中考数学专项练习：10.2二次函数与一元二次方程

10.2二次函数与一元二次方程

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2016·湖南中考真题）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）

A．m＜2    B．m＞2    C．0＜m≤2    D．m＜﹣2

2．（2007·浙江中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是（ ）

A．（4，0）    B．（-4，0）    C．（0，-4）    D．（0，4）

3．（2012·甘肃中考真题）二次函数的图象如图所示，则函数值时x的取值范围是（      ）

A． B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．或x＞3

4．（2012·四川中考真题）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）

A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5

5．（2018·湖北中考真题）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2

6．（2010·四川中考真题）二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2

二、填空题

7．（2017·江苏中考真题）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．

8．（2013·湖北中考真题）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=　   　．

9．（2018·贵州中考真题）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．

三、解答题

10．（2015·广东中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．

（1）求证：2a+b=0；

（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．

11．（2012·广东中考真题）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．

12．（2018·江苏中考真题）已知二次函数（为常数）.

（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；

（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？

13．（2015·浙江中考真题）已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．

①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

14．（2015·湖北中考真题）（12分）已知关于x的方程．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，），Q（1，）是此抛物线上的两点，且，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线恒过定点，求出定点坐标．

15．（2008·江苏中考真题）已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A．

考点：抛物线与x轴的交点．

2．D

【解析】

试题分析：求图象与y轴的交点坐标，令x=0，求y即可．

当x=0时，y=4，

所以y轴的交点坐标是（0，4）．故选D．

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

3．C

【解析】

【分析】

根据y＜0，则函数图象在x轴的下方，所以找出函数图象在x轴下方的x的取值范围即可.

【详解】

由图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，y＜0，

故选C.

4．D

【解析】

利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：

由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．

由图象可知：的解集即是y＜0的解集，

∴x＜－1或x＞5．故选D．

5．A

【解析】

【分析】由题意可知△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，解不等式即可求得m的取值范围.

【详解】∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，

∴△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，

解得：m≤5，

故选A．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数与△=b2-4ac的关系，

△>0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有2个交点；

△=0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有1个交点；

△<0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点.

6．C

【解析】

解：由x2﹣x﹣2=0可得：x1=﹣1，x2=2，观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．故选C．

7．4．

【解析】

】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．

8．9

【解析】

分析：∵抛物线y=x2+bx+cx轴只有一个交点，∴当时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．

又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线对称。

∴A（，n），B（，n）。

将A点坐标代入抛物线解析式，得：。

9．（3，0）．

【解析】

分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．

详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，

∴对称轴x==1；

点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），

因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．

故答案为（3，0）．

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．

10．（1）见解析；（2）x=－2

【解析】

试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．

试题解析：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴b=－2a ∴2a+b=0；

（2）∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0，∵b=﹣2a，∴16a﹣8a﹣8=0，

解得：a=1，则b=﹣2，∴a+bx﹣8=0为：﹣2x﹣8=0，

则（x﹣4）（x+2）=0，解得：=4，=﹣2，

故方程的另一个根为：﹣2．

考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点

11．解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1。

∴二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1。

当x=0时，y=4﹣1=3，∴C点坐标为（0，3）。

∵二次函数y=（x﹣2）2﹣1的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称，

∴B点坐标为（4，3）。

将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，

，解得。

∴一次函数解析式为y=x﹣1。

（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），

∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤4。

【解析】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，函数图象与不等式（组）。

【分析】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式。

（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围。

12．（1）证明见解析；（2）时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

【解析】

分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标，,即可得出答案;

(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.

详解：

（1）证明：当时，.

解得，.

当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.

所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.

（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.

当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.

13．（1）详见解析；（2）①抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；②.

【解析】

试题分析：（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）①根据对称轴方程得到=-，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；

②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52-4（6+k）=0，然后解关于k的方程即可．

试题解析：（1）y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，

∵△=（2m+1）2-4（m2+m）=1＞0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

（2）①∵x=-，

∴m=2，

∴抛物线解析式为y=x2-5x+6；

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，

∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点，

∴△=52-4（6+k）=0，

∴k=，

即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数图象与几何变换；3．待定系数法求二次函数解析式．

14．（1）证明见试题解析；（2）a＞1或a＜﹣4；（3）（0，2）、（﹣2，0）．

【解析】

试题分析：（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）解得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．

（3）根据题意得到恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

试题解析：（1）①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，∵△=，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）令y=0，则，解关于x的一元二次方程，得，，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．∴该抛物线解析式为，

由图象得到：当时，a＞1或a＜﹣4；

（3）由题意得恒成立，即恒成立，

则：，解得：或，所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．根的判别式；3．二次函数图象上点的坐标特征；4．分类讨论；5．定值问题；6．压轴题．

15．（1）根据题意，二次函数的顶点坐标为（2,1），所以设y=a（x－2）2+1.

因为当x=0时，y=5，所以5=a（－2）2+1. 解得a=1，

所以该二次函数关系式为y=x2－4x+5；

（2）∵二次函数y=x2－4x+5的顶点坐标为（2,1），∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，

（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2－4x+5的图象上，

所以y1=m2－4m+5，y2=（m+1）2－4（m+1）+5=m2－2m+2，

y2－y1=（m2－2m+2）－（m2－4m+5）=2m－3.

∴①当2m－3＜0，即m＜时，y1＞y2；

②当2m－3=0，即m=时，y1=y2；

③当2m－3＞0，即m＞时，y1＜y2．

【解析】

（1）利用待定系数法求二次函数解析式时，若通过观察数据得到顶点坐标为（2,1），利用顶点时求解析式会更简单；

（2）从说给数据可得顶点坐标为（2,1），所以第（2）迎刃而解，不需要利用函数解析式去解决；

（3）将所给点的横坐标代入函数解析式得到纵坐标的值，纵坐标的大小比较字母取值的问题．