2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第6章第1节　数列的概念与简单表示法

第一节　数列的概念与简单表示法

[最新考纲]　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

(对应学生用书第93页)

1．数列的概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

(2)数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法．

2．数列的分类

3.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4．数列的递推公式

如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．

5．an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

则an＝

1．数列{an}是递增数列⇔an＋1＞an恒成立．

2．数列{an}是递减数列⇔an＋1＜an恒成立．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有数列的第n项都能使用公式表达． (　　)

(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．

  (　　)

(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.                             (　　)

(4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．                            (　　)

[答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为(　　)

A．an＝±　　　　 B．an＝(－1)n·

C．an＝(－1)n＋1 D．an＝

B　[由a1＝－1，代入检验可知选B.]

2．在数列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，则a3＝(　　)

A．－3　　　　B.　　　　C．5　　　　D.

D　[a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝.]

3．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第6个三角形数是(　　)

A．27　　　 B．28　　　 

C．29　　　 D．30

B　[由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]

4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n＞2)给出，则a5＝________.

8　[a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.]

(对应学生用书第94页)

⊙考点1　由数列的前n项归纳数列的通项公式

　解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项，化异为同．

　根据下面各数列前n项的值，写出数列的一个通项公式．

(1)，－，，－，，…；

(2)，2，，8，，…；

(3)5,55,555,5555，…；

(4)1,3,1,3，…；

(5)，，，，，…；

(6)－1,1，－2,2，－3,3，….

[解](1)数列中各项的符号可通过(－1)n＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，

所以an＝(－1)n＋1.

(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.

(3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．

(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为an＝2＋(－1)n.

(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝.

(6)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－表示，

数列的偶数项为1,2,3，…可用表示．

因此an＝

(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T(3)．

(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T(6)．

⊙考点2　由an与Sn的关系求通项公式

　已知Sn求an的三个步骤

(1)先利用a1＝S1，求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．

(1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

(2)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.

(1)　(2)－63　(3)　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为an＝

(2)由Sn＝2an＋1得S1＝2a1＋1，即a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.

又Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，所以an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.

所以数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，所以S6＝＝1－26＝－63.

(3)当n＝1时，由已知，

可得a1＝21＝2，

∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，  ①

故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)， ②

由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，

∴an＝(n≥2)．

显然当n＝1时不满足上式，

∴an＝]

　an＝Sn－Sn－1只适用于n≥2的情形，易忽略求a1，造成错解，如T(1)，T(3)．

　1.(2019·郑州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________．

an＝　[由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－1.

当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，

显然a1＝3不满足上式，

所以an＝]

2．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有2Sn＝a＋an，则an＝________.

n　[由2Sn＝a＋an得

2Sn－1＝a＋an－1，

∴2an＝a－a＋an－an－1，

即a－a＝an＋an－1，又an＞0，

∴an－an－1＝1，

又2S1＝a＋a1，解得a1＝1，

∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．

∴an＝1＋(n－1)×1＝n.]

⊙考点3　由递推公式求数列的通项公式

　由数列的递推公式求通项公式的常用方法

(1)形如an＋1＝an＋f(n)，可用累加法求an.

(2)形如an＋1＝anf(n)，可用累乘法求an.

(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，可构造等比数列求an.

(4)形如an＋1＝，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解．

　形如an＋1＝an＋f(n)，求an

　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

[解]　∵an＋1－an＝3n＋2，

∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋8＋5＋2

＝，

∴an＝n2＋.

　求解时，易错误地认为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)造成错解．

　形如an＋1＝anf(n)，求an

　已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式．

[解]　由an＋1＝an得＝，

∴＝(n≥2)，

∴an＝···…···a1＝···…···4

＝××2×1×4＝，

即an＝.

　求解时易错误地认为an＝···…··，造成错解．

　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an

　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．

[解]　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，

又a1＝1，∴a1＋1＝2，

故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，

∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.

　an＋1＝Aan＋B可转化为an＋1＋k＝A(an＋k)的形式，其中k可用待定系数法求出．

　1.(2019·泰安模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________.

2n－1＋n　[由an＋1＝an＋2n－1＋1得an＋1－an＝2n－1＋1，

∴an－an－1＝2n－2＋1(n≥2)，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1

＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋(n－1)＋2

＝＋n＋1＝2n－1＋n，

即an＝2n－1＋n.]

2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________.

2　[∵an＋1＝2nan，∴＝2n，∴＝2n－1(n≥2)，

∴an＝··…··a1

＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2，

即an＝2.]

3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.

2n＋1－3　[由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．

又a1＝1，∴a1＋3＝4.

故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，

∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.]

⊙考点4　数列的周期性

　先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．

(1)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 020项为________．

(2)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则S2 020＝________.

(1)　(2)0　[(1)因为a1＝，故a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，a7＝2a6＝，…，故数列{an}是周期数列且周期为4，故a2 020＝a505×4＝a4＝.

(2)∵a1＝0，an＋1＝，

∴a2＝＝，a3＝＝＝－，

a4＝＝0，

即数列{an}是周期为3的周期数列，

且a1＋a2＋a3＝0，

则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.]

　求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a1相同的项ak，则数列的周期为k－1.

　1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 020＝________.

0　[∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2，

∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的周期数列，∴a2 020＝a2＝0.]

2．(2019·青岛模拟)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S2 020＝________.

2 010　[由题意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此数列是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.]