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2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第二章 第6讲 对数函数
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第6讲 对数函数
一、知识梳理
1．对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0
当0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
2.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
对数函数图象的特点
(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0
(3)在直线x＝1的右侧：当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0
1．(必修1P74A组T7改编)函数y＝的定义域为 ．
解析：要使函数有意义，故满足解得
2．(必修1P73练习T3改编)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系是 ．
答案：c>a>b
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．( )
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
(1)忽略真数大于零致误；
(2)忽视对底数的讨论致误．
1．函数f(x)＝log2x2的单调递增区间为 ．
解析：设t＝x2，因为y＝log2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ ．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0
对数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为 ．
【解析】 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，
当a>1时不满足条件，
当0
则f≥g，即2≥loga，则a≤，
所以a的取值范围为.
【答案】 (1)B (2)
【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0，所以a的取值范围为.
答案：
对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：
(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；
(2)在同一直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；
(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．
1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
解析：选C.函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.
2．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ．
解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 比较对数值的大小
(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c1，c＝0.30.2<0.30＝1，所以c
比较对数值的大小的方法
角度二 解简单的对数不等式或方程
(一题多解)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f0的解集为( )
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f0⇒2x－1>1，所以x>1.
法二：由floga，
所以loga2－1
【答案】 C
解对数不等式的函数及方法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
角度三 对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求a的值．
【解】 (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1
则g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
(2)若f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有
解得a＝.
故实数a的值为.
解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解析：选B.因为a＝log20.220＝1，c＝0.20.3<0.20＝1且c>0，所以a
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
思想方法系列4 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质
已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a>0且a≠1)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(，1) B．[，1)
C．(，1) D．[，1)
【解析】 当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是(，1)．
【答案】 A
本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，所以当a>1时，y≥2.
当0
当0
[基础题组练]
1．函数y＝的定义域是( )
A．[1，2] B．[1，2)
C. D.
解析：选C.由即
解得x≥.故选C.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A.由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A.
3．(2020·东北三省四市一模)若a＝log2，b＝0.48，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a0，所以0ln＝，即c>，所以a
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)
解析：选A.由已知得0f(2)．
5．(2020·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则( )
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0
解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.
答案：－1
7．若函数f(x)＝logax(0
8．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是 ．
解析：由于a>0，且a≠1，
所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
所以a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，
所以a－3>0，即a>3.
答案：(3，＋∞)
9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
由得－1
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
[综合题组练]
1．(2020·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
解析：选C.由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，
即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x
答案：(0，1)
3．已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0.
因为x>0，所以x2－2x＋a>0.
当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；
当0
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，
记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.
而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.
一、知识梳理
1．对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0
当0
当0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
2.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
对数函数图象的特点
(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0
(3)在直线x＝1的右侧：当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0
1．(必修1P74A组T7改编)函数y＝的定义域为 ．
解析：要使函数有意义，故满足解得
2．(必修1P73练习T3改编)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系是 ．
答案：c>a>b
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．( )
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
(1)忽略真数大于零致误；
(2)忽视对底数的讨论致误．
1．函数f(x)＝log2x2的单调递增区间为 ．
解析：设t＝x2，因为y＝log2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ ．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0
对数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为 ．
【解析】 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，
当a>1时不满足条件，
当0
则f≥g，即2≥loga，则a≤，
所以a的取值范围为.
【答案】 (1)B (2)
【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0
答案：
对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：
(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；
(2)在同一直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；
(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．
1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
解析：选C.函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.
2．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ．
解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 比较对数值的大小
(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
比较对数值的大小的方法
角度二 解简单的对数不等式或方程
(一题多解)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f
法二：由f
所以loga2－1
【答案】 C
解对数不等式的函数及方法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
角度三 对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求a的值．
【解】 (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1
则g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
(2)若f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有
解得a＝.
故实数a的值为.
解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解析：选B.因为a＝log20.2
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
思想方法系列4 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质
已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a>0且a≠1)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(，1) B．[，1)
C．(，1) D．[，1)
【解析】 当0
【答案】 A
本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，所以当a>1时，y≥2.
当0
当0
[基础题组练]
1．函数y＝的定义域是( )
A．[1，2] B．[1，2)
C. D.
解析：选C.由即
解得x≥.故选C.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A.由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A.
3．(2020·东北三省四市一模)若a＝log2，b＝0.48，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)
解析：选A.由已知得0
5．(2020·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则( )
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0
解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.
答案：－1
7．若函数f(x)＝logax(0
8．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是 ．
解析：由于a>0，且a≠1，
所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
所以a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，
所以a－3>0，即a>3.
答案：(3，＋∞)
9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
由得－1
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
[综合题组练]
1．(2020·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
解析：选C.由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，
即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x
答案：(0，1)
3．已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0.
因为x>0，所以x2－2x＋a>0.
当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；
当0
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，
记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.
而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.
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