2020届高考数学二轮教师用书：第二章第9节　函数模型及应用

第9节　函数模型及应用

1．常见的函数模型

2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

3.解决应用问题的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；

(2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；

(3)求解：求解数学问题，得出数学结论；

(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案．

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　 )

(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　 )

(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　 )

(4)幂函数增长比直线增长更快．(　　 )

(5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．(　　 )

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√

[小题查验]

1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图象是(　　 )

解析：C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]

2．(教材改编)下列函数中随x的增大，增长率最终最大的是(　　 )

A．y＝1 000x　　　　　　 B．y＝x2

C．y＝ln x  D．y＝(1.01)x

解析：D　[指数函数增长最快，因此选D.]

3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　 )

A．200只  B．300只

C．400只  D．500只

解析：A　[由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100，

则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．故选A.]

4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是　________　万元．

解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝－10Q－2 000＝－ (Q－300)2＋2 500，

所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)．

答案：2 500

5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为　________　(m)．

解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．

答案：20

6．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝　________　，经过5小时，1个病毒能繁殖为　________　个．

答案：2ln 2　1 024

考点一　用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(自主练透)

[题组集训]

1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析：A　[由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项．]

2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油

D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析：D　[对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油，行驶里程都超过5 km，则A错误。对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错误。对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，则C错误。对于选项D：速度在80 km/h 以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对。]

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

考点二　构建函数模型解决实际问题(多维探究)

数学建模——函数建模在实际问题中的妙用

解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．

―→―→―→

[命题角度1]　构建二次函数模型　

1．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．

(ⅰ)若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

(ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

解：(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．

由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.

根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．

g(x)＝2(x≥0)．

(2)(ⅰ)由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.

所以总利润y＝8.25 万元．

(ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．

则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.

令＝t，t∈[0,3]，

则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.

所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，

此时x＝16,18－x＝2.

所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．

二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．

[命题角度2]　构建指数函数模型　

2．已知某物体的温度ν(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是ν＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．

(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

解：(1)若m＝2，则ν＝2·2t＋21－t＝2，

当ν＝5时，2t＋＝，

令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，即2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.

所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．

(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即ν≥2恒成立，

亦m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立．

令＝y，则0<y≤1，∴m≥2(y－y2)恒成立，

由于y－y2≤，∴m≥.

因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.

此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

[命题角度3]　构建分段函数模型　

3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

 解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，

则S＝200x－

＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2，

所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利．

当x＝300时，S取得最大值－5 000，

所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．

(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为

＝

①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040

＝(x－120)2＋240，

所以当x＝120时，取得最小值240.

②当x∈[144,500]时，

＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.

因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值.

1．(2020·玉溪市模拟)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　)

A．1个　　　　　　　　　　 B．2个

C．3个  D．4个

解析：A　[将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率是越来越慢的，正确；③中的变化规律是逐渐变慢再变快，正确；④中的变化规律是逐渐变快再变慢，也正确，故只有①是错误的．故选A.]

2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x  B．y＝x2－1

C．y＝2x－2  D．y＝log2x

解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]

3．(2020·绵阳市模拟)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为(　　)

A．13 m3  B．14 m3

C．15 m3  D．16 m3

解析：C　[设该职工这个月实际用水为x立方米，

∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费，

∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元．

∵该职工这个月缴水费55元，

∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费＝(x－10)×5，

∴由题意可列出一元一次方程式：30＋(x－10)×5＝55，解得x＝15.]

4．(2020·福州市质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　 )

A．8  B．9

C．10  D．11

解析：C　[设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为n，由n＜得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.]

5．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)

A．上午10：00  B．中午12：00

C．下午4：00  D．下午6：00

解析：C　[当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.

把(4,320)，(20,0)代入得

解得∴y＝400－20x.

∴y＝f(x)＝

由y≥240，得或

∴3≤x≤8.

故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.]

6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了　________　km.

解析：设出租车行驶x km时，付费y元，

则y＝

由y＝22.6，解得x＝9.

答案：9

7．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－b t(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过　________　min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

解析：依题意有a·e－b×8＝a，∴b＝－，

∴y＝a·e－·t

若容器中只有开始时的八分之一，

则有a·e－·t＝a，解得t＝24，

所以再经过的时间为24－8＝16 min.

答案：16

8．(2020·东城区模拟)某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数)．在t＝0 min和t＝1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t＝4 min时，该物质的浓度为　________　mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为　________　.(参考数据：lg 2≈0.3010)

解析：根据条件：ar0＋24＝124，ar＋24＝64，

∴a＝100，r＝.∴M(t)＝100t＋24，

∴M(4)＝1004＋24＝26.56.

由100t＋24<24.001得t<(0.1)5，

∴lg t<lg(0.1)5，∴tlg<－5，

∴t[lg 2－(1－lg 2)]＜－5.

∴t(2lg 2－1)＜－5，代入lg 2≈0.301，得－0.398t＜－5，解得t＞12.5.

∴最小的整数t的值是13.

答案：26.56　13

9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．

(1)求x的取值范围；

(2)把月供电总费用y表示成x的函数；

(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？

解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.

(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．

(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝2＋，所以当x＝时，ymin＝.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．

10．如图，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上)．若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°.

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？

解：(1)由题意易知x>1，BC＝2x，又AB＝y，AC＝y－1，

在△ABC中，由余弦定理得，(y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos 60°，

所以y＝(x>1)．

(2)M＝30(2y－1)＋40x＝－30＋40x，其中x>1，

设t＝x－1，则t>0，

所以M＝－30＋40(t＋1)＝160t＋＋250≥2＋250＝490，

当且仅当t＝时等号成立，此时x＝.

所以当x＝时，修建中转站和道路的总造价M最低．