2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第7章第2节　基本不等式

第二节　基本不等式

[最新考纲]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

(对应学生用书第110页)

1．基本不等式≥

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.

2．几个重要的不等式

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

重要不等式链

若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.  (　　)

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4. (　　)

(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件． (　　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.  (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　　　 B．77

C．81 D．82

C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]

2．若x＞0，则x＋(　　)

A．有最大值，且最大值为4

B．有最小值，且最小值为4

C．有最大值，且最大值为2

D．有最小值，且最小值为2

B　[x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．故选B.]

3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

25　[设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，

由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.]

4．一个长方体的体积为32，高为2，底面的长和宽分别为x和y，则x＋y的最小值为________．

8　[由题意知xy＝16，则x＋y≥2＝8；当且仅当x＝y＝4时等号成立，故x＋y的最小值为8.]

(对应学生用书第111页)

⊙考点1　利用基本不等式求最值

　利用基本不等式求最值的三种思路

利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：

(1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)

(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)

(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)

　直接法求最值

(1)若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为(　　)

A. B．2　　　　

C.　　　　 D．4

(2)ab＞0，则的最小值为(　　)

A．2 B. 

C．3 D．2

(3)(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．

(1)C　(2)A　(3)　[(1)(a＋1)(b＋1)≤＝＝，故选C.

(2)∵ab＞0，∴＝＋≥2＝2，

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故选A.

(3)＝＝＝2＋，

∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，

∴4＝x＋2y≥2，

∴xy≤2，∴≥，

∴2＋≥2＋＝.]

　解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键．

　配凑法求最值

(1)已知x∈，则x(1－4x)取最大值时x的值是(　　)

A. B. 

C. D.

(2)已知不等式2x＋m＋＞0对一切x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．m＞－6 B．m＜－6

C．m＞－7 D．m＜－7

(3)若－4＜x＜1，则f(x)＝(　　)

A．有最小值1 B．有最大值1

C．有最小值－1 D．有最大值－1

(1)C　(2)A　(3)D　[(1)由x∈知1－4x＞0，则

x(1－4x)＝·4x(1－4x)≤×＝，

当且仅当4x＝1－4x，即x＝时等号成立，故选C.

(2)由题意知，－m＜2x＋对一切x∈恒成立，又x≥时，x－1＞0，

则2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，

当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时等号成立．

∴－m＜6，即m＞－6，故选A.

(3)∵－4＜x＜1，∴0＜1－x＜5，

∴f(x)＝＝＝－≤－×2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立．

∴函数f(x)有最大值－1，无最小值，故选D.]

　形如f(x)＝的函数，可化为f(x)＝的形式，再利用基本不等式求解，如本例T(3)．

　常数代换法求最值

(1)已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　)

A．2 B．4 

C．6 D．8

(2)设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)

A．12 B．4 

C. D.

(1)D　(2)D　[(1)x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立，故选D.

(2)由题意知3a·3b＝(3)2，即3a＋b＝33，

∴a＋b＝3，∴＋＝(a＋b)

＝≥＝，

当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，故选D.]

　使用常数代换法时，若式子的值不为1，应注意平衡系数，如本例T(2)．

　1.设x＞0，y＞0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　)

A．40 B．10 

C．4 D．2

D　[由x＞0，y＞0，x＋4y＝40得40＝x＋4y≥2

∴≤10，即xy≤100(当且仅当x＝20，y＝5时等号成立)，

∴lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2，故选D.]

2．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．a≥ B．a＞

C．a＜ D．a≤

A　[由x＞0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥，故选A.]

3．若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)

A．2 B．3 

C．4 D．6

B　[由题意知(a＋1)＋(b＋c)＝3，则

＋＝[(a＋1)＋(b＋c)]

＝

≥＝3，当且仅当＝，即a＝1，b＋c＝1时等号成立，故选B.]

⊙考点2　基本不等式的实际应用

　利用基本不等式解决实际问题的三个注意点

(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．

(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

　(2019·常州模拟)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)＝其它成本投入(如培育管理等人工费)为20x(单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为f(x)(单位：元)．

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

[解](1)由已知f(x)＝10W(x)－20x－10x＝10W(x)－30x＝

则f(x)＝

(2)由(1)f(x)＝变形得

f(x)＝

当0≤x≤2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，

且f(0)＝100＜f(2)＝240，

∴f(x)max＝f(2)＝240；

当2＜x≤5时，f(x)＝510－30，

∵x＋1＋≥2＝8，

当且仅当＝1＋x时，即x＝3时等号成立．

∴f(x)max＝510－30×8＝270，

因为240＜270，所以当x＝3时，f(x)max＝270.

答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元．

　解答本例第(2)问时，对f(x)＝－30的变形是解题的关键．

　1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

30　[一年的总运费为6×＝(万元)．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为万元．

因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]

2．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．

10　[设全部物资到达灾区所需时间为t小时，

由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km＋400 km所用的时间，

因此，t＝＝＋≥2＝10.

当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．

故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．]