2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第2章第6讲　对数与对数函数

第6讲　对数与对数函数

基础知识整合

1．对数的定义

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的运算法则

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，

(2)loga＝logaM－logaN，

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．对数函数的图象与性质

4．反函数

指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．对数的性质(a＞0且a≠1)

(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.

2．换底公式及其推论

(1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；

(2)logab·logba＝1，即logab＝；

(3)logambn＝logab；

(4)logab·logbc·logcd＝logad.

3．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

1．(2019·广东湛江模拟)函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(0，e) B．(0，e]

C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)

答案　B

解析　要使函数f(x)＝有意义，则

解得0<x≤e，则函数f(x)的定义域为(0，e]．故选B．

2．(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<c<b B．a<b<c

C．b<c<a D．c<a<b

答案　A

解析　因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52<log5＝0.5.因为y＝log0.5x是减函数，所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A．

3．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

答案　B

解析　若a>1，则y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0<a<1，则y＝ax是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选B．

4．函数y＝lg |x|(　　)

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

答案　B

解析　显然y＝lg |x|是偶函数，又x>0时，y＝lg x是单调递增函数，所以y＝lg |x|在(－∞，0)上单调递减，故选B．

5．函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

答案　D

解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，∵y＝ln t为增函数，∴要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，

∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D．

6．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.

答案　

解析　原式＝2log43＋2－log43＝＋＝.

核心考向突破

考向一　对数的化简与求值

例1　(1)化简lg －lg ＋lg ＝________.

答案　

解析　lg －lg ＋lg

＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7

＝lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝.

(2)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.

答案　

解析　因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝.

(3)若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________.

答案　

解析　∵a＝log147，b＝log145，∴a＋b＝log1435.又log1428＝log142＝2－log147＝2－a，∴log3528＝＝.

对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．

[即时训练]　1.lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值为________.

答案　3

解析　原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg2 2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.

2．已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________.

答案　2

解析　∵2x＝12，∴x＝log212，∴x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.

3．计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.

答案　

解析　原式＝·＝log32·log23＝.

考向二　对数函数的图象及其应用

例2　(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)

答案　C

解析　函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D．故选C．

(2)若方程4x＝logax在内有解，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax.当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在上有交点即可，则f≥g，即2≥loga，则0<a≤，所以a的取值范围为.

利用对数函数的图象可求解的两类热点问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[即时训练]　4.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致是(　　)

答案　A

解析　由于函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)是偶函数，故其图象关于y轴对称．当x>0时，f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)是减函数；当x<0时，f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)是增函数．再由图象过点(1,1)，(－1,1)，可知应选A．

5．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范围．

解　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可，如图所示．

当0＜a＜1时，显然不成立．

当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，

f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∵loga2≥1，

∴1＜a≤2，即a的取值范围为(1,2]．

角度　　比较对数值的大小

例3　(1)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c B．a>c>b

C．b>a>c D．b>c>a

答案　A

解析　∵a＝log3π>1,0<b＝log2<1，∴a>b，又b＝log23>log32，且c＝log3＝log32，∴b>c，即a>b>c，故选A．

(2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是(　　)

A．a<b<c B．b<a<c

C．c<b<a D．a<c<b

答案　A

解析　由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：

①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.

作出函数的图象(如图所示)．

由图象可知选项A不可能成立．

比较对数值的大小的方法

[即时训练]　6.(2019·辽宁省五校联考)设a＝2019，b＝log2019，c＝log2020，则(　　)

A．c>b>a B．b>c>a

C．a>c>b D．a>b>c

答案　D

解析　∵a＝2019>20190＝1,0<b＝log2019<log20192019＝1，c＝log2020<log20201＝0，所以a>b>c.故选D．

7．已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则(　　)

A．x<y<z B．z<x<y

C．z<y<x D．y<z<x

答案　D

解析　ln π>1，log52＝<，z＝e－＝，<<1，所以y<z<x.

角度　　解简单的对数不等式

例4　(1)(2019·广州模拟)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

答案　C

解析　由题意可得

或解得a>1或－1<a<0.故选C．

(2)(2019·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________.

答案　∪(2，＋∞)

解析　∵f(x)是R上的偶函数，

∴它的图象关于y轴对称．

∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，

由f＝0，得f＝0.

∴f(logx)>0⇒logx<－或logx>⇒x>2或0<x<，∴x∈∪(2，＋∞)．

解对数不等式的类型及方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．

(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．

[即时训练]　8.(2019·福建厦门模拟)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)

A．[－1,2] B．[0,2]

C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)

答案　D

解析　当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1.

当x>1时，由1－log2x≤2得x≥，∴x>1.

综上，x的取值范围为[0，＋∞)．故选D．

9．若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[2，＋∞)，则实数a的取值范围是________.

答案　(1，]

解析　当x≤2时，f(x)≥2－3＝2，即函数的值域为[2，＋∞)；当x>2且a>1时，f(x)>loga2，即函数的值域为(loga2，＋∞)，由(loga2，＋∞)⊆[2，＋∞)，得loga2≥2，解得1<a≤；当x>2且0<a<1时，f(x)<loga2，与题设不符．所以实数a的取值范围是(1，]．

考向四　与对数有关的复合函数问题

例5　已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a的值．

解　(1)依题意得解得－2<x<4，

∴f(x)的定义域为(－2,4)．

(2)f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)

＝loga[(x＋2)(4－x)]，

令t＝(x＋2)(4－x)，则可变形得t＝－(x－1)2＋9，

∵0≤x≤3，∴5≤t≤9.

若a>1，则loga5≤logat≤loga9，

∴f(x)min＝loga5＝－2，则a2＝<1(舍去)，

若0<a<1，则loga9≤logat≤loga5，

∴f(x)min＝loga9＝－2，

则a2＝，又0<a<1，∴a＝.

综上，a＝.

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．

[即时训练]　10.(2019·济南模拟)若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)

A．[1,2) B．[1,2]

C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)

答案　A

解析　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为直线x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．故选A．

11．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.

答案　

解析　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，

得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<.

当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，

得f(x)min＝loga(8－a)>1，得8－2a<0，a>4.a不存在．

综上可知，实数a的取值范围是.