2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第12章第2讲数系的扩充与复数的引入
展开第十二章 算法初步、复数、推理与证明
第2讲 数系的扩充与复数的引入
基础知识整合
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，r∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)；
(2)复数z＝a＋bi平面向量(a，b∈R)．
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
5．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
6．复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数．
7．复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．
1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案 D
解析 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
2．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·＝( )
A． B．
C．3 D．5
答案 D
解析 解法一：∵z＝2＋i，∴＝2－i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.
解法二：∵z＝2＋i，∴z·＝|z|2＝5.故选D.
3．(2019·陕西榆林一模)若复数z＝＋i，则其虚部为( )
A．i B．2i
C．－2 D．2
答案 D
解析 ∵z＝＋i＝＋i＝＋i＝2i，
∴z的虚部为2.故选D.
4．(2019·开封模拟)已知复数z＝，则( )
A．z的模为2 B．z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
答案 C
解析 根据题意可知，＝＝－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为，z的共轭复数为－1＋i，故选C.
5．(2020·三门峡摸底)已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i，则复平面内与复数z对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 由(1＋i)z＝1＋i，
得z＝＝＝
＝＋i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限．故选D.
6．(2019·浙江高考)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.
答案
解析 z＝＝＝＝－i，
易得|z|＝ ＝.
核心考向突破
考向一 复数的有关概念
例1 (1)(2019·唐山模拟)已知复数z为纯虚数，z＝(i为虚数单位)，则实数a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ∵z＝＝＝为纯虚数，∴＝0，≠0，∴a＝－1.故选B.
(2)(2019·广西四校第二次联考)已知i是虚数单位，复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于直线x－2y＝0上，则复数z的虚部为( )
A．2 B．3
C．i D．
答案 D
解析 z＝＝＝＋i，其在复平面内对应的点为，又该点位于直线x－2y＝0上，所以a＝2，z＝＋i，其虚部为.
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．
[即时训练] 1.(2019·湖南湘潭一模)若复数z满足(1＋i)·z＝2i，则复数的虚部为( )
A．－i B．1
C．－1 D．i
答案 C
解析 由题意，得z＝＝1＋i，故＝1－i，所以其虚部为－1.
2．(2019·辽宁省辽南协作体一模)已知i是虚数单位，复数z＝，下列说法正确的是( )
A．z的虚部为－i
B．z对应的点在第一象限
C．z的实部为－1
D．z的共轭复数为1＋i
答案 D
解析 ∵z＝＝1－i，∴z的虚部为－1；z对应的点的坐标为(1，－1)，在第四象限；z的实部为1；z的共轭复数为1＋i.故选D.
考向二 复数的几何意义
例2 (1)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 因为＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.
(2)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，
∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
复数几何意义的理解及应用
复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
[即时训练] 3.(2020·襄阳调研)设复数z＝lg (m2－1)＋i，则z在复平面内对应的点( )
A．一定不在第一、二象限
B．一定不在第二、三象限
C．一定不在第三、四象限
D．一定不在第二、三、四象限
答案 C
解析 ∵∴m<－1，此时lg (m2－1)可正、可负，>，故选C.
4．(2019·武汉调研)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵(1－i)x＝1＋yi⇒x－xi＝1＋yi⇒(x－1)－(x＋y)i＝0⇒⇒∴x＋yi＝1－i，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D.
精准设计考向，多角度探究突破
考向三 复数的代数运算
角度 复数的乘法运算
例3 (1)(2019·宝鸡模拟)已知i为虚数单位，实数a，b满足(2－i)(a－bi)＝(－8－i)i，则ab的值为( )
A．6 B．－6
C．5 D．－5
答案 A
解析 由题意，得(2a－b)＋(－a－2b)i＝1－8i，
∴解得∴ab＝6.
(2)(2019·长沙模拟)已知复数z＝，则·z＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
答案 B
解析 z＝＝－－i，＝－＋i，·z＝1，故选B.
角度 复数的除法运算
例4 (1)(2019·绍兴质检)已知i为虚数单位，则＝( )
A．－1 B．1
C．－1＋i D．1＋i
答案 B
解析 ＝＝＝1.故选B.
(2)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B．
C． D．2
答案 A
解析 由题意，知1＋z＝i－zi，
所以z＝＝＝i，所以|z|＝1.
角度 复数的混合运算
例5 (1)(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝( )
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
答案 A
解析 解法一：＝＝5，故选A.
解法二：＝＝＝5，故选A.
(2)(2020·临沂摸底)设z＝i3＋，则z的虚部是( )
A．－1 B．－i
C．－2i D．－2
答案 D
解析 根据复数的乘法与除法运算，则z＝i3＋＝i2×i＋＝－i－i＝－2i.
根据虚部的定义，可知虚部为－2.故选D.
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
[即时训练] 5.(2018·全国卷Ⅱ)＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
答案 D
解析 ∵＝＝，∴选D.
6．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
答案 A
解析 由题意，得(a＋i)(a－i)＝4，即a2＋3＝4，
∴a＝±1.故选A.
7．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
答案 2
解析 (a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部为0，故a＝2.
象限．
