcos x)′＝cos x－xsin x，

对于D：′＝1＋.

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，

令x＝2，得f′(2)＝－12.

再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.

3．求下列函数的导数：

(1)y＝x(ln x＋cos x)；

(2)y＝；

(3)y＝ln x.

解：(1)y′＝ln x＋cos x＋x＝ln x＋cos x－xsin x＋1.

(2)y′＝＝.

(3)y′＝ln x＋·＝.

　　　　　　导数的几何意义(多维探究)

角度一　求切线方程

(2020·安徽合肥联考)已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为        ．

【解析】　由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1＝.

【答案】　

求曲线切线方程的步骤

(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．

(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

[注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．

角度二　求切点坐标

若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是        ．

【解析】　设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，

所以切线的斜率k＝ln x0＋1，

由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.

故点P的坐标是(e，e)．

【答案】　(e，e)

【迁移探究】　(变条件)若本例变为：若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为        ．

解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，

因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，

所以ln x0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，

所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

答案：x－y－1＝0

求切点坐标的思路

已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．

角度三　已知切线方程(或斜率)求参数值

(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1  B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1  D．a＝e－1，b＝－1

【解析】　因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得解得故选D.

【答案】　D

处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)

A．x－y－π－1＝0  B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0  D．x＋y－π＋1＝0

解析：选C.依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.

2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是        ；f(2)＋f′(2)的值为        ．

解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝＝－，可得直线l的方程为y＝－x＋4，即为x＋2y－8＝0；

由导数的几何意义可得f′(2)＝－，则f(2)＋f′(2)＝3－＝.

答案：x＋2y－8＝0　

3．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为        ．

解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝－a，所以由题意，得，解得a＝－1.

答案：－1

核心素养系列7　数学运算——求曲线的切线方程

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．

已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为            ．

【解析】　(1)当P为切点时，由y′＝′＝x2，

得y′|x＝2＝4，

即过点P的切线方程的斜率为4.

则所求的切线方程是y－＝4(x－2)，

即12x－3y－16＝0；

(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，

则切线方程为y－x＝x(x－x0)，

因为切线过点P，把P点的坐标代入切线方程，

求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，

所以切点为Q，

即所求切线方程为3x－3y＋2＝0.

综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.

【答案】　12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0

求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．

(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．

(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．

1．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是        ．

解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m)．

又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e)．

再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.

故点A的坐标为(e，1)．

答案：(e，1)

2．(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y＝f(x)对任意的x∈R都有f(1－x)－2f(x)＝x2－1，则f(－1)＝        ，曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为        ．

解析：由题可得解得f(x)＝－x2＋x＋.所以f(－1)＝－1，f′(x)＝－2x＋，所以f′(－1)＝，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＋1＝(x＋1)，即8x－3y＋5＝0.

答案：－1　8x－3y＋5＝0

 [基础题组练]

1．下列求导数的运算中错误的是(　　)

A．(3x)′＝3xln 3

B．(x2ln x)′＝2xln x＋x

C.′＝

D．(sin x·cos x)′＝cos 2x

解析：选C.因为′＝，C项错误．

2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)

A．3　　　　　　　　　　 B．2

C．1  D．

解析：选A.因为y′＝－，令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.

3．已知函数f(x)可导，则 等于(　　)

A．f′(x)  B．f′(2)

C．f(x)  D．f(2)

解析：选B.因为函数f(x)可导，

所以f′(x)＝ ，

所以 ＝f′(2)．

4．函数g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，

又g′(x)＝3x2＋5x＋，

所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，

从而切线方程为y＝11x－5，

由于点在切线上，所以＋b＝11－5，

解得b＝.故选B.

5．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x.

其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B.对于①，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可sin 2x＝2，无解，④不符合要求．故选B.

6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝        ．

解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，

所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.

答案：1＋e

7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝        ，切线方程为        ．

解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.

答案：－2　y＝1

8．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为        ．

解析：由题意知，f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.

答案：6x－y－5＝0

9．求下列函数的导数：

(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；

(2)y＝sin(1－2cos2)；

(3)y＝.

解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)

＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，

所以y′＝18x2－10x－4.

(2)因为y＝sin(－cos)＝－sin x，

所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.

(3)y′＝＝

＝.

10．(2020·陕西延安模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

(1)求P0的坐标；

(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.

令3x2＋1＝4，解得x＝±1.

当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．

(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－.

因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，

所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，

即x＋4y＋17＝0.

[综合题组练]

1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1  B．0

C．3  D．4

解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.

2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(0，＋∞)  D．[0，＋∞)

解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.

3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意得

解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，

即4a2＋4a＋1>0，

所以a≠－.

所以a的取值范围为∪.

4．已知抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，

则y1＝kx1，①

y1＝－x＋x1－4，②

将①代入②得x＋x1＋4＝0.

因为P为切点，

所以Δ＝－16＝0，得k＝或k＝.

当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.

当k＝时，x1＝2，y1＝1.

因为P在第一象限，

所以k＝.

(2)过P点作切线的垂线，

其方程为y＝－2x＋5.③

将③代入抛物线方程得，

x2－x＋9＝0.

设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，

所以x2＝，y2＝－4.

所以Q点的坐标为.